Задания и методические указания для типовых расчетов по математике

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра «Высшая математика № 2»

ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ

ПО МАТЕМАТИКЕ

для студентов 1-го курса энергетического факультета

М и н с к Б Н Т У

2 0 1 0

1

УДК 51 (075.8)

ББК 22.1я7

З 15

Составители:

Л.Д. Матвеева, Е.С. Матюш, Н.А. Шавель

Рецензенты:

В.В. Карпук, В.В. Павлов

Настоящее издание включает в себя задания по темам «Элементы линейной алгебры», «Векторная алгебра и аналитическая геометрия», «Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной».

Каждое задание состоит из 32 контрольных вариантов. По всем темам приводятся примеры решения типовых задач.

Издание содержит список рекомендуемой литературы.

Задания и методические указания также могут быть полезны преподавателям, ведущим практические занятия по данному курсу.

© БНТУ, 2010

2

ЗАДАНИЯ К ТИПОВЫМ РАСЧЕТАМ

З а д а н и е 1

Решить методом Гаусса систему линейных уравнений.

3

4

З а д а н и е 2

Даны координаты вершин треугольной пирамиды A1 A2 A3 A4 . Найти:

1)проекцию вектора A1 A2 на вектор A3 A4 ;

2)площадь грани A1 A2 A3 ;

3)объем пирамиды;

4)расстояние от вершины A1 до плоскости, в которой лежит грань A2 A3 A4 ;

5)расстояние от вершины A1 до прямой A2 A3 ;

6)угол между ребром A1 A4 и гранью A2 A3 A4 ;

7)угол между гранями A1 A2 A3 и A2 A3 A4 ;

8)координаты указанного вектора x в заданном базисе, предварительно

показав, что данные векторы образуют базис в R3 ;

9)уравнение указанной плоскости;

10)уравнения указанной прямой.

2.1. A1(1; 1; 0), A2 (6; 3; 1) , A3 ( 2; 4; 2), A4 (3; 2; 3) .

8)x (7; 23; 4) в базисе A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 ;

9)уравнение плоскости, проходящей через вершину A3 параллельно сечению A1 A2 K , где точка K делит ребро A3 A4 в отношении 2:1;

10)уравнения высоты треугольника A1 A2 A4 , опущенной из вершины A4 на сторону A1 A2 .

5

2.2. A1(2; 0; 1), A2 (4; 1; 3) , A3 (1; 1; 1), A4 (5; 4; 2) .

8)x (0; 11; 14) в базисе A1 A2 , A2 A3 , A3 A4 ;

9)уравнение плоскости, проходящей через ребро A3 A4 перпендикулярно

грани A1 A2 A3 ;

10) уравнения биссектрисы треугольника A2 A3 A4 , проведенной из вер-

шины A4 .

2.3. A1( 1; 2; 1), A2 (0; 1; 1) , A3 ( 6; 4; 2), A4 (1; 1; 4) .

8)x (28; 19; 7) в базисе A2 A1, A1 A4 , A2 A3 ;

9)уравнение плоскости, проходящей через вершину A2 параллельно сечению A1 A4 K , где точка К делит ребро A2 A3 в отношении 1: 2 ;

10)уравнения прямой A4M , где М – точка пересечения медиан треуголь-

ника A1 A2 A3 .

2.4. A1(3; 5; 1), A2 ( 1; 5; 9) , A3 (1; 0; 1), A4 (2; 3; 5) .

8)x (13; 5; 4) в базисе A3 A4 , A1 A3 , A2 A4 ;

9)уравнение плоскости, проходящей через вершину A1 и высоту пирамиды, опущенную из вершины A4 на грань A1 A2 A3 ;

10)уравнения серединного перпендикуляра, проведенного к стороне A1 A2

треугольника A1 A2 A4 .

2.5. A1( 5; 3; 3), A2 (0; 0; 2) , A3 (1; 1; 3), A4 (2; 1; 2) .

8)x ( 15; 10; 5) в базисе A2 A3 , A2 A1, A2 A4 ;

9)уравнение плоскости, проходящей через ребро A2 A4 перпендикулярно

грани A1 A2 A3 ;

10) уравнения прямой, проходящей через вершину A1 параллельно грани A2 A3 A4 и пересекающей ось OY.

2.6. A1(2; 1; 2), A2 ( 5; 0; 3) , A3 ( 1; 0; 0), A4 ( 8; 2; 4) . 8) x (16; 6; 15) в базисе A3 A1, A3 A4 , A3 A2 ;

9) уравнение плоскости, симметричной плоскости A1 A2 A3 относительно вершины A4 ;

10) уравнения высоты треугольника A2 A3 A4 , опущенной из вершины A4 .

