Динамический анализ механизмов
.pdf
А
1
а
М1
О
ω1
бF21 А
4
вF30n
3 FТ 2
F21 А
г
А
F12
д
1 α 
М1
О |
F10 |
|
20
2
|
3 |
|
|
В |
|
α |
F3 |
x |
|
|
2
F n
3 30
F21 |
В |
F3 |
|
|
FТ |
α
1
F3
2
|
В |
F23 |
|
|
|
e |
|
|
р |
|
а |
|
VB VA |
b |
|
|
Рис. 8
Согласно уравнению (4) изображаем план сил (рис. 8, в). Из построения вытекает подобие треугольников АВО и 4-1-3 и равенство углов АВО 4 1 3 α . Это позволяет найти неизвестные
силы из геометрических соображений, не используя конкретный масштабный коэффициент сил.
Из АВО имеем
|
|
sin α= |
l OA |
|
0, 07 |
0, 2333 |
и α=13,49 0 . |
|
||||||||||||
|
|
l AB |
0,3 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Из 4 1 3 следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 3 |
4 1 cos α и |
3 4 4 1 sin α |
|
||||||||||||||||
и соответственно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
F F |
Т |
|
F |
21 |
cos α |
и F n |
F |
21 |
sin α . |
(5) |
|||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
||||
Так как F |
Т |
f F n , то из выражения (5) следует, что |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
F3 f F21 sin α F21 cos α , |
|
|||||||||||||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F21 |
|
|
|
F3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3000 |
|
|
3200 Н . |
|
|||
cos α - f |
sin α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
0, 9724 0,15 0, 2333 |
|
|||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F n |
3200 0, 2333 747 Н , |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
FТ 0,15 747 112 Н .
Схема нагружения звена 2 показана на рис. 8, г, из которого следует, что реакция во вращательной паре В F23 F21 .
21
Далее рассматривается начальное звено 1 (рис. 8, д), при этом F12 F21 . Так как на звено 1 действуют только две силы F12 и
F10 (реакция во вращательной паре О), то они образуют пару сил. Следовательно, F10 F12 3200 Н .
Движущий момент М 1 определяем из уравнения равновесия
звена 1:
M0 F12 l OA cos α M1 0 ,
откуда
M1 F12 lOA cos α = 3200 0,07 0,9724 = 218 Н м .
Мощность, затрачиваемая на трение в поступательной паре, рав-
на
PТ FТ VB . |
(6) |
Для определения скорости VB точки В строим план скоростей (рис. 8, е) согласно уравнениям
VB VA VBA ,
VB VВ0 VBB0 ,
где VA OA, VBA AB , VВ0 0 , VBB0 / / X .
В результате получаем, что рb pa и
VB VA ω1 l OA 30 0, 07 2,1м/с .
Тогда по формуле (6)
PТ 112 2,1 235 Вт .
Пример 3. В заданном положении механизма (рис. 9, а) определить реакции во всех кинематических парах и движущий (уравновеши-
22
вающий) момент М 1 . К кулисе 3 приложена сила полезного сопро-
тивления |
F3 800 Н . Длины |
звеньев l OA 0, 2 м , |
l ВС 0, 6 м , |
||
угол α=300 . |
|
|
|
|
|
|
|
а |
б |
|
|
1 |
|
F3 |
F3 |
|
|
|
|
|
|
||
|
М1 |
|
F21 |
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
А |
А |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
в |
|
ω1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
F21 |
А |
2 |
|
|
|
|
||
|
3 |
F30 |
3 |
|
F23 |
В |
|
|
|
||
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
д |
|
|
1 |
|
|
F10 |
F |
|
|
|
|
|||
|
3 |
|
α |
|
12 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
М1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 9
Изображаем схемы силового нагружения статически определимой структурной группы (2,3) (рис. 9, б) и звена 2 (рис. 9, в). Реак-
ция в поступательной паре F23 BC . К звену 2 приложены только две силы F21 и F23 , поэтому реакция во вращательной паре A
F21 F23 .
Из уравнения моментов MВ 0 находим реакцию F21 :
23
MВ F3 l ВС F21 l BA 0 . |
(7) |
Из ОАВ следует, что
l BA = sinl OAα 0,0,52 0, 4 м .
Тогда из уравнения (7)
F |
|
|
F3 |
l BC |
|
800 0, 6 |
1200 Н . |
|
21 |
l BA |
0, 4 |
||||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||
Реакцию во вращательной паре В F30 получим путём построения плана сил согласно уравнения равновесия группы:
F21 F 3 F30 0 .
В рассматриваемом случае все силы располагаются вдоль одной прямой линии (рис. 9, г). Отрезок 1 2 соответствует силе F21 ,
отрезок 2 3 |
|
|
|
|
3 , а замыкающий отрезок 3 1 – ис- |
||||||||
|
– силе F |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
30 . Таким образом, 3 1 1 2 |
2 3 |
|
||||
комой реакции |
F |
и |
|||||||||||
соответственно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
F30 F21 F3 =1200-800 400 Н . |
|
|
|
|
||||
|
|
Схема нагружения звена 1 показана на рис. 7, д, |
причём |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
F |
12 F21 . Так как к звену 1 приложены только две силы F |
12 |
и |
||||||||||
24
F10 , то они образуют пару сил. Следовательно, реакция во вращательной паре О F10 F12 1200 Н .
Движущий момент М 1 находим из уравнения:
M0 F12 lOA sin α M1 0 ,
откуда
M1 F12 lOA sin α =1200 0,2 0,5=120 Н м .
