l = |
3 |
T 2 g3EI |
x |
= 3 |
1 98 10 3 2 105 |
204 |
|
мм |
|||
Q4π2 |
160 4 10 3,14 |
= 300 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 13. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
На |
|
|
стальной |
|
|
балке |
с |
характеристиками |
|||
сечения(I |
x |
= 259cм4 ,W = 41см4 , Е = 2 105 МПа) |
стоит |
||||||||
|
|
|
|
|
x |
При его вращении(n = 900об / мин) |
|||||
двигатель весом |
Q =1кН . |
||||||||||
возникает центробежная сила инерции, максимальная величина которой равна F0 = 0,2кН .
Определить:
1.При какой длине наступит резонанс.
2.Длину l1 , чтобы частота собственных колебаний валки была
на 30% больше частоты возмущающей силы; для этого случая определить σmax , без учета массы балки
рис. 2.14
Решение 1) Условие резонанса
ωв =ω0
|
Круговая частота вынужденных колебаний |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
ω |
|
= πn = 30π 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
30 |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Круговая частота собственных колебаний |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ql3 |
|
ω |
= |
g |
= |
|
9,8 |
|
= 68,5c−1 |
,где∆ |
ст |
= |
|
||
|
0,0025 |
3EIx |
|||||||||||
0 |
|
∆ст |
|
|
|
|
|
||||||
Откуда l = 3 3EIx∆ст
Q
41
Зная ω , определим ∆ |
ст |
= |
g |
|
= |
9,8 |
= 0,2011м |
||||||
ω0 |
|
(30n)2 |
|||||||||||
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
l = 3 |
3 2 106 |
106 259 10−8 |
0,2011 |
=1,22 |
м |
||||||||
|
|
1 103 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2) Частота собственных колебаний должна быть на 30% больше частоты возмущающей силы, следовательно
ω1 =1,3ωв |
|
|
,те. . |
|
|
g |
|
|
=1,3 |
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
∆ст =1,32 ∆′ст |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ст |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆′ст |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Ql3 |
|
|
|
Ql 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
1,2 |
|
|
м |
||||||
|
|
=1,3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
=1,03 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
3EIx |
|
|
3EIx |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 1,32 |
|
|
|
3 1,32 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
Напряжение при колебаниях σg =σстkg |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
σ |
ст |
= |
|
Mmax |
|
|
= Ql1 |
= 1000 1,03 |
|
= 24,8МПа |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
W |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
W |
|
41 10−6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Динамический коэффициент |
|
F0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kg |
=1+ |
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Коэффициент нарастания колебаний |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
β = |
|
1 |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
= 2,45 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
в |
1− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
определяем kg =1+ |
0,2 2,45 =1,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Напряжение |
σg = 24,8 1,5 = 37, 2МПа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
Пример 14. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
На стальной |
|
балке |
весом |
G = 6кН |
|
|
стоит |
|
двигатель весом |
|||||||||||||||||||||||||||||||
Q =15кН . При |
|
работе |
|
|
двигателя |
|
(ω0 |
|
= 50c−1 ) |
|
возникает |
|||||||||||||||||||||||||||||
42
центробежная сила инерции с максимальным напряжением F0 =10кН. Определить максимальные напряжения, возникающие в
балке без учета и с учетом массы балки. При расчете принять:
1.коэффициент затухания α = 26 кНм с
2.характеристики сечения: Ix = 968см4 ,Wx =156см4
рис.2.15
Решение 1) Без учета массы балки
Напряжения при колебаниях σg =σст kg
σ |
ст |
= |
|
M |
max |
|
= |
|
|
Ql |
|
= |
1,5 |
103 2,5 |
= |
60МПа |
|||||||||
|
W |
|
4W |
|
4 156 |
10−6 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Динамический коэффициент |
|
|
|
|
F0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kg |
=1+ |
|
β |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
||
Коэффициент нарастания колебаний |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
β = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
ω2 |
|
|
2 |
+ |
|
2n |
|
2 ω |
|
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1− |
|
в |
2 |
|
|
|
|
в |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω0 |
|
|
|
|
|
|
ω0 |
|
|
ω0 |
||||||
Круговая частота собственных колебаний
43
∆ст = |
Ql3 |
= |
15 103 2,53 |
= 0,0025м |
|
48EIx |
48 2 1011 968 10−8 |
||||
|
|
|
ω = |
|
g |
|
= |
|
9,8 |
|
= 68,5c−1 |
|
|
|||||||
0 |
|
∆ст |
|
|
|
0,0025 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициент, зависящий от сил сопротивления,
|
2n = |
αg = |
|
26 103 9,8 |
= |
17с−1 |
|||||||||
|
|
15 103 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
гдаβ = |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
= 2,38 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
502 |
|
17 |
2 |
|
50 |
2 |
||||||
|
|
1− |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
||||
62,5 |
2 |
|
62,5 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
62,5 |
|
|
|
|||||||
kg =1−1015 2,38 = 2,59
Напряжения σg = 60 2,59 =155МПа
2)С учетом массы балки
σ'g =σ 'ст k 'g
σ'ст =σст +σсв
где σсв = gсвl3 - напряжение от собственного веса балки
8Wx
6103 2,52
σсв = 60 + 8 25156 10−6 = 72МПа
Gпр = 1735 G = 2,92кН
Kg =1+ Q +PGnp β′
44
Коэффициент приведения массы балки для данного случая
загружения равен |
17 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
35 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
β ' = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
ω2 |
|
2 |
|
2n |
2 |
|
ω |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
1 |
в |
2 |
|
+ |
1 |
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω 1 |
|
|
|
ω1 |
|
|
|
ω1 |
|
ω = |
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
∆′ст |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∆′ст |
= |
(Q +Gпр )l3 |
= |
(15 + 2,92) 103 2,53 |
= |
0,003м |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
48EIx |
|
|
|
48 |
2 1011 968 10−8 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
ω = |
|
|
|
9,8 |
|
= 57,4c−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
1 |
|
0,03 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2n = |
|
|
|
αg |
|
|
|
= |
|
|
26 103 9,8 |
|
|
=14,4c−1 |
|||||||||||||||||
|
Q +G |
|
|
(15 + 2,92) 103 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β ' = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 3,08 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
50 |
|
|
2 |
|
14,4 |
2 |
|
20 |
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
57,4 |
|
|
|
|
57,4 |
57,4 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
kg′ =1+ |
|
|
|
10 |
|
|
3,08 = 2,72 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
15 + 2,92 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
72 2,72 =196МПа |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
σg |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
45