1.1. Первообразная функция и неопределенный интеграл. Таблица основных интегралов

1.2.Основные методы интегрирования

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Задания и методические указания к контрольной работе № 2 по высшей математике.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

1.49 Mб

Скачать

☆

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра «Высшая математика № 2»

ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 2 ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

для студентов заочного отделения экономических специальностей

Минск

БНТУ

2011

УДК 51(075.4)

ББК 22.1я7

М 54

Составители:

А.Д. Корзников, Л.Д. Матвеева, Н.А. Шавель

Рецензенты:

В.В. Карпук, В.В.Павлов

Издание содержит задания по темам « Неопределенный интеграл», «Определенный интеграл и его приложения», «Несобственные интегралы», «Двойной интеграл», «Дифференциальные уравнения», «Ряды». Каждое задание состоит из 30 контрольных вариантов. По всем темам приводятся примеры решения типовых задач.

Для студентов 1-го курса заочного отделения экономических специальностей БНТУ, преподавателей, ведущих практические занятия по данному курсу.

Тема 1. НЕОПРЕДЕЛЕНЫЙ ИНТЕГРАЛ

1.Первообразная функция и неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов.

2.Непосредственное интегрирование. Интегрирование заменой переменной. Интегрирование по частям.

3.Интегрирование рациональных дробей.

4.Интегрирование рациональных выражений, содержащих тригонометрические функции.

5.Интегрирование некоторых иррациональных функций.

Первообразной функцией для функции f (x) называется такая функция F(x) , производная которой равна данной функции, т. е.

F′(x) = f (x) .

Неопределенным интегралом от непрерывной функции f (x) называется совокупность всех первообразных функций f (x) :

∫ f (x)dx = F(x) +C ,

где F′(x) = f (x) .

Свойства неопределенного интеграла

1.(∫ f (x)dx)′ = f (x), d ( f (x)dx)= f (x)dx ;

2.∫dF(x) = F(x) +C ;

3.	∫cf (x)dx = c∫ f (x)dx (c = const);
4.	∫( f1(x) ± f2 (x))dx = ∫ f1(x)dx ± ∫ f2 (x)dx .

Таблица основных неопределенных интегралов

1. ∫undu =	un+1	+C	(n ≠ −1);
	n +1

2.∫1 du = ∫ du =u +C ;

3.∫ duu = ln u +C ;

4. ∫ eu du = eu +C;
5. ∫ au du =	au	+C,	(a > 0,a ≠1);
	ln a

6.∫ cosudu =sinu +C ;

7.∫ sinudu = −cosu +C ;

8.∫ cosdu2 u = tgu +C ;

9.∫ sindu2 u = −ctg x +C ;

10.∫ a2du+u2 = a1 arctg ua +C = −a1 arcctg ua +C , a ≠ 0;

11.

∫

= arcsin u

+C = −arccos

+C ;

−u

12.

∫

u −a

+C ;

u2 − a2

u + a

∫

13.

= ln

u +

u2 ± a2

+C ;

± a

14.∫ sinduu = ln tg u2 +C .

x4 +5x2 + 4

1.Метод непосредственного интегрирования основан на свойствах 3, 4 и

таблице неопределенных интегралов.

Пример 1.1. Вычислить

−5cos x +

−

dx .

x2 +8

∫

x2 − 4

Решение. Применяя свойства 3, 4 и таблицу, получаем:

−5cos x

−

dx =

x2 +

x2 − 4

∫

=3∫ x

dx −

5∫cos xdx +

∫

−

∫

+10∫

x2 +8

x2 − 4

−5sin x +

− 4

arctg

+10ln

x +

− 4

+C =

−5sin x +

−

2 ln

+10ln

x +

−

+C .

2. Метод подстановки или замены переменных основан на формулах:

	∫ f (x)dx = ∫ f (ϕ(t))				′			(x = ϕ(t))
	∫ f (x)dx = ∫ f (ϕ(t))			ϕ (t)dt ,				(x = ϕ(t))
	′			∫ f (t))dt, (t = ϕ(x)) .
	∫ f (ϕ(x)) ϕ (x)dx =			∫ f (t))dt, (t = ϕ(x)) .
Пример 1.2. Вычислить ∫cos(6 −7x)dx .								1 dt . Сделаем замену
Положим 6 −7x =t . Тогда dt = −7dx, dx = −								1 dt . Сделаем замену
						1		7	1
∫	cos(6 −7x)dx =	∫			−	1		= −	1	∫	costdt =
∫		∫				7			7	∫
			cost				dt
	= −1 sint +C = −			1 sin(6 −7x) +C .
	7			7

Пример 1.3. Вычислить ∫x 4dxx + 2 .

−2

Положим 4x + 2 =t . Тогда x =

dt . Сделаем замену

t −

∫

= ∫

= 2∫

= 2ln

+C =

− 2

t +

4x + 2

= 2ln

4x + 2

−

+C .

4x + 2 +

3.Интегрирование по частям выполняется по формуле

∫udv =u v − ∫vdu ,

полученной из равенства ∫d(u v) = ∫(udv +vdu) . Пример 1.4. Вычислить ∫x2 4x dx .

