Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Геометрические характеристики плоских сечений переменной жесткости

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

1.9 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Из последнего выражения легко определить значение угла

tg2	2 EIxy			пр		.	(6.1)

	EI y	пр	EIx
					пр

Легко заметить, что выражение (6.1) можно получить из (5.6), приравняв центробежный момент инерции жесткости сече-

ния EIx1y1 пр относительно повернутых осей x1 и y1 к нулю.

При этом один из осевых приведенных моментов инерции жесткости будет максимальным, а другой минимальным. Оси, относительно которых приведенный момент инерции жесткости будетравен нулю, будем называтьглавными осями жесткости.

Оси могут совпадать с центром жесткости сечения, а приведенный центробежный момент инерции сечения относительно этих осей может быть равен нулю. Такие оси будем называть главными центральными осями жесткости сечения и обозначать U и V.

Положительный угол , в соответствии с принятым значением, откладывают путем поворота координатных осей против часовой стрелки, а отрицательный – по часовой стрелке.

7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЛАВНЫХ ОСЕВЫХ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ЖЕСТКОСТИ СЕЧЕНИЯ

В соответствии с принятым обозначением осей U и V, выражения осевых приведенных моментов жесткости сечения, согласно выражениям(5.4) и (5.5), представим вследующем виде:

EIu пр EIx пр cos2 EIxy пр

EIv пр EIx пр sin2 EIxy пр

sin 2 EI y	пр	sin2	;	(7.1)
sin 2 EI y	пр
sin 2 EI y	пр	cos2	.	(7.2)
	пр

Просуммировав левые и правые части формулы (7.1) и (7.2), получим

EIu пр EIv пр EIx пр (sin2 cos2 ) EIxy пр sin 2EIxy пр sin 2 EI y пр (sin2 cos2 ).

или						EI y
EIu	пр	EIv	пр	EIx	пр	EI y	пр	.	(7.3)
	пр		пр		пр		пр

Определим разность между левыми и правыми частями уравнений (7.1) и (7.2):

EIu пр EIv пр EIx пр cos2 EIxy пр sin 2EI y пр sin2 EIx пр cos2 EIxy пр sin 2

EI y пр cos2 EIx пр cos2 sin2

(7.4)

EI y пр cos2 sin2 2 EIxy пр sin 2

EIx пр EI y пр cos 2 2 EIxy пр sin 2 .

Выражение (6.1) можно представить в виде следующего уравнения:

EIxy	пр	1	EI y	пр	EIx пр			tg2
		2
										(7.5)
1		EIx пр		EI y			sin 2
									.

	2					пр
						cos 2

Подставив EIxy пр из выражения (7.5) в выражение (7.4), получим

EIu пр		EIv пр EIx пр EI y							cos 2
									пр

		EIx пр		EI y	пр	sin 2 sin 2
					пр
						cos 2					(7.6)
	1						2			2	(7.6)
	1						2			2
			EIx пр	EI y пр cos				sin
	cos 2		EIx пр	EI y пр cos				sin
	cos 2

EIx пр EI y пр cos1 .

Из тригонометрии известно следующее соотношение:

	1		1 tg2 2 .
	cos 2

Подставив в выражение (7.6) вместо tg2 его значение, выраженное через осевые и центробежный моменты инерции жесткости сечения (6.1), получим

1	4		EIxy пр2
	1					.
cos 2	1	EIx пр EI y			2	.
cos 2					2

				пр

Подставивпоследнее значение cos1 в формулу (7.6), имеем

		EIu пр EIv пр
			EIx пр EI y	2	4		EIxy 2
	EI y			пр
EIx пр
EIx пр								2
		пр
			EIx пр EI y
			EIx пр EI y			пр
						пр

или

EIu пр EIv пр		EIx пр		EI y			2	4 EIxy 2 . (7.7)
						пр

Из выражения (7.7) определим EIu пр:
EIu пр EIv пр		EIx пр		EI y			2	4 EIxy 2 . (7.8)
					пр