2.7. A1(2; 0; 1), A2 ( 1; 0; 0) , A3 (4; 7; 4), A4 ( 2; 3; 4) . 8) x ( 16; 33; 13) в базисе A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 ;

9) уравнение плоскости, проходящей через середину ребра A3 A4 перпендикулярно ребру A1 A2 ;

10) уравнения биссектрисы треугольника A1 A2 A4 , проведенной из вершины

A1 .

6

2.8. A1(5; 2; 3), A2 (0; 1; 1) , A3 (4; 2; 6), A4 (3; 3; 0) .

8)x ( 45; 15; 66) в базисе A2 A1, A1 A4 , A2 A3 ;

9)уравнение плоскости, проходящей через ребро A2 A4 перпендикулярно

грани A1 A2 A3 ;

10) уравнения прямой A1M , где М – точка пересечения медиан

треугольника A2 A3 A4 .

2.9. A1( 5; 3; 2), A2 (4; 6; 3) , A3 ( 1; 0; 0), A4 ( 1; 2; 3) .

8)x ( 19; 5; 4) в базисе A3 A4 , A1 A3 , A2 A4 ;

9)уравнение плоскости, проходящей через вершину A1 параллельно грани

A2 A3 A4 ;

10) уравнения прямой, проходящей через точку O(0;0;0) параллельно грани A2 A3 A4 и пересекающей прямую A1 A4 .

2.10. A1(1; 0; 2), A2 (3; 2; 0) , A3 ( 2; 1; 0), A4 ( 1; 3; 3) .

8)x ( 3; 2; 3) в базисе A3 A1, A1 A4 , A4 A2 ;

9)уравнение плоскости, проходящей через середину ребра A1 A2 и высоту пирамиды, опущенную из вершины A4 на грань A1 A2 A3 ;

10)уравнения прямой, проходящей через точку A1 параллельно прямой

2x 3y z 1 0,x 2 y z 3 0.

2.11. A1(2; 6; 2), A2 ( 2; 1; 0) , A3 (5; 2; 0), A4 (3; 4; 1) . 8) x ( 9; 34; 20) в базисе A2 A4 , A4 A1, A1 A3 ;

шины A3 .

2.12. A1(1; 4; 1), A2 (3; 0; 2) , A3 (2; 2; 4), A4 (0; 1; 1) .

8)x (1; 12; 20) в базисе A4 A2 , A2 A1, A1 A3 ;

9)уравнение плоскости, проходящей через ребро A3 A4 перпендикулярно

грани A1 A2 A4 ;

10) уравнения прямой, проходящей через вершину A4 параллельно прямой

x 2 y z 4 0,2x y 2z 7 0.

7

2.13. A1(0; 3; 2), A2 (6; 4; 5) , A3 ( 3; 5; 1), A4 ( 1; 0; 2) .

8)x (15; 6; 17) в базисе A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 ;

9)уравнение плоскости, симметричной плоскости A1 A2 A3 относительно вершины A4 ;

10)уравнения высоты треугольника A2 A3 A4 , опущенной из вершины A4 на

сторону A2 A3 .

2.14. A1(4; 3; 2), A2 (0; 1; 1) , A3 (1; 4; 6), A4 (3; 0; 1) . 8) x ( 12; 14; 31) в базисе A2 A1, A1 A3 , A3 A4 ;

2.15. A1(2; 0; 1), A2 (3; 5; 4) , A3 (0; 1; 2), A4 ( 2; 8; 3) .

8)x (31; 6; 22) в базисе A1 A3 , A3 A2 , A2 A4 ;

9)уравнение плоскости, проходящей через вершину A2 и высоту пирамиды, опущенную из вершины A1 на грань A2 A3 A4 ;

10)уравнения серединного перпендикуляра, проведенного к стороне A1 A4

треугольника A1 A2 A4 .

2.16. A1( 2; 0; 6), A2 ( 1; 0; 3) , A3 (0; 3; 9), A4 ( 3; 7; 4) .

8)x (8; 47; 65) в базисе A2 A3 , A3 A4 , A4 A1 ;

9)уравнение плоскости, проходящей через ребро A1 A4 перпендикулярно

грани A2 A3 A4 ;

10) уравнения прямой, симметричной прямой A2 A3 относительно вер-

шины A1 .

2.17. A1(4; 2; 1), A2 (6; 7; 4) , A3 ( 3; 0; 0), A4 (9; 3; 1) .

8)x (26; 11; 1) в базисе A3 A1, A1 A4 , A4 A2 ;

9)уравнение плоскости, проходящей через ребро A1 A2 параллельно ребру

A3 A4 ;

10) уравнения прямой, проходящей через вершину A4 и точку пересечения медиан треугольника A1 A2 A3 .

2.18. A1(9; 7; 1), A2 (3; 9; 0) , A3 (2; 3; 1), A4 (5; 2; 5) .

8)x (6; 9; 22) в базисе A3 A4 , A4 A2 , A2 A1 ;

9)уравнение плоскости, проходящей через вершину A4 параллельно сечению A1 A2 K , где точка K делит ребро A3 A4 в отношении 1: 2 ;

8

10) уравнения прямой, проходящей через вершину A1 параллельно грани

10) уравнения серединного перпендикуляра, проведенного к стороне A2 A3

треугольника A1 A2 A3 .

2.20. A1( 5; 0; 1), A2 ( 1; 2; 12) , A3 (3; 4; 5), A4 (6; 1; 1) .

8)x ( 5; 11; 15) в базисе A1 A4 , A4 A3 , A3 A2 ;

9)уравнение плоскости, проходящей через вершину A1 и высоту пирамиды, опущенную из вершины A4 на грань A1 A2 A3 ;

10)уравнения высоты треугольника A1 A2 A4 , опущенной из вершины A4 на

сторону A1 A2 .

2.21. A1(0; 8; 3), A2 (4; 1; 1) , A3 ( 8; 2; 1), A4 ( 5; 4; 2) .

8)x ( 10; 13; 8) в базисе A4 A2 , A4 A3 , A1 A2 ;

9)уравнение плоскости, проходящей через середину ребра A1 A3 перпендикулярно ребру A2 A4 ;

10)уравнения биссектрисы треугольника A1 A2 A3 , проведенной из вер-

шины A1 .

2.22. A1(2; 3; 0), A2 (1; 1; 2) , A3 ( 5; 1; 1), A4 (5; 2; 6) .

8)в базисе A3 A1, A1 A4 , A4 A2 ;

9)уравнение плоскости, симметричной плоскости A2 A3 A4 относительно вершины A1 .

10)уравнения прямой A4M , где М – точка пересечения медиан

треугольника A1 A2 A3 .

2.23. A1( 3; 1; 0), A2 ( 7; 4; 2) , A3 ( 13; 8; 7), A4 ( 2; 1; 3) .

8)x ( 4; 11; 20) в базисе A1 A4 , A4 A2 , A2 A3 ;

9)уравнение плоскости, проходящей через ребро A1 A2 перпендикулярно

грани A2 A3 A4 ;

10) уравнения прямой, проходящей через вершину A1 параллельно грани A2 A3 A4 и пересекающей ось OZ.

2.24. A1(3; 3; 6), A2 (2; 4; 0) , A3 (0; 1; 1), A4 (7; 0; 4) .

9

8)x ( 4; 22; 13) в базисе A2 A3 , A3 A1, A1 A4 ;

9)уравнение плоскости, проходящей через вершину A1 параллельно сечению A2 A3K , где точка K делит ребро A1 A4 в отношении 2:1;

10)уравнения прямой, симметричной прямой A1 A2 относительно вершины

A3 .

2.25. A1(1; 0; 2), A2 ( 1; 6; 5) , A3 ( 3; 3; 1), A4 ( 2; 1; 0) . 8) x (14; 14; 20) в базисе A4 A1, A1 A3 , A3 A2 ;

9) уравнение плоскости, проходящей через вершину A1 и прямую

x 2 y z 1 0,2x 3y z 3 0;

10) уравнения прямой, проходящей через вершину A4 и точку пересечения плоскости A1 A2 A3 с осью OY.

параллельно ребру A1 A2 ;

10) уравнения прямой, проходящей через точку O(0;0;0) , лежащей в плоскости OXY и перпендикулярной прямой A1 A2 .

2.28. A1(3; 3; 2), A2 (2; 0; 1) , A3 (3; 5; 5), A4 (1; 9; 8) .

8)x ( 8; 10; 13) в базисе A2 A1, A3 A4 , A1 A3 ;

9)уравнение плоскости, проходящей через ребро A2 A3 параллельно оси

OY;

10) уравнения прямой, проходящей через середину ребра A1 A4 и точку пересечения плоскости A2 A3 A4 с осью OХ.

2.29. A1(5; 5; 7), A2 (3; 2; 2) , A3 (0; 2; 5), A4 (2; 6; 4) . 8) x (14; 9; 1) в базисе A3 A1, A1 A4 , A4 A2 ;

10