∫x2 4x dx =

u = x2 , dv = 4x dx

= x2

−

∫x 4x dx =

u = x, dv = 4x dx

ln 4

du = 2xdx, v = ln 4

du = dx, v = ln 4

x2 4x

2x 4x

+C .

= x

−

ln 4

ln 4 ∫

ln 4

3 1+ x

Пример 1.5. Вычислить ∫x ln2 xdx .

∫x ln2 xdx =

u = ln2 x, dv = xdx

= ln2 x

− ∫ln x xdx =

du = 2ln x x dx, v

u = ln x, dv = xdx

= ln2 x

∫

−

ln x

−

xdx

du =

dx, v =

ln2

x x2

−ln x

+C .

Методы интегрирования основных классов функций (дробнорациональных, тригонометрических, иррациональных) можно найти в литера-

туре [1], [2].

Задание 1

Найти неопределенные интегралы.

1.2. а) ∫ 2xdx− x2 ;

г) ∫x3 x3x+2 3 x dx ;

− −6

1.3. а) ∫1e+xdxe2x ;

г) ∫2x23+ x +1dx ; x + x

1.4. a) ∫		e	arccos x
						dx ;

		1		− x	2

г) ∫		(5x −8)dx					;
	x3 − 4x2 + 4x

б)

д)

б)

д)

б)

д)

б)

д)

∫(3x −1)dx ;

x2 −6x +10

∫tg3 2xdx ;

∫(x + 2)dx ; 8x2 + x +1

∫cos5 4xdx ;


∫		3x − 4
			dx ;

		x2 −2x +5
∫		dx			;
∫	5sin x + cos x −1				;
∫		(x +1)dx		;
∫	4x2 −12x +13			;

∫cos6 xdx ;

в) ∫x3 ln xdx ;

е) ∫x + 1+ x dx .

в) ∫ln(5 + x2 )dx ;


е) ∫		xdx				.
		3
			x		2
	3x +
в) ∫x2 sin5xdx ;
	1						dx .
е) ∫				1+ x
	x − 2
				1− x

в) ∫x3 arctg xdx ;

е) ∫1− x2 dx . x2

1.5. а)

∫sin(ln x) dx ;

г) ∫

(x − 2)dx

;

4x2 + 4x +3

1.6. а) ∫

xdx

;

3 + 2x4

г) ∫

(x +5)2 dx

;

x2 + 4x + 2

1.7. а) ∫ln x −2 dx ;

г) ∫

2x3 −1

dx ;

x3 −5x2 + 6x

1.8. а)

∫

;

(3 + tg x) cos2 x

г)

∫

x5 + x4 −8

dx ;

x3 − 4x

1.9. а)

∫

;

1−ln

г) ∫

2x −1

dx ;

x3 −5x2 +6x

1.10. а)

∫

ctg x

dx ;

sin2 x

г)

∫

;

x3 + x2

1.11.а) ∫ex dx+e−x ;

г) ∫x3x3−dx27 ;

1.12.а) ∫2 −sin3 xdx ; sin2 x

б)

д)

б)

д)

б)

д)

б)

д)

б)

д)

б)

д)

б)

д)

б)

∫	(x −3)dx	;
	x2 + x + 2

∫ xdx x ; 1− 2 − 4 1− 2

∫	(2x −1)dx			;

		5 − 4x − x	2
		5 − 4x − x

∫cossin5xxdx ;е)

∫(4x +3)dx ; 1− 2x − x2

∫cos3 x sin2 xdx ;

∫	x + 2
	x2 − 2x −5 dx ;

∫cos8x sin 4xdx ;

∫x23+x −x 1+1dx ;

∫5 +3cosdx x ;

(x − 4)dx
∫x2 + 4x + 29	;

∫cos4x sin10xdx ;

∫(3x +5)dx ;

x2 −4x + 2

∫ctg3 4xdx ;

∫	(x + 2)dx	;
	x2 − 4x +1

в) ∫(2x +3) e5xdx ;

е) ∫ctg33xdx .

в) ∫arcsin5xdx;

∫1+xdx4 x .

в) ∫(1+ x) 3−2x dx ;

е) ∫1+3x x++3 3dx .

в) ∫(4x −7) sin7xdx ;

е) ∫(3x2+x1)+dx1 .

в) ∫(x2 + 4) e5xdx ;

е) ∫	3	3	x + 4	dx .
		6
	1+		3x + 4

в) ∫ln2 2xdx;

е) ∫(x −1)x +1dx .

