МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Белорусский национальный технический университет

__________________________________________________________

Кафедра «Теоретическая механика и механика материалов»

С.В. Гончарова

В.А. Акимов

Динамическое действие нагрузок. Упругие колебания систем

Электронное пособие

Минск

2019

УДК 620.1 (075.4)

ББК 30.3я7 Г 65

С о с т а в и т е л и :

С.В. Гончарова, В.А. Акимов.

Р е ц е н з е н т ы :

Кандидат технических наук, доцент Е.М. Дубовская;

Вэлектронном пособии изложены теоретические материалы, задачи, контрольные вопросы по теме, предусмотренной программой курса для студентов технических специальностей.

Предлагаемое электронное пособие предназначено для студентов дневной формы обучения, имеет целью помочь студентам изучить один из наиболее трудных разделов курса механики материалов (механики материалов и конструкций) – «Динамическое действие нагрузок. Упругие колебания систем».

Вразделе даны краткое изложение теории, различные типы задач с подробным решением, а также приводятся контрольные вопросы.

Электронное пособие будет полезно студентам при изучении курса, а также преподавателям при подготовке к занятиям.

Белорусский национальный технический университет пр-т Независимости, 65, г. Минск, Республика Беларусь Тел. (017) 293-92-36

E-mail: smat@bntu.by

Регистрационный №

©Гончарова С.В., Акимов В.А., 2019 ©Белорусский национальный технический университет, 2019

1.1СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ ИЛИ

3

1. Основные определения теории колебаний

Теория колебаний представляет собой обширный раздел современной физики, охватывающий весьма широкий диапазон вопросов механики, электротехники, радиотехники, оптики и прочего. Особое значение теория колебаний имеет для прикладных задач, встречающихся в инженерной практике, в частности, в вопросах прочности машин и сооружений. При изучении колебаний упругих систем их принято различать по числу степеней свободы. Под числом степеней свободы понимается число независимых координат, определяющих положение системы.

При исследовании упругих колебаний различают собственные и вынужденные колебания. Под собственными колебаниями понимается движения, которое совершает система, освобожденная от внешнего активного силового воздействия и предоставленная сама себе. Под вынужденными колебаниями понимается движение упругой системы, происходящие под воздействием изменяющихся внешних сил, называемых возмущениями. Промежуток времени между последующими максимальными отклонениями упругой системы от положения равновесия носит название периода колебаний Т. Величина, ему обратная, называется частотой

колебаний v = T1 и представляет собой число колебаний в единицу

времени. Частота измеряется герцами – числом колебаний в одну секунду. В технике вместо частоты ν используется круговая чистота ω, представляющая собой число колебаний за 2π секунд.

ω = 2πν = 2Tπ .

Собственные колебания системы с одной степенью свободы Рассмотрим простейшую систему, состоящую из массы и

пружины (рис. 1.1)

5

рис. 1.1

Координату Z будем отсчитывать от положения, соответствующего ненапряженной пружине, вправо. То же

положительное направление имеет скорость z ускорение z

Сила инерции m направлена влево.

При составлении уравнений движения будем исходить из принципа Даламбера.

Для написания уравнений движения воспользуемся выражением для перемещений в канонической форме.

В данном случае мы имеем только одно перемещение z и силу

x1 = −mz = −Qg z

Таким образом

z =δ11(−m z)

И в итоге дифференциальное уравнение принимает вид:

6

рис.1.4

При линейном затухании колебания происходят с уменьшающейся амплитудой и частотой ω1 . Величина n2

практически мала по сравнению с ω02 , следовательно ω1 =ω0 .

Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы при наличии сил сопротивления

рис.1.5

Ft = F0 sinωвt

где F – максимальное значение возмущений силы; ωв – круговая чистота изменения возмущений силы. Уравнение движения:

z + 2nz +ω02 z = Fm0 sinωвt

Общее решение дифференциального уравнения

9