3.4. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НЕРАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
Математический вес результатов однородных измерений. Если одна и та же величина измерялась в условиях неравноточности (см. § 3.1), то совместная математическая обработка результатов измерений должна выполняться с учетом их сравнительной надежности, которая характеризуется математическим весом данного результата. Вес р результата измерения обратно пропорционален квадрату средней квадратической погрешности m данного результата, т.е.
р = с / m2, |
(3.40) |
где с – произвольная постоянная (коэффициент), которой можно придавать значение, упрощающее вычисления с дробными числами.
Обозначим через Р вес среднего арифметического, а чере р – вес одного отдельного результата равноточных измерений, тогда с учетом фор-
мулы ((3.31) Р = с / М2 = с / (m2 : n), где согласно (3.40) с = р m2, откуда
Р/р = n; Р = р n, |
(3.41) |
следовательно, математический вес среднего арифметического в n раз больше веса отдельного результата равноточных измерений.
Среднее весовое. Пусть некоторая величина измерена неравноточно, а результатам измерений l1, l2,…, ln соответствуют математические веса р1, р2, …, рn, тогда среднее весовое или вероятнейшее значение осредненного результата вычисляется по формуле
L0 = |
l1 р1 + l1 р1 +… + l n р1 |
n |
n |
|
|
|
= ( ∑ l1 р1) / ( ∑ р1). |
(3.42) |
|||
р1 + р2 +…+ рn |
|||||
|
1 |
1 |
|
||
Пример 6. Пусть l1 = 103,0; l2 = 103,8; р1 = 2; р2 = 4. Требуется вы-
числить среднее весовое значение L0.
95
Р е ш е н и е. L0 = 100 +(3,0×2 + 3,8×4)/(2 + 4) = 103,53. Изменим веса,
разделив их р1, получим р'1 = 1; р'2 = 2 и убедимся, что результат L0 = = 103,53 не изменился.
Частный случай среднего весового. Если каждый результат li полу-
чен с одинаковым весом рi = р, то такие результаты равноточны и формула (3.42) принимает вид формулы (3.7) среднего арифметического.
Оценка точности результатов неравноточных измерений. В фор-
муле (3.40) примем р = 1, тогда с = m2i. Значение с при безразмерном р = 1 называется средней квадратической погрешностью единицы веса и обозначается через µ. В соответствии с формулой (3.40) напишем соотношение
µ2 / m2i = рi ,
откуда
µ = mi √ рi . |
(3.43) |
При оценке точности результатов неравноточных измерений вычисляют их среднее весовое L0 по формуле (3.42), отклонения отдельных результатов δi = li – L0 и среднюю квадратическую погрешность единицы веса:
µ = √ (δ21 р1 + δ22 р2 +…+ δ2n рn)/(n - 1) = |
n |
(∑ δ2i рi ) / (n–1). |
|
|
1 |
Средняя квадратическая погрешность величины L0
n
М0 = µ / ∑ рi ,
1
где
n
∑ рi – вес значения L0.
1
(3.44)
(3.45)
96
3.5. ТЕХНИЧЕСКИТЕ СРЕДСТВА И ПРАВИЛА ВЫЧИСЛЕНИЙ
Вычислительная обработка результатов маркшейдерскогеодезических измерений производится как в процессе получения числовой и иной информации (в реальном времени), так и в режиме ее постобработки на стационарных ЭВМ. Компьютерная обработка результатов измерений производится по готовым программам с выдачей требуемых данных в цифровой и графической форме и с оценкой их точности. Современные высокоточные угломерно-дальномерные приборы (электронные тахеометры), нивелиры, лазерные рулетки обладают встроенными блоками оперативной обработки измерительной информации и картами памяти для передачи информации на стационарные ЭВМ.
Значