Тема 4. Теорияграфов

Практическая работа 7

Способы задания графов. Операции над графами

Краткая теория

Граф может быть задан списком или матричными структурами.

Списки. При описании графа списками используют модели

G = <X; R> и G = <X; H>.

Первая форма – список отношений – применяется в тех случаях, когда необходимо хранить

информацию о весе ребра (протяженность, загрузка, пропускная способность линии связи и т. п.) и поиска инцидентных вершин.

Вторая форма – список смежности – применяется в тех случаях, когда необходимо хранить информацию о весе вершины (время исполнения оператора, надежность контактной площадки или загруженность узла и т. п.) и поиска смежных вершин.

При описании графа матрицами прежде всего используют матрицы инциденции и матрицы смежности

Матрица инциденции. Поскольку инциденция есть отношение принадлежности элемента одного множества другому, то для графа G = <X, R> матрица инциденции ||q|| фиксирует эту принадлежность элемента множества R элементу множества X на множестве {0, 1}. Строки матрицы есть элементы множества R, а столбцы – элементы множества X. Элементы матрицы инциденции неориентированного графа определяются по формуле

1, если ri = (xi , x j ) инцидентно x j ,

G(i, j) =

0, в противном случае.

В каждой строке матрицы количество единиц равно двум, а в каждом столбце – степени вершины – σi.

42

При задании ориентированного графа с петлями рекомендуется расщеплять вершину с петлей на две вершины: вершину-исток и вершину-сток,

В каждом столбце матрицы число +1 равно полустепени исхода вершины xi, т. е. σi +, а число –1 равно полустепени захода вершины

xi, т. е. σi –.

Матрица смежности. Поскольку смежность есть отношение между элементами одного множества, то матрица смежности R есть квадратная матрица, число строк и столбцов которой равно мощности множества |X| = n.

Элементы матрицы смежности определяются соотношением

1, если xi смежна x j ,

R(i, j) =

0, в противном случае.

Матрица весов. Матрица весов вершинно-взвешенного графа есть матрица-столбец, число строк которой равно числу вершин n, а позициями являются значение веса вершины:

p1

P(G) = p...2 . pn

Матрица весов реберно-взвешенного графа есть квадратная матрица, число строк и столбцов которой равно числу вершин графа.

Позиции матрицы весов P(xi, xj) при i ≠ j определяются соотношением

Матрица достижимости. Поскольку H(xi) есть множество вершин, которые смежны вершине xi, или «окрестность» вершины xi,

43

или достижимы из xi за «один шаг», то отображение h(h(xi)) = h2(xi) есть вершины графа, достижимые из xi за «два шага» через вершины, сформированные на «первом шаге». Отображение h(h(h(xi))) = h3(xi) есть вершины, достижимые из вершины xi за «три шага» через вершины, сформированные на втором шаге. Так как любая вершина

связного графа должна быть достижима за p ≤ n «шагов», то множество вершин, достижимых из вершины xi за это число «шагов», может быть представлено в виде

qp(xi) = I h(xi) h2(xi) … hp(xi),

где I –диагональ матрицы.

Для построения матрицы достижимости удобно использовать матрицу смежности, т. е.

||qp|| = I ||r|| ||r2|| ||r3|| … ||rp|||.

Для возведения в степень матрицы смежности используют правило умножения булевых матриц:

ri, j2 = k = 1 n (ri, k rk, j),

ri, j3 = k = 1 n (ri, k rk, j2) и т. д.

Матрица разрезов. Если можно построить множество разрезов в виде совместимых кортежей, то можно оформить матрицу разрезов B, строками которой являются индексированные разрезы bi, а столбцами – ребра графа rj, одни из концевых вершин которых принадлежат множеству X’, а другие – множеству (X\X’). Элементы матрицы разрезов вычисляют по формуле

1, если j-е ребро участвуетв i-м разрезе, B(i,j) = 0, в противном случае.

Матрица циклов. Если в графе существует несколько циклов, то их описание удобно сосредоточить в матрице циклов С, каждая строка которой есть индексированный цикл ci, а ка ждый столбец – ребро, включаемое в цикл.

44

Элементы матрицы циклов вычисляют по формуле

1, если j-е ребро участвуетв i-м цикле, С(i,j) = 0, в противном случае.

Операции над графами

1. Дополнение графа (рис. 7.1)

Дополнение графа G(X, E) до полного графа

G = (X , E = {e X × X e E}).

Обратите внимание на стрелки !!!

Рис. 7.1. Дополнение графа

2. Объединение (рис. 7.2)

G1 G2 = G(X1 X2, E1 E2).

Рис. 7.2. Объединение графов

Обратите внимание – ребра е6 и е10 – это разные связи вершин 2 и 4 (разные дороги между пунктами 2 и 4).

45

3. Пересечение (рис. 7.3)

G1 ∩ G2 = G(X1 ∩ X2, E1 ∩ E2)

при условии

X1 ∩ X 2 ≠ , E1 ∩E2 ≠ .

Рис. 7.3. Пересечение графов

4. Кольцевая сумма

G1 G2 = G(X = X1 X2,

E = E1 E2 = E1\E2 E2\E1).

Замечание. Операции 2–4 коммутативные бинарные операции, но могут быть расширены на большее число графов.

Рис. 7.4. Кольцевая сумма

5. Произведение (рис. 7.5)

G1 ×G2 = G(X , E),

где X = X1 × X2 ,

E={(a1b1, a2b2 ) E, (a1 = a2 ) (b1, b2 ) E2 (b1 =b2 ) (a1, a2 ) E1}.

Впроизведении графов вершины обозначаются парами ab, где символы a и b – обозначения вершин в G1 и G2 соответственно.

Пример.

Ребро (1x, 1y) E, так как первые символы совпадают (1 = 1), а в G2 есть ребро (x, y). Аналогично и для других ребер.

46

Замечание. Композиция G1[G2] означает, что каждая вершина G1 заменяется на копию Ga = G2, а затем, если (a1, a2) E1, то между любыми вершинами b1 из Ga1 и b2 из Ga2 проводится ребро (дуга) (b1, b2).

7. Разность

G1\G2 = G(X1\X2, E),

где E = {[x1, x2]| x1, x2 X1\X2 [x1, x2] E1 [x1, x2] E2}.

8. Удаление вершины

G(X, E)\{xi}.

В результате получается подграф, содержащий все ребра, инцидентные множеству X\{xi}.

9. Удаление ребра (рис. 7.7)

G\{ei}.

Удаляется ребро, но при этом сохраняются концевые вершины, получается частный подграф.

Рис. 7.7. Удаление ребра графа

10. Добавление вершины

G(X1, E1) + {x} = G(X1 {x}, E = E1), {x} X1.

48

11. Добавление ребра

G(X1, E1) + {e} = G(X, E = E1 {e}), {e} E1.

Радиус и диаметр графа

Обозначим через d(a, b) длину кратчайшего маршрута между вершинами a и b.

Для d(a, b) справедливы следующие утверждения:

1)d (a, a) = 0;

2)d (a, b) ≥ 0;

3)d (a, b) = 0 a = b.

для неорграфа расстояния симметричны:

4)d (a, b) = d (b, a),

5)d (a, b) ≤ d (a, c) + d (c, b).

Пример (рис. 7.8).

Рассмотрим вершину х1:

d(x1, x2) = d(x1, x4) = d(x1, x5) = 1, d(x1, x3 ) = 2,

max d(x1, xi) = d(x1, x3) = 2.

xi X. Рис. 7.8. Пример графа

Для каждой вершины xi существует максимальный кратчайший маршрут до некоторой вершины xj, он называется эксцентриситетом вершины и обозначается e(xi).

Максимальный из всех эксцентриситетов графа – это диаметр графа

D(G) = max e(xi).

Пример для решения в группе

Рассчитать радиус и диаметр для графа, построенного на основе карты Республики Беларусь (рис. 7.9).

49