в) ∫(2x −8) 65x dx ;

е) ∫ dx . 2x +1 + 32x +1

в) ∫(x2 +3) e−2xdx ;

г)

1.13. а)

г)

1.14. а)

г)

1.15. а)

г)

1.16. а)

г)

1.17. а)

г)

1.18. а)

г)

1.19. а)

г)

(3x +5)dx
∫(x2 −3x + 2)2	;

∫52dx−5x ;

	7x −15
∫x3 − 2x2 +5x dx ;
∫(e6x + e−7 x )dx ;
∫	dx	;
	x2 +16x +15

∫ln4xx− 2dx ;

∫ 2 x −4 dx; x −2x +1

∫x + dx1+ x ;

∫			dx			;
	2 −5sin			x
∫			exdx		;

			2x
			4 −e
∫	7x −1
		x3 +1 dx ;

∫esin 2x cos2xdx ;

∫ x −4 dx ; x3 −2x2 + x

∫cos3 x sin xdx ;

∫ 2x −21 dx ; (x +1)(x +1)

д)

б)

д)

б)

д)

б)

д)

б)

д)

б)

д)

б)

д)

б)

д)

∫sin5 2xdx ;

∫	x +1		dx ;

	3 + 4x − 4x	2
	3 + 4x − 4x

∫	dx	;
	2sin x +5cos x

∫x2 2−x4+x3+ 7 dx ;

∫1+8cosdx 2 x ;

∫	xdx	;
	9 +8x − x2

∫cos4 x sin6 xdx ;

∫xx2 −−14x dx ;

∫xx3 ++18 dx;

∫x22−x6+x3+1dx ;

∫	dx	;
	sin2 x cos2 x


∫			x −5			dx ;
∫		x2 −4x +1				dx ;
∫			dx				;
∫		sin x + cos x					;
∫			2x +5					dx ;

			x2 − 4x +1
∫	dx				;
∫	1+5sin			x	;

е) ∫4x3 (1+ x)2 dx .

в) ∫(x − 2) ln5xdx ;


е)	∫	x2 −9			dx .

		x
в)	∫arcsin			x	dx ;

		3
е)	∫x					dx.
			x −4

в) ∫x2 cos8xdx ;

е) ∫					dx			.

		x	x	2		+5
		x	x		+ 2x	+5
в) ∫x arctg2xdx ;
е) ∫					dx		.
			3
	1+		3		2x −1
	1+				2x −1

в) ∫(x −5) 7−2x dx ;

е) ∫ 3x −dx4x .

в) ∫arctg3xdx ;

е) ∫				dx				.
			2
	(9	+ x		)	9	+ x	2

в) ∫x2 arctg xdx ;

е) ∫4 − x2 dx .

1.20. а)

г)

1.21.а)

г)

1.22.а)

г)

1.23.а)

г)

1.24.а)

г)

1.25.а)

г)

1.26.а)

г)

1.27.а)

∫31+xln x dx ;

∫x3 − 27xx2 +5x dx ;

∫sin x xdx ;

∫1+x5x3 dx ;

∫24xdx− x4 ;

∫x45 + x42− 2 dx ;

x− 2x +1

∫cosln4xxdx ;

∫		dx	;
		(x2 + 2)(x −1)2
∫		dx	;
	(1+ tg x) cos2 x


∫		dx		;
		x4 + x2
∫	arctg2x				dx;
		1+ 4x2
∫		5xdx				;
		(x − 2)2 (x2 +1)
1+ tg2 x
∫ cos2 x dx ;
∫		x2 + 2
			dx ;
		x4 −16
		−arctg x
∫e1+ x2 dx ;

б)

д)

б)

д)

б)

д)

б)

д)

б)

д)

б)

д)

б)

д)

б)

∫

;

в) ∫x3 ln5xdx ;

4x − 4x

cos xdx

∫

;е

) ∫3

x + 2

dx.

sin2 x + 6sin x −1

x − 2

7x + 2

10x

∫

dx ;

в) ∫e

(2x −3)dx ;

x2 − x +3

∫tg

xdx ;

е)

∫

(x +1)2 3 −(x +1)1 2

∫

− 2)dx

;

в) ∫(x − 2) ln2 4xdx ;

− 4x +1

x 2

е)

xdx

+ ctg

dx ;

∫

x +5

∫

6x −3

в) ∫arcsin

dx ;

2x2 + 4x −1

∫sin

x cos

xdx ;

е)

∫

x2 +16

dx .

∫

4x −3

dx;

в) ∫x

sin(5x − 2)dx ;

x2 + x +1

∫sin4 10xdx ;

е)

∫

2x +1 +

2x +

∫

x +5

dx ;

в) ∫arctg

xdx ;

1− x − x

∫

;

е)

∫

1+ x

dx .

sin2 x −5sin x cos x

1+ x

∫

(2x +1)dx

;

в) ∫x arcsin xdx ;

x2 − 2x + 7

∫sin8x cos10xdx ;

е)

∫

dx .

2 − x

∫

x −1

dx ;

в) ∫x

arctg xdx ;

x2 +6x +8

г) ∫

(x + 2)dx

;

д) ∫tg

2xdx ;

е) ∫

x + 3

2x −1

dx .

x3 − 2x2 + 2x

2x −1

1.28. а) ∫

sin 2x

dx ;

б) ∫

(3x −1)dx

;

в) ∫

ln 2xdx ;

1−cos

x + 2x + 2

x2 − 2

sin3 x

г) ∫

д) ∫

е) ∫

x +1

dx ;

dx .