Пример 4. В заданном положении механизма (рис. 10, а) определить силу инерции FИ3 ползуна 3 и момент сил инерции М И2 ша-
туна 2. Угловая |
|
скорость |
кривошипа |
1 |
постоянна и |
равна |
|||||||||||||||||||
ω1 40 рад/с . Масса |
ползуна |
m3 2 кг , |
центральный |
момент |
|||||||||||||||||||||
инерции шатуна |
I |
S |
2 |
0, 05кг м2 , l |
OA |
0,1м , |
l |
AВ |
0,3м . |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
S2 |
|
M И 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
FИ3 |
|
x |
|
||||||
О |
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
в |
|
|
|
π |
|
|
aB |
|
|
b |
|
|||
|
|
а |
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|||
|
|
|
VB |
VA |
|
|
|
aА |
|
α |
|
а |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВА |
|
|||||||||||||
a, n2
Рис. 10
25
Для определения искомых параметров необходимо определить ускорение точки В аB и угловое ускорение звена 2 ε2 . Для этого
строим план скоростей и план ускорений. Для построения плана скоростей используем уравнения:
VB VA VBA ,
VB VВ0 VBB0 ,
где VA OA, VBA AB , VВ0 0 , VBB0 / / X .
Из построения (рис. 10, б) следует, что аb 0 и VBA 0 . Для построения плана ускорений используем уравнения:
аB аA а BAn a BAt ,
|
|
|
|
|
|
аB |
аВ |
0 |
а ВВ |
, |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
где аВ |
0 , аBB |
/ / X , |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
А |
а n |
ω 2 |
l |
OA |
402 0,1 160 м/с2 , |
||||
|
|
|
|
A |
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
а n |
|
V BA2 |
0 . |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
ВА |
|
l AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вектор а |
А |
направлен вдоль АО, вектор а t |
АВ . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВА |
|
|
Из построения (рис. 10, в) вытекает подобие треугольников АВО и πаb и равенство углов АВО πab α . Это позволяет
найти аВ и а ВАt из геометрических соображений, не используя
конкретный масштабный коэффициент ускорений. Из АВО имеем
26
sin α= |
l OA |
|
|
|
|
0,1 |
|
0,3333 |
и |
α=19,47 0 . |
|||||||||||||
l AB |
|
|
|
0,3 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Из πab следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
πb πa tg α и |
|
|
|
πa |
||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
|
n 2b |
cos α |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и соответственно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
B |
a |
A |
tg α=160 0,3536 56, 6 м/с2 , |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
a t |
|
|
|
|
|
a A |
|
160 |
|
170 м/с2 , |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
BA |
|
|
|
cos α |
|
|
|
0, 9428 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a BAt |
|
|
170 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
ε |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
567 рад/с2 . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
l AB |
|
|
|
0, 3 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
FИ3 m3 a B 2 56, 6 113H , |
|||||||||||||||||||||
M И 2 |
I S |
2 |
ε 2 |
|
0, 05 567 28,3Н м . |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Направление силы FИ3 |
противоположно ускорению аВ (на |
||||||||||||||||||||||
плане отрезок πb ), |
а направление момента М И2 противоположно |
||||||||||||||||||||||
угловому ускорению ε 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Пример 5. В заданном положении механизма (рис. 11, а) определить силу инерции FИ3 ползуна 3 и момент сил инерции М И2 ша-
туна 2. Угловая скорость кривошипа 1 постоянна и равна
27
ω1 20 рад/с . Масса ползуна m3 4 кг , центральный момент инерции шатуна I S 2 0, 2 кг м2 , l OA 0,1м , l AВ 0, 4 м .
|
a |
|
|
3 |
В |
|
|
|
|
|
FИ3 |
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω1 |
1 |
А |
S2 |
|
|
е |
|
|
|
||||
|
|
α |
|
M И 2 |
|
x |
О |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
б |
|
в |
|
|
а |
|
|
|
aB |
|
|
|
|
|
b |
|
π |
|
|
|
|
а ВАt |
|
α |
|
V |
A |
V |
|
a |
aА |
|
|
BA |
|
|
|
||
|
|
|
|
n2 а ВАn |
|
|
р,b
Рис. 11
Для определения искомых параметров необходимо определить ускорение аB точки В и угловое ускорение ε2 звена 2. Для этого
строим план скоростей и план ускорений. Для построения плана скоростей используем уравнения:
VB VA VBA ,
VB VВ0 VBB0 ,
где VA OA, VBA AB , VВ0 0 , VBB0 / / X . 28
Из построения (рис. 11, б) следует, что аb pa и
VBA VA ω1 lOA 20 0,1 2 м/с .
Для построения плана ускорений используем уравнения:
аB аA а BAn a BAt ,
|
|
|
|
|
|
|
|
аB аВ |
0 |
а ВВ |
, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
где аВ |
0 |
, аBB |
0 |
/ / X , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
А |
а n |
ω 2 |
l |
OA |
202 0,1 40 м/с2 , |
|||||||||
|
|
|
|
A |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V BA2 |
|
2 2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
а n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 м/с2 . |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
ВА |
|
|
l AB |
|
0, 4 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Вектор аА |
направлен вдоль АО, вектор а ВАn – вдоль ВА, а вектор |
|||||||||||||||||
а t |
АВ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВА |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из построения (рис. 11, в) вытекает подобие треугольников
ВОС и b π n 2 |
и равенство углов ВОС bπn2 α . Это позво- |
|||||||
ляет найти аВ |
и а ВАt |
из геометрических соображений, не исполь- |
||||||
зуя конкретный масштабный коэффициент ускорений. |
|
|||||||
Из ВОС имеем |
|
|
|
|
|
|
||
sin α= |
|
e |
|
|
0, 07 |
0,14 и α=8,05 |
0 . |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||
|
|
l OA |
l AB |
0,1 0, 4 |
|
|
||
Из bπn 2 следует, что
29