Геометрические характеристики плоских сечений переменной жесткости

Координаты xн1, xн2, yн1 и yн2 в новой системе координатных осей представляют следующим образом:

xн1 x1 b; xн2 x2 b; yн1 y a; yн2 y2 a. (3.3)

Подставив значения, приведенные в (3.3), в формулы (3.1) и (3.2), получим:

Раскрывая круглые скобки и интегрируя почленно, получим следующее:

Окончательно выражения для приведенных статических моментов жесткости сечения относительно новых координат xн

иyн, параллельных исходным осям x и y:

ESxн пр (ESx )пр a(E1A1 E2 A2 );

ESyн пр (ESy )пр b(E1A1 E2 A2 ).

Если поперечное сечение балки состоит из n материалов, отличающихся между собой модулями продольной упругости,

10

то формулы для определения приведенных статических моментов жесткости будут равны:

n

ESxн пр (E1Sx )пр a Ei Ai ;

i 1

n

ESyн пр (E1Sy )пр bi 1 Ei Ai ,

где EiAi – жесткости при растяжении или сжатии соответствующих частей поперечного сечения балки.

4. ПРИВЕДЕННЫЕМОМЕНТЫИНЕРЦИИЖЕСТКОСТИ СЕЧЕНИЯ ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНОМ ПЕРЕНОСЕ КООРДИНАТНЫХ ОСЕЙ

Приведенные моменты инерции жесткости относительно новых координатных осей xн и yн в соответствии с рис. 1.1 можно описать выражениями:

Подставив значения координат xн1, xн2, yн1 и yн2 из выражения (3.3) в последние выражения, получим:

11

Раскрывая скобки и интегрируя почленно:

Наибольшее практическое значение имеют оси, проходящие через центр жесткости сечения. В соответствии с выражениями (1.5) и (1.6) приведенные статические моменты жесткости сечения будутравны нулю. Поэтому относительноцентральных осей жесткости выражения (4.1) и (4.2) будутиметьследующийвид:

12

n

EIxн пр EIx пр a2 Ei Ai ; (4.3)

i 1

Центробежный приведенный момент инерции жесткости сечения балки соответствует

Раскрывая круглые скобки и почленно интегрируя, получим:

E1Ix1y1 E2Ix2 y2 E1bSx1 E1aSy1 E2bSx2 E2aSy2

E1abA1 E2abA2 EIxy пр ab E1A1 E2 A2 b E1Sx1 E2Sx2

n

a E1Sy1 E2Sy2 EIxy пр abi 1 Ei Ai b ESx пр a ESy пр.

Так как приведенные статические моменты жесткости сечения равны нулю относительно центральных осей жесткости, то относительно этих осей центробежный приведенный момент инерции жесткости сечения равен

Из выражений (4.3) и (4.4) следует, что приведенные осевые моменты инерции жесткости сечения относительно произвольных осей, параллельных первоначальным осям, равны приведенным осевым моментам инерции жесткости сечения относительно центральных осей жесткости сечения плюс произведение суммы жесткостей отдельных частей сечения при осевом растяжении или сжатии на квадрат расстояния между соответствующими осями.

Из выражения (4.5) следует, что приведенный центробежный момент инерции относительно осей, параллельных центральным осям жесткости сечения, равен приведенному центробежному моменту инерции жесткости сечения плюс произведение суммы жесткостей частей сечения на расстояния между ними.

5. ПРИВЕДЕННЫЕ МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ЖЕСТКОСТИ СЕЧЕНИЯ ПРИ ПОВОРОТЕ КООРДИНАТНЫХ ОСЕЙ

Допустим, что известны осевые и центробежный моменты инерции жесткости сечения относительно координатных осей x и y (рис. 5.1).

14

Рис. 5.1. Осевое сечение, состоящее из двух различных материалов

Повернем оси x и y на угол против часовой стрелки, считая такое направление поворота осей положительным. Найдем приведенные моменты инерции жесткости сечения относительно новых осей x1 и y1:

Координаты произвольной элементарной площади dA1 в новых координатах x1/ и y1/ выражаются через прежние координаты x1 и y1 следующим образом:

15

x1/ OC OL KD x1 cos y1 sin ;

y1/ BC BD LK y1 cos x1 sin .

Аналогично координаты x2/ и y2/ можно выразить через первоначальные координаты x2 и y2:

x2/ x2 cos y2 sin ;

y2/ y2 cos x2 sin .

Подставив полученные значения новых координат в фор-

мулы (5.1)–(5.3), получим:

EIx1 пр E1 ( y1 cos x sin )2 dA1

A1

E2 ( y2 cos x2 sin )2 dA2 ;

A2

EI y1 пр E1 (x1 cos y1 sin )2 dA1

A1

E2 (x2 cos y2 sin )2 dA2 ;

A2

EIx1y1 пр E1 (x1 cos y1 sin )( y1 cos x1 sin )dA1

A1

E2 (x2 cos y2 sin )( y2 cos x2 sin )dA2.

A2

16

Раскрывая круглые скобки и почленно интегрируя, получим:

cos2 E1Ix1 sin 2 E1Ix1y1 sin2 E1I y1 cos2 E2 Ix2

sin 2 E2Ix2 y2 sin2 E2I y2 cos2 (E1Ix1 E2Ix2 )

sin 2 (E1Ix1y1 E2Ix2 y2 ) in2 (E1I y1 E2 I y2 )

s(EIx )пр cos2 (EIxy )пр sin 2 (EI y )пр sin2 ;

cos2 E1I y1 sin 2 E1Ix1y1 sin2 E1Ix1 cos2 E2I y2

sin 2 E2Ix2 y2 sin2 E2Ix2 cos2 (E1I y1 E2I y2 )

sin 2 (E1Ix1y1 E2Ix2 y2 ) sin2 (E1Ix1 E2Ix2 )

(EIx )пр sin2 (EIxy )пр sin 2 (EI y )пр cos2 ;

17

E1Ix1y1 cos 2 E2Ix2 y2 cos 2 12 E1 Ix1 I y1 sin 2

12 E2 Ix2 I y2 sin 2 E1Ix1y1 E2 Ix2 y2 cos 2

12 E1Ix1 E2Ix2 E1I y1 E2I y2 sin 2

EIxy пр cos 2 12 EIx пр EI y пр sin 2 .

Складывая почленно выражения (5.4) и (5.5), получим

18

Из последнего выражения следует, что при повороте прямоугольных осей сумма осевых моментов жесткости сечения не изменяется и равна постоянной величине.

6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРАВЛЕНИЯ ГЛАВНЫХ ОСЕЙ ЖЕСТКОСТИ СЕЧЕНИЯ

Следует отметить, что формулы (5.4)–(5.6) справедливы и для координатных осей, проходящих через центр жесткости сечения. Рассматривая выражения (5.4) и (5.5), легко сказать,

что с изменением угла EIx1 пр и EI y1 пр меняются, но

в соответствии с равенством (5.7) их сумма остается постоян-

ной. Очевидно, что при некоторых значениях угла один из приведенных моментов инерции жесткости сечения будет максимальным, а другой минимальным. Продифференцируем

выражение (5.4) по углу и приравняем к нулю:

EIx пр cos2 / EIxy пр sin 2 / EI y пр sin2 /

EIx пр 2cos sin EIxy пр 2cos 2

EI y пр 2sin cos 0.

Последнее выражение можно преобразовать в равенство

EIx пр sin 2 2 EIxy пр cos 2 EI y пр sin 2 0.

Разделив последнее выражение на sin2 , получим

2 EIx пр tg2 EI y пр EIx пр.

19