(x + 4)(x −1)2

−1

cos x

x +1

1.29. а) ∫

;

б) ∫

(3x + 4)dx

;

в) ∫

ln x

dx ;

6 −ln2 x

x2 − 4x +8

г) ∫

xdx

;

д) ∫

;

е) ∫

xdx

x3 −3x + 2

2 +3cos

1− 2x

1.30. а) ∫

sin3xdx

;

б) ∫

(x −2)dx

;

в) ∫e

3)dx ;

x2 + 2x +5

7 −5cos3x

г) ∫

x2dx

;

д) ∫cos

3x sin

3xdx ;

е) ∫

(x −1)dx

(x2 − 4)(x2 + 4)

(1+ 3

x − 2)

Тема 2. ОПРЕДЕЛЕНЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

Интегральной суммой функции			f (x)	на отрезке [a; b] называется сумма
n
∑ f (ξk )∆xk ,	где	∆xk = xk − xk−1,		ξk [xk−1; xk ] (k =		) ,	причем
∑ f (ξk )∆xk ,	где	∆xk = xk − xk−1,		ξk [xk−1; xk ] (k =	1, n	) ,	причем
k=1
a = x0 < x1 <... < xn =b .
Если	существует	предел	интегральной суммы при				λ →0

(λ = max{∆x1, ∆x2 ,...,∆xn}), не зависящий от способа разбиения отрезка [a; b]

на частичные отрезки [xk−1; xk ] и выбора промежуточных точек ξk , то функция f (x) называется интегрируемой на этом отрезке, а сам предел – определен-

ным интегралом от функции f (x)				на отрезке [a; b] и обозначается ∫b				f (x)dx .
Таким образом,							a
Таким образом,
			b		n
			∫ f (x)dx = lim ∑ f (ξk ) ∆xk .
			a	λ→0 k=1
Если	f (x) кусочно-непрерывна на [a; b], то она интегрируема на этом от-
резке.	F(x) – одна из первообразных непрерывной на [a; b]
Пусть	F(x) – одна из первообразных непрерывной на [a; b]							функции
f (x) , тогда справедлива формула Ньютона–Лейбница
		∫b	f (x)dx = F(x)		ba = F(b) − F(a) .			(2.1)
								(2.1)

		a
Для любых a, b, c ∫b		f (x)dx = ∫c		f (x)dx + ∫b			f (x)dx .
	a		a			c
Если функции u =u(x) и v = v(x) непрерывны вместе со своими производ-
ными на [a; b], то имеет место формула интегрирования по частям:
			∫b udv = (u v)			ba − ∫b vdu .		(2.2)
								(2.2)

			a			a
Если функция f (x)		непрерывна на [a; b], а функция x = ϕ(t) непрерывно

дифференцируема и строго возрастает на [α, β], ϕ(α) = a, ϕ(β) =b, то справедлива формула

b	β
	′	(2.3)
∫ f (x)dx = ∫ f (ϕ(t)) ϕ (t)dt ,		(2.3)
a	α

называемая формулой замены переменной в определенном интеграле. Пример 2.1. Вычислить интегралы:

а)

e∫

1+5ln x

dx ;

б) ∫4

x cos2xdx .

Решение.

а)

Введем

новую

переменную

интегрирования

4 +5ln x

=t . Тогда

t2 −4

2 tdt . Найдем пределы интегрирования по переменной t . Из

x = e 5

dx = e 5

формулы

4 +5ln x

=t при x = e , следует, что t =3, т. е.

α =3; при x = e9 , сле-

дует, что t = 7 , т.е. β = 7 . Тогда по формуле (2.3) получаем

−4

1+5ln x

2 t dt =

316 .

∫

dx = ∫

∫t2dt =

t2 −4

2 e 5

б) Применим интегрирование по частям:

u = x, du = dx,

∫4

x cos2xdx =

dv = cos2xdx, v =

sin 2x

= 1 x sin 2x

π +

1 cos2x

π− 2 .

04 −

∫sin 2xdx =

−

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции

y = f (x) ( f (x) ≥ 0 x [a; b]) , прямыми x = a, x =b и осью Ох

(рис. 1), вычис-

ляется по формуле (2.4).

S = ∫b

f (x)dx .

(2.4)

Если f (x) ≤ 0, x [a; b], то S = −∫b

f (x)dx .

Площадь плоской

фигуры,

изображенной

на

рис. 2 (здесь

f1(x) ≤ f2 (x), x [a; b]), вычисляется по формуле

S = ∫b ( f2 (x) − f1(x))dx .

(2.5)

y = f (x)

b X

Рис. 1

y = f2 (x)

y = f1(x)

Рис. 2

Пример 2.3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = x2 −6x +10, y = 6x − x2 , x = −1.

Решение. Даны уравнения парабол и прямой. Параболы построим, приведя их уравнения к виду y = (x −3)2 +1 и y = −(x −3)2 +9 . Проведя прямую

x = −1, определим, площадь какой фигуры требуется вычислить (рис. 3). Ясно, что нижний предел интегрирования в этой формуле равен −1. Верхним пределом интегрирования будет являться абсцисса одной из точек пересечения парабол, которую найдем, решая систему

	2
y = x		−6x +10; 6x − x2 = x2 −6x +10 x2 −6x +5 = 0.

y = 6x − x2

Корень x1 =1 последнего уравнения и есть абсцисса точки пересечения (второй корень x2 =5).

	0
-1	1	3	5	X

Рис. 3

Имеем

S = ∫1	((x2 −6x +10)) −(6x − x2 ))dx = ∫1						(2x2 −12x +10)dx =
−1						−1
		x	3	−3x2		1	64 .

	= 2				+5x	=
		3
						−1	3

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, которая ограничена графиком функции y = f (x), прямыми x = a, x =b и

осью Ох вычисляется по формуле
VOx = π∫b		f 2 (x)dx .	(2.6)
	a
Если фигура, ограниченная графиком двух функций y = f1(x) и			y = f2 (x)
(0 ≤ f1(x) ≤ f2 (x)) x [a, b] и прямыми		x = a, x =b, вращается вокруг оси Ох,
то объем тела вращения
VOx = π∫b ( f2	2 (x) − f12 (x))dx .		(2.7)
a
Пример 2.4. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси
Ох фигуры, ограниченной линиями x2 + y2 = 4, x + y = 2.
Решение. Построив окружность	x2 + y2 = 4 и прямую x + y = 2 ,		получим

круговой сегмент (рис. 4). При вращении его вокруг оси Ох образуется тело, объем VOx которого вычисляется по формуле (2.7), так как этот сегмент ограни-

чен графиком двух функций			y = f1(x)
f1(x) ≤ f2 (x) x [0, 2]. Таким образом,
VOx = π∫2 ((		)2 −(2 − x)2 )dx = π∫2
	4 − x2
0			0

= 2 − x

y = f2 (x) =

4 − x2 ,

причем

(4x −2x

−

2x3

8π

)dx =π

Рис. 4

Если плоская кривая задана уравнением y = f (x), то длина ее дуги от точки А с абсциссой a до точки В c абсциссой b вычисляется по формуле

b
l = ∫	1+ ( f	′	2	dx .	(2.8)
l = ∫	1+ ( f	(x))		dx .	(2.8)

Если кривая задана параметрически:

x = ϕ(t);y =ψ(t),

где t [t1; t2 ] (t1, t2 значения параметра t , соответствующие концам рассматриваемой дуги), то длина дуги определяется формулой

t2
l = ∫	′	2	′	2	dt .	(2.9)
l = ∫	(ϕ (t))		+ (ψ (t))		dt .	(2.9)
t1

Пример 2.5. Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнениями: а) y = ln(1− x2 ) от начала координат до точки (0,5; ln0,75);

б) x = 2(cost +t sint);

при t [0; π].

y = 2(sint −t cost),

Решение. а) Находим y

′

−2x

′ 2

−2x

1+ x2 2

, 1

1− x

+(y )

− x

В соответствии с формулой (2.8) (полагая в ней a = 0, b = 0,5 ) имеем:

0,5	1	2	2	0,5	1	2	0,5		dx	0,5
l = ∫		+ x2		dx = ∫		+ x2 dx = − 2	∫			− ∫dx =
								x	2
0	1− x			0	1− x		0		−1	0

= −ln

x −1

0,5

− x

0,5

= ln3 −0,5.

x +1

б) Вычисляем

′

x (t) = 2(−sint +sint +t cost) = 2cost ,

′

y (t) = 2(cost −cost +t sint) = 2t sint ,

′

+(y

′

= 4t

cos

t +

sin

t = 4t

(x (t))

(t))

Согласно формуле (2.9) имеем

l = ∫π

dt = 2∫π tdt =t2

0π = π2 .

4t2

Задание 2

2.1.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x2; y =3 − x .

2.2.Найти длину дуги линии y = 2cos3 t; y = 2sin3 t .

2.3.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y2 = x +1; y2 =9 − x .

2.4.Найти длину дуги линии y2 = (x +1)3 , отсеченной прямой x = 4.

2.5.Найти объем тела, полученного вращением фигуры Ф: y2 = 4 − x, x = 0 вокруг оси Ох.

2.6. Найти площадь фигуры, образованной линиями y

; y =

1+ x2

2.7.

Найти

длину

дуги

линии

y = 2(cost +t sint);

y = 2(sint −t cost) (0 ≤t ≤ π) .

2.8.

Найти

объем тела,

полученного

вращением

фигуры Ф:

2, x = 0, y = 0 вокруг оси Ох.

2.9. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y2 = x3; x = 0, y = 4.

2.10. Найти длину дуги линии

y =1−lncos x

≤ x ≤

2.11. Найти объем тела, полученного вращением фигуры Ф: y =sin x; y = 0 (0 ≤ x ≤ π) вокруг оси Ох.

2.12. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = 2 − x2 ; x + y = 2 .

2.13. Найти длину дуги линии y = e	x	+ e−	x	(0 ≤ x ≤ 2).
	2		2

2.14. Найти объем тела, полученного вращением фигуры Ф: y = x2; 8x = y2 вокруг оси Oy.

2.15. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x − x2; y = 0. 2.16. Найти длину дуги линии y2 = x3 от точки А( 0; 0) до точки В( 4; 8).

2.17. Найти объем тела, полученного вращением фигуры Ф:

=1 во-

круг оси Ох.

2.18.

Найти

площадь

фигуры,

ограниченной

линиями

2y = x2; 2x + 2y −3 = 0.

2.19. Найти длину дуги линии x =

t2 , y =t −t3 (петля).

2.20.

Найти объем тела,

полученного

вращением

фигуры

Ф:

y = ex , x = 0, y = 0, x =1

вокруг оси Oх.

2.21. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x3,

x = 0, y =8 .

2.22. Найти длину дуги линии

≤ x ≤

y = lnsin x

2.23. Найти объем тела, полученного вращением фигуры Ф:

y2 =

x =3

вокруг оси Oх.

2.24.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = −x2 +8, y = x2 .

2.25.Найти длину дуги линии y = 7(t −sint); y = 7(1−cost),(2π≤t ≤ 4π) .

2.26.	Найти	объем тела,	полученного	вращением		фигуры Ф:
y = 2x − x2 , y = 0 вокруг оси Oх.
2.27.	Найти	площадь	фигуры,	ограниченной		линиями
x y = 4, 2x + y −6 = 0 .
2.28. Найти длину дуги линии x =5cos2 t, y =5sin2 t , 0 ≤t ≤					π	.
					2

2.29.Найти объем тела, полученного вращением фигуры Ф: y = x, y = x вокруг оси Ох.

2.30.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями x2 = 4 + y, y = 2.

Тема 3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Пусть функция y = f (x) определена на [a; + ∞) и интегрируема на любом

отрезке [a; b] [a;+∞). Тогда	blim→+∞ ∫b	f (x)dx		называется несобственным инте-
	a
гралом от функции f (x) в пределах от			a до +∞ и обозначается			+∞∫ f (x)dx .
Таким образом						a
Таким образом
+∞∫	f (x)dx =blim→+∞		∫b	f (x)dx.		(3.1)
a			a
Аналогично определяются интегралы
∫b	f (x)dx = alim→−∞ ∫b			f (x)dx .		(3.2)
−∞			a
+∞∫ f (x)dx = alim→−∞ ∫c		f (x)dx +blim→+∞ ∫b			f (x)dx .	(3.3)
−∞	a			c

(с – любая точка интервала (−∞;+ ∞), чаще c = 0), где a → −∞, b → +∞ незави-

симо друг от друга.

Если приведенные пределы существуют и конечны, то соответствующие интегралы называют сходящимися. В противном случае интегралы называют-

ся расходящимися.

Признак сравнения. Если 0 ≤ f (x) ≤ ϕ(x) x [a;+∞) , то из сходимости интеграла +∞∫ϕ(x)dx следует сходимость +∞∫ f (x)dx , а из расходимости интегра-

a	a
ла +∞∫ f (x)dx – расходимость интеграла	+∞∫ϕ(x)dx .
a	a

Пример 3.1. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:

а)	+∞∫	dx	;
		(1− x)6
	0

Решение.

а) Воспользуемся формулой (3.1):

	+∞	dx
	−∞∫
б)			.
		8 + 2x2 + 4x

+∞∫

=blim→+∞ ∫b

= −blim→+∞

∫b (1− x)−6 d(1− x) =

(1− x)6

1 .

= lim

−

= −

b→+∞ 5(1− x)

b→+∞

5(1−b)

б) Согласно формуле (3.3)

+∞

∫

= alim→−∞ ∫

+blim→+∞ ∫

8 + 2x2

+ 4x

2(x2

+ 2x + 4)

2(x2 + 2x + 4)

−∞

d(x +1)

2 alim→−∞ ∫

2 blim→+∞

∫

(x +1)2

(x +1)2 +

1 lim

arctg

x +

1 lim

arctg

x +

2 a→−∞

2 b→+∞

a +1

b +1

lim arctg

−arctg

lim

arctg

−arctg

3 a→−∞

3 b→+∞

Задание 3

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

+∞			xdx									+∞		16xdx											+∞			xdx
3.1. ∫						.						3.2. ∫									.				3.3. ∫							.
	16x			4	+1								16x					4	−1
				4														4										x	4	+1
0												1													0			x		+1
3.4. +∞∫			xdx			.						3.5. ∫0						xdx					.		3.6. +∞∫				x2dx						.

			4															2				3							3				2
2			x −1									−∞ (x +								4)					0	3		(x		+			8)
3.7. +∞∫				xdx						.		3.8. +∞∫							xdx					.	3.9. +∞∫						dx							.
																														2
							2		5								2													2
0	4		(18 + x					)				4				x			− 4x			+1			−1	π(x				+				4x			+5)
+∞					xdx							+∞ arctg 2x													+∞					16				dx
3.10. −∫1											.	3.11. ∫0										dx .			3.12. ∫1											.
3.10. −∫1		x2 + 4x +5									.	3.11. ∫0			1+ 4x2							dx .			3.12. ∫1		4x2 + 4x +5									.
																									2

+∞

xdx

+∞

(x + 2)dx

+∞ 3 − x2

3.13. ∫0

3.14. ∫0

3.15. ∫0

dx .

4x2 + 4x +5

x2 + 4

(x2 + 4x +1)4

+∞

arctg3x

4dx

3.16. ∫

dx .

3.17. ∫

3.18. ∫ x e−3xdx .

1+9x2

x(1+ ln2 x)

−1

7dx

+∞

x2dx

3.19. −∞∫

3.20. ∫1

3.21. ∫1

x2 − 4x

(1+9x2 ) arctg2 3x

1+ x6

3.22. +∞∫ x exdx.

3.23. +∞∫

−

dx . 3.24. +∞∫e−5x 2xdx .

1+ x

−∞

+∞ ln3 x

+∞

3.25. ∫1

4x dx .

3.26. ∫1

3.27. e∫2

(1+ x)

x(ln x −1)2

+∞

xdx

+∞

3.28. ∫

3.29. ∫2

3.30. ∫3

x4 +9

x2 −3x + 2

x −1

Тема 4. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ

Пусть функция f (x, y) определена в ограниченной замкнутой области D плоскости xOy . Разобьем область D произвольным образом на n элементарных областей S1, S2 , ..., Sn , имеющих площади ∆S1, ∆S2 , ..., ∆Sn и диаметры d1, d2 , ..., dn (диаметром области называется наибольшее из расстояний между

двумя точками границы этой области). Выберем в каждой элементарной области ∆Sk произвольную точку Pk (ξk ,ηk ) .

Интегральной суммой для функции f (x, y) по области D называется

сумма вида ∑ f (ξk ,ηk )∆Sk .

k=1

Если при max dk →0 интегральная сумма имеет определенный конечный

предел I = lim ∑ f (ξk ,ηk )∆Sk , не зависящий от способа разбиения D на

max dk →0 k=1

элементарные области и от выбора точек Pk в пределах каждой из них, то этот предел называется двойным интегралом от функции f (x, y) в области D и обозначается следующим образом:

I = ∫∫ f (x, y)ds =		n
I = ∫∫ f (x, y)ds =	lim	∑ f (ξk ,ηk )∆Sk .
D	max dk →0 k=1

Если f (x, y) > 0 в области D , то двойной интеграл ∫∫ f (x, y)ds равен объ-

ему цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z = f (x, y) ,

сбоку цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz , и снизу областью D , принадлежащей плоскости xOy .

Основные свойства двойного интеграла

1. ∫∫ [ f1(x, y) ± f2 (x, y)]ds = ∫∫ f1(x, y)ds ± ∫∫ f2 (x, y)ds .

D D D

2. ∫∫ cf (x, y)ds = c∫∫ f (x, y)ds .

D D

3. ∫∫ ds = SD , где SD – площадь области интегрирования D .

4.	Если область интегрирования D разбита на две области D1 и D2 , то
	∫∫ f (x, y)ds = ∫∫ f (x, y)ds + ∫∫ f (x, y)ds .
	D	D1	D2
5.	Оценка двойного интеграла. Если m ≤ f (x, y) ≤ M , то
		mSD ≤ ∫∫ f (x, y)ds ≤ MSD .
		D
	Правила вычисления двойных интегралов
Различают два основных вида области интегрирования.
1.	Область интегрирования D ограничена слева и справа прямыми x = a ,
x =b (a <b), а снизу и сверху – непрерывными кривыми y = ϕ1(x) ,				y = ϕ2 (x)
(ϕ1(x) ≤ ϕ2 (x)) , каждая		из которых	пересекается вертикальной	прямой
x = c (a ≤ c ≤b) только в одной точке (рис. 5).

y = ϕ2 (x)

y = ϕ1(x)

a c

b X

Рис. 5

Для такой области двойной интеграл вычисляется по формуле

	b	ϕ2 (x)
∫∫ f (x, y)dxdy = ∫dx		∫ f (x, y)dy ,
D	a	ϕ1 (x)

ϕ2 (x)

причем сначала вычисляется внутренний интеграл ∫ f (x, y)dy , в котором х

ϕ1 (x)

считается постоянным.

2. Область интегрирования D ограничена снизу и сверху прямыми y = c ,

y = d (c < d) , а слева и справа – непрерывными кривыми x = ψ1(y) , x = ψ2 (y) (ψ1(y) ≤ ψ2 (y)) , каждая из которых пересекается горизонтальной прямой

y =β (c ≤β≤ d) только в одной точке (рис. 6).

Для такой области двойной интеграл вычисляется по формуле

	d	ψ2 (x)
∫∫ f (x, y)dxdy = ∫dy		∫ f (x, y)dx ,
D	c	ψ1 ( x)

ψ2 (x)

причем сначала вычисляется внутренний интеграл ∫ f (x, y)dx , в котором у

ψ1 (x)

считается постоянным.

