7.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ

Площадь участка земной поверхности, проекции на нее контура полезного ископаемого, других объектов определяют по топографическим и маркшейдерским чертежам геометрическими способами (графическими измерениями) или механическим. На местности площадь геометрически простого участка определяют по результатам измерениями его размеров. Площади земель определяют также аналитически – по координатам вершин граничного замкнутого многоугольника. Вычисления производят по компьютерным программам, в их числе основанным на ЦММ, или по программам, заложенным в процессор электронного тахеометра.

Геометрические способы определения площади применяются для небольших участков. На местности (рис. 7.13, а) сложный контур АВСDЕК разделяют на простые геометрические фигуры, вершины которых обозначают вехами. В трапеции АВЕК измеряют основания аи b, высоту h, а в треугольниках ВСD и ВDЕ измеряют основания а1 и а, высоты h1 и h. Площадь участка Р = Р1 + Р2 + Р3, где Р1 = h (а + + b)/2; Р2 = а1 h1 /2;

Р3 = а h2 /2.

Если треугольнике (рис. 7.13, б) измерить две стороны и угол β меж-

ду ними, то Р = 0,5ас sin β.

Площадь определяется рассмотренными способами с относительной погрешностью 1 / 1000 – 1/5000.

а, б – измерением геометрических фигур; в – с помощью палетки; г – по координатам

Рисунок 7.13 – Геометрические способы определения площадей

227

в гнездо корпуса счетного механизма, установленного на обводном рычаге. Обводное стекло с точкой М укреплено на обводном рычаге. Рабочий радиус R обводного рычага равен расстоянию АМ между центром шарнира и обводной точкой М. Этот радиус можно изменить перемещением корпуса счетного механизма вдоль обводного рычага, а величину радиуса отсчитать по шкале на обводном рычаге и верньеру счетного механизма. В нашем примере (рис. 7.14, б) R = 2816.

Отсчет по шкалам счетного механизма содержит четыре цифры (см. рис. 7.14, б). Здесь отсчет u = 5614, где 5 – число оборотов счетного колеса отсчитанное по циферблату; 614 – отсчет по шкале счетного колеса относительно верньера (61 – номер штриха расположенного ниже нуля верньера; 4 – номер совмещенного штриха верньера).

а – общая схема; б – счетный механизм;

1, 2 – обводный и полюсный рычаги; 3 – верньер счетного механизма; 4 – обводная точка; 5 – шарнир; 6 – циферблат; 7 – счетное колесо со шкалой сотых долей оборота; 8 – верньер

Рисунок 7.14 – Полярный планиметр

П о в е р к и п л а н и м е т р а. До начала работ планиметр необходимо проверить на комплектность и устранить обнаруженные механические неисправности, затем выполнить поверки устройства.

1. Счетное колесо должно свободно вращаться при незначительном люфте и с небольшим (0,1–0,2 мм) зазором относительно пластинки вер-

ньера. При юстировке вращают два осевых винта, в отверстия которых входят конические концы оси счетного колеса.

230

2. Ось счетного колеса должна быть параллельна прямой, проходящей через обводную метку и центр шарнира, т.е. О'О ║ АМ (см. рис. 7.14,

а, б). Для поверки контур обводят маркой М несколько раз в положении планиметра МЛ «счетный механизм слева от фигуры» (см. рис. 7.15) и столько же раз в положении МП «счетный механизм справа от фигуры», не меняя точки полюса О. Если средние разности отсчетов nМЛ и nМП различаются в пределах точности измерений планиметром, то условие считается выполненным. Для юстировки исправительным винтом изменяют угол между корпусом счетного механизма и обводным рычагом.

Рисунок 7.15 – Вторая поверка планиметра

При работе с неотъюстированным на данное условие планиметром каждую фигуру следует обводить при двух положениях планиметра – ПП и ПЛ и за окончательный результат принимать среднее.