Подставив значение EIu пр в выражение (7.3), получим
2 EIv пр	EIx пр EIy		2 4 EIxy 2 EIx пр EIy						пр	.
			пр						пр

Окончательно получим EIv пр, которое позволяет опреде-

лять осевой приведенный момент инерции жесткости сечения относительно главной центральной оси жесткости:

EIv пр			1 EIx пр		EI y
								пр
			2						(7.9)
1					2				(7.9)
1	EIx пр EI y				2	4	EIxy 2 .
2				пр
2
Подставив последнее выражение для								EIv пр в формулу
для получения EIu пр		(7.8), получим
EIu пр			1 EIx пр		EI y
								пр
			2						(7.10)
1					2				(7.10)
1	EIx пр EI y				2	4	EIxy 2 .
2				пр
2
									23

Формулы (6.1), (7.9) и (7.10) позволяют определять место положения главных центральных осей жесткости и приведенные осевые моменты инерции жесткости сечения, что является важным в практических расчетах стержней с переменной жесткостью сечения при плоском поперечном изгибе, косом изгибе и т. д.

Пример: определить место положения главных центральных осей жесткости и величину осевых моментов инерции жесткости сечения балки, состоящей из прочно соединенных между собой алюминиевого и стального стержней. Сечение показано на рис. 7.1. Модуль продольной упругости стали

Е1 = 2 105 МПа, а алюминия – Е2 = 0,7 105 МПа.

Рис. 7.1. Осевое сечение балки, состоящей из стального и алюминиевого стержней

1) Разобьем сечение на три прямоугольника и проведем оси, проходящие через центр тяжести отдельных фигур. Определим расстояние от осей отсчета x и y до центральных осей отдельных фигур:

a1 a2 30 мм; a3 20 мм; b1 25 мм; b2 75 мм; b3 50 мм.

2) В соответствии с формулами (1.7) и (1.8) определим положение центральных осей жесткости сечения:

E S

b h a

bh a

b h a

1 1

2 3

1 2

1 x3

1 x2

E A E A E A

2 1

1 3

1 2

E1 bh2 E1

0,7 105 50 80 80 2 105 100 40 20 2 105 50 80 80

0,7 105 50 80 2 105 100 40 2 105 50 80

54, 468 мм;

b h b

bh b

b h b

E2Sy1 E1Sy3 E1Sy2

1 1

2 3

1 2

E A E A E A

2 1

1 3

1 2

E1 bh2 E1

0, 7 105 50 80 25 2 105 100 40 50 2 105 50 80 75

0, 7 105 50 80 2 105 100 40 2 105 50 80

56,915 мм.

На рис. 7.2 приведено поперечное сечение стержня с центральными осями жесткости xj и yj.

Рис. 7.2. Осевое сечение с центральными осями жесткости xj и yj

3) Определим расстояние от центральных осей жесткости сечения xj и yj до центральных осей отдельных фигур:

m m h y					ж	h1 120 54, 468 40 25,532 мм;
1	2				ж		2
m		y	ж	h			54, 468 20 34, 468 мм;
2			ж		2
					2
n		x		b			56,915 25 31,915 мм;
1		ж			2
					2

n2 xж b 56,915 50 6,915 мм; n3 b xж b4 100 56,915 25 18,085 мм.

4) Проверим правильность определения положения центральных осей жесткости сечения. Приведенные статические моменты жесткости сечения относительно осей xj и yj должны быть равны нулю:

ESxj		E2Sx1		b
ESxj	пр	E2Sx1	E1Sx3 E1Sx2 E2		h1m1
	пр			2
E1 bh2m3		b		50 80	25,532
E1 bh2m3		E1	h1m2 0,7 105	50 80	25,532
		2
2 105 100 40 34, 468 2 105				50 80 25,532

275 745, 6 105			275 744 105 1, 6 105 Н мм.

Ошибка расчета составляет 0,00058 % и связана с округлением числовых величин.

