ln v = ln cos x , v = cos x .

Функцию u (x) находим как общее решение ДУ:

u′ cos x =sin 2x, u′ = 2sin x, u = ∫2sin xdx = −2cos x +C1 .

Тогда

z(x) =u v = (−2cos x +C1) cos x = −2cos2 x +C1 cos x = −1−cos2x +C1 cos x .

Возвращаемся к исходным переменным:

y′ = −1−cos2x +C1 cos x, y = ∫(−1−cos2x +C1 cos x)dx =

= −x − 12 sin 2x +C1 sin x +C2 – общее решение исходного уравнения.

Пример 5.5. Решить ДУ второго порядка, используя методы понижения порядка:

y y′′+ (y′)2 = 0 .

Это уравнение вида F(x, y′, y′′) = 0 , т. е. не содержит х. Используем под-

рядка, где у становится независимой переменной, z(y) – неизвестной функцией:

y z z′+ z2 = 0, z (y z′+ z) = 0, y z′+ z = 0 .

Разделяем переменные и интегрируем:

исходного ДУ.

5.4. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

ДУ имеют вид

y′′+ p(x)y′+ q(x)y = f (x) x .

37

Если f (x) ≡ 0 , то ДУ принимает вид

y′′+ p(x)y′+ q(x)y = 0

и называется линейным однородным ДУ (ЛОДУ). Если f (x) Τ 0, то уравнение

называется линейным неоднородным ДУ (ЛНДУ). Если p(x) ≡ p R, q(x) ≡ q R , то уравнение называют линейным ДУ с постоянными

коэффициентами.

Рассмотрим ЛОДУ с постоянными коэффициентами

y′′+ py′+ qy = 0

Для нахождения его общего решения составляют характеристическое уравнение

λ2 + pλ + q = 0.

При решении этого квадратного уравнения возможны три случая

1. D = p2 − 4q > 0. Уравнение имеет два действительных различных корня λ1, λ2 R (кратность каждого корня k =1). Тогда общее решение исходного ЛОДУ имеет вид

y=C1eλ1x +C2eλ2x , C1, C2 R .

2.D = p2 − 4q = 0. Уравнение имеет два равных корня λ1, λ2 = λ (говорят,

что корень λ имеет кратность k = 2 ). Тогда общее решение исходного ЛОДУ имеет вид

y = eλx (C1 +C2 x), C1, C2 R .

3. D = p2 − 4q < 0 . Уравнение имеет два комплексно сопряженных корня λ1 = α +βi, λ2 = α −βi (кратность каждого корня k =1). Тогда общее решение исходного ЛОДУ имеет вид

y = eαx (C1 cosβx +C2 sinβx), C1, C2 R .

Рассмотрим далее ЛНДУ с постоянными коэффициентами

y′′+ py′+ qy = f (x).

38

Его общее решение задается формулой

y = y + y (x) ,

где y (x) – общее решение соответствующего ЛОДУ y′′+ py′+ qy = 0;

y (x) – любое частное решение данного ЛНДУ.

Рассмотрим частный случай, когда правая часть ЛНДУ f (x) является функцией специального вида

f (x) = eαx (Pn (x)cosβx +Qm (x)sinβx) ,

где α, β R, Pn (x), Qm (x) – многочлены от х степеней n, m соответственно. Ре-

шение в этом случае проводят по следующей схеме.

1. Составляют характеристическое уравнение соответствующего ЛОДУ и находят его корни. Выписывают общее решение соответствующего ЛОДУ

y(x) .

2.По виду правой части f (x) выписывают число γ = α +βi . Если γ не является корнем характеристического уравнения соответствующего ЛОДУ, то

частное решение ЛНДУ y (x) ищут в виде

y(x) = eαx (Rl (x)cosβx + Sl (x)sinβx),

а если γ является корнем кратности k , то в виде

y(x) = xkeαx (Rl (x)cosβx + Sl (x)sinβx) ,

где l = max{m;n}, Rl (x), Sl (x) – многочлены от х степени l c неопределенными коэффициентами.

Подставляя выражение для y (x) в исходное ЛНДУ, вычисляют значения неопределенных коэффициентов многочленов Rl (x), Sl (x) и выписывают част-

ное решение ЛНДУ y (x) .

3. Общее решение исходного ЛНДУ находят в виде y = y + y (x) .

Пример 5.6. Найти частное решение ДУ, удовлетворяющее заданным начальным условиям

39

Решение. Это ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и

По виду правой части ЛНДУ выписываем число γ = −1+ 0 i = −1. Оно не является корнем характеристического уравнения ЛОДУ, поэтому частное решение ЛНДУ y (x) ищем виде y (x) =(Ax + B)e−x . Вычисляем производные:

y (x) =(Ax + B)e−x ;

Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям. Вычисляем

y′ = −3e−3x (C1 cos2x +C2 sin 2x) + e−3x (−2C1 sin 2x + 2C2 cos2x) + e−x − xe−x

40

и подставляем начальные условия в y, y′:

откуда C1 =1, C2 = 2 .

Подставляя C1 , C2 в общее решение у, получаем искомое частное решение y = e−3x (cos2x + 2sin 2x) + xe−x .

Задание 6

Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения.

41

Задание 7

Решить дифференциальное уравнение второго порядка, используя методы понижения порядка.

42

Задание 8

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

43

44