Для измерения площади план кладут на расположенную горизонтально чертежную доску с гладкой поверхностью. Полюс полярного планиметра можно закреплять на плане в положении вне контура или в положении внутри контура, предпочтительное положение полюса – вне контура. Выбирают положение полюса так, чтобы при обводе контура угол β между рычагами (см. рис. 7.14, а) не был меньше 30 и больше 150°. Обводную точку М совмещают с какой-либо точкой К контура. По счетному механизму берут отсчет u1 (см. рис. 7.14, б, а также табл. 7.6), затем контур плавно обводят точкой М и завершают обвод в точке К и берут отсчет u2 (желательно обводить против часовой стрелки, в этом случае последовательные значения отсчетов ui уменьшаются и это удобно для вычислений).

231

Разность отсчетов u1 – u1 = n1 представляет площадь в делениях планиметра.

Продолжают обводы, берут отсчеты ui (см. табл. 7.6) и вычисляют разности отсчетов ni , которые не должны различаться между собой более чем на две единицы при n ≤ 200, на четыре при n ≤ 1000, на шесть при n ≤ 2000. Вычисляют среднюю площадь n в делениях планиметра.

Если плюс расположен вне фигуры, ее площадь в масштабе плана вычисляется по формуле

если же полюс находится внутри фигуры, то площадь вычисляется по формуле

где с – цена деления планиметра;

Q – постоянное слагаемое (обе величины зависят от масштаба плана и радиуса планиметра);

n = ui – ui+1 – разность начального и конечного отсчетов при обводе замкнутого контура

Определение постоянных планиметра с и Q. На плане данного масштаба выбирают простую фигуру с известной площадью Р, например квадрат координатной сетки 10×10 см или два таких квадрата и в положении “полюс вне контура” 4–5 раз обводят планиметром контур, находят среднюю разность n и цену деления планиметра

Для определения постоянной Q выбирают фигуру, которую можно обвести с полюсом вне ее и внутри. Поместив полюс внутри фигуры полу-

232

чим Р1 = с n1 + Q, а установив полюс вне фигуры найдем Р2 = с n2 и, следовательно,

площади на местности Р = d2 М2 = 0,12 ·10002 = 10 000 м2 = 1 га.

Р е ш е н и е. Четырехкратным обводом этого контура с полюсом вне контура получена средняя разность отсчетов n = 1013 (см. табл. 8.2). Цена деления планиметра с = 10 000 / 1013 = 9,8717 м2 / 1 деление = 1 / 1013 = = 0,0009871 га / 1 деление. Такая “некруглая” цена деления осложняет устные вычисления по формулам (7.39) и (7.40).

Для изменения цены деления планиметра изменяют радиус R обвод-

Таблица 7.6 – Схема записей величин отсчетов и результатов вычислений при

определении площади полярным планиметром №2815 на плане масштаба 1 : 1000 (радиус R = 2816, полюс вне контура, размер контура 10×10 см)

В нашем примере круглое значение с0 = 10 м2 / 1 деление, ему соот-

ветствует радиус R0 = 2816 (10/ 9,8717) = 2853 или R0 = 2816 (1013 / 1000) =

233

= 2853. После установки радиуса R0 проверяют новую цену деления несколькими обводами контура.

Зависимость цены деления планиметра от масштаба плана. Если при многократном обводе контура, например квадрата размером 10×10 см, средняя разность отсчетов nср = 1000 ± 2 деления, то практически точные значения цены деления планиметра (формула 7.41) будут равны:

–с = 0,1 га/дел. для плана масштаба 1:10 000;

–с = 10 м2/дел. (0,001 га/дел) для плана масштаба 1:1000;

–с = 2,5 м2/дел. (0,00025 га/дел) для плана масштаба 1:500.

Если же при обводе указанного квадрата величина nср заметно отличается от 1000, то цена деления будет неудобной для устных расчетов. Для коррекции цены деления в соответствии с формулой (7.43) счетный механизм перемещают на радиус Rо = Rnср / 1000, где R – радиус, при котором получено nср. Результат коррекции проверяют несколькими обводами фигуры с известной площадью.

Уравнивание площадей. Если на плане (рис. 7.16) измерены планиметром (или палеткой) площади Р'i всех участков в пределах многоугольного контура с известной площадью Рт (вычисленной например по координатами х i. и у i. вершин замкнутого теодолитного хода), то необходимо оценить качество измерений и уравнять (увязать) измеренные площади участков.

Рисунок 7.16 – Площади участков в пределах контура 1 -…4 -…7

Сначала вычисляют фактическую и допустимую невязки измеренных площадей:

234