ESyj		E2Sy1 E1Sy3 E1Sy2	b
	пр		E2	2	h1n1

E	bh n	E	b h n			0,7 105	50 80	31,915
1	2 3	1		2	1 2
				2

2 105 100 40 6,915 2 105 50 80 18, 085

144 682 105 144 680 105 2 105 Н мм.

Ошибка расчета составляет 0,00138 %.

5) Определим приведенные осевые моменты инерции жесткости сечения:

EIxj		пр		E2 Ix1 E2 A1m12 E1Ix3 E1A3m32 E1Ix2 E1 A2m22
		пр
			b h3											3						b h3
E		2	2		1	E	2	b h			m2	E bh2			E	bh	m2	E		2 1
E						E		b h			m2	E bh2			E	bh	m2	E
				12					2	1	1	1	12		1	2	3	1		12
				12					2				12							12
E	b h				m2			0, 7 105 50 803							0, 7 105 50 80 25, 5322
1		2		1		2						12
		2										12
2 105 100 403									2 105 100 40						25,5322		2 105		50 803
						12														12

2 105 50 80 34, 468 2 233,84 1010 Н мм2 ;

EI yj пр E2 I y1 E2 A1n12 E1I y3 E1A3n32 E1I y2 E1A2n22

		h		b 3						b						h b3						h	b 3
			1		2					b						h b3					1		2
E	2							E	2			h	n2		E	2	E	bh	n2	E
E								E				h	n2		E	2	E	bh	n2	E
				12							2	1		1	1	12	1	2 3		1			12
				12							2					12							12
E			b h				n2			0,7 105				80 50 0,7 105 50 80 31,915
	1			2		1	2								12
				2											12
2 105					40 1003					2 105 40 100 18,085 2									2 105		80 503
							12																12

2 105 50 80 6,915 2 148,71 1010 Н мм2.

6)Определим центробежный момент инерции жесткости сечения относительно осей xj и yj:

EIxjyj пр E2 A1m1n1 E1A3m3n3 E1A2m2n2 0, 7 105 50 80

25,532 31,915 2 105 100 40 25,532 18, 085

2 105 50 80 34, 468 6,915 33,19 1010 Н мм.

7) Используя выражение (6.1), определим положение главных центральных осей жесткости сечения:

2		EIxjyj пр				2 33,19 1010
tg2							0,7797;
tg2	EIyj		пр	EIxj		148,71 1010 233,84 1010	0,7797;
			пр		пр

2 37,94о;18,97о.

Главные центральные оси жесткости U и V получим пово-

ротом осей xj и yj по часовой стрелке, так как угол имеет отрицательное значение.

В соответствии с выражениями (7.9) и (7.10) определим главные центральные приведенные моменты инерции жесткости сечения:

EIu пр 12 EIxj пр EI yj пр

1		2	2
2	EIxj пр	EI yj пр	4 EIxjyj пр
2

12 233,84 1010 148,71 1010

	1	233,84 1010 148,71 1010 2 4 33,19 1010 2
	2

191, 275 1010 53,975 1010 245, 25 1010 Н мм2;

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20254.75 Mб2Геометризация недр в программном комплексе Майнфрэйм.pdf
#
24.11.20252.06 Mб1Геометрические построения кривые линии, сопряжения.pdf
#
24.11.202512.31 Mб1Геометрические тела. В 2 ч. Ч 1. Шар.pdf
#
24.11.202520.29 Mб1Геометрические тела. В 2 ч. Ч 2. Многогранники и тела вращения.pdf
#
24.11.2025698.34 Кб1Геометрические тела.pdf
#
24.11.20251.9 Mб1Геометрические характеристики плоских сечений переменной жесткости.pdf
#
24.11.20258.62 Mб1Геоморфология и геология.pdf
#
24.11.20252.35 Mб1Гигиена окружающей среды.pdf
#
24.11.20251.48 Mб0Гидравлика водозаборной скважины.pdf
#
24.11.20251.56 Mб1Гидравлика и гидромашины.pdf
#
24.11.2025944.66 Кб0Гидравлика, гидропривод и гидропневмоавтоматика практикум.pdf