Правые части указанных формул называются повторными (или двукратными) интегралами

y = ψ1(x)

y = ψ2 (x)

Рис. 6

В более общем случае область интегрирования путем разбиения на части сводится к основным областям.

Пример 1. Вычислить ∫∫(2x +sin y)dxdy , где область D ограничена лини-

ями x = 0, y = 0, 4x + 4y − π = 0 .

Решение. Построим область D . Из рисунка видно, что она принадлежит к первому виду.

Находим

ππ−x

∫∫(2x +sin y)dxdy = ∫4 dx4∫ (2x +sin y)dy =

π−x

dx =

= ∫(y 2x −cos y)

∫

− x

2x −cos

− x

+1 dx =

x −2x

−cos

∫0

− x

+1 dx =

2x3

π3

−

+sin

− x

+ x

−

y = π4 − x

0	π	X
	4

Рис. 7

Пример 2. Изменить порядок интегрирования в повторном интегра-

ле ∫1 dx2∫−x		f (x, y)dy .
0	x2
	Решение. Область			интегрирования D расположена между прямыми
x = 0, x =1,			ограничена	снизу	параболой y = x2 , сверху прямой		y = 2 − x
(рис. 8).
	Так как правый участок границы области D задан двумя линиями, то пря-
мая	y =1		разбивает	ее	на области	D1 : 0 ≤ y ≤1, 0 ≤ x ≤	y	и

D2 : 1≤ y ≤ 2, 0 ≤ x ≤ 2 − y .

В результате получаем

1	2−x	1		y	2	2−y
∫dx ∫		f (x, y)dy = ∫dy ∫			f (x, y)dx + ∫dy	∫ f (x, y)dx .
0	x2	0	0		1	0

Y
2
D2	y = 2 − x
1	y = x2
D1
0	1	2	Х

			Рис. 8
Пример 3.	Вычислить		площадь		фигуры,		ограниченной линиями
y = x2 −2x, y = x .
Решение. По уравнениям границы области						D строим данную фигуру
(рис.9). На основании свойства 3 двойных интегралов искомая площадь
	3	x	3				3				x2	3	9
												3

S = ∫∫dxdy = ∫dx		∫ dy = ∫(x − x		2	+ 2x)dx	=		x	2	−		=		.
							2						2

D	0	x2 −2x	0								3	0
D	0	x2 −2x	0								3	0

y = x

y = x2 −2x

Рис. 9

Задание 4

Представить двойной интеграл ∫∫ f (x, y)dxdy в виде повторного интеграла

с внешним интегрированием по x и внешним интегрированием по y , если область D задана указанными линиями.

4.1.D : y = 4 − x2 , y = 3x, x ≥ 0.

4.2.D : x2 = 2y, 5x −2y −6 = 0.

4.3.D : x = 8 − y2 , y ≥ 0, y = x .

4.4.D : x ≥ 0, y ≥ 0, y ≤1, y = ln x .

4.5.D : x2 = 2 − y, x + y = 0 .

4.6.D : y = 2 − x2 , y = x2 .

4.7.D : y = x2 − 2, y = x .

4.8.D : x ≥ 0, y ≥1, y ≤3, y = x .

4.9.D : y2 = 2x, x2 = 2y, x ≤1.

4.10.D : x ≥ 0, y ≥ x, y = 9 − x2 .

4.11.D : y2 = 2 − x, y = x .

4.12.D : x = 2 − y2 , x = y2 , y ≥ 0 .

4.13.D : y ≥ 0, x + 2y −12 = 0, y =10x .

4.14.D : x ≤ 0, y ≥1, y ≤3, y = −x .

4.15.D : y = 0, , y ≥ x, y = −2 − x2 .

4.16.D : y ≥ 0, x = y, y = 8 − x2 .

4.17.D : y = −x, y2 = x +3.

4.18.D : y = 4 − x2 , x ≥ 0, x =1, y = 0.

4.19.D : x = −1, x = −2, y ≥ 0, y = x2 .

4.20.D : y ≤ 0, x2 = −y, x = 1− y2 .

4.21.D : y ≥ 0, y ≤1, y = x, x = −4 − y2 .

4.22.D : x ≤ 0, y =1, y = 4, y = −x .

4.23. D : y =3 − x2 , y = −x .

4.24.	D : x = 0,	x = −2,	y ≥ 0, y = x2 + 4 .
4.25.	D : x = 0,	y = 0,	y =1, (x −3)2 + y2 =1.

4.26.D : x = 9 − y2 , y = x, y ≥ 0 .

4.27.D : x + 2y −6 = 0, y = x, y ≥ 0.

4.28.D : y = −x, 3x + y =3, y =3.

4.29. D : x ≥ 0,	y =1,	y = −1, y = log1 x .
			2
4.30. D : x ≥ 0,
	y ≥ 0,	y =1, x =		4 − y2 .
		Задание 5
Вычислить площадь плоской			области D , ограниченной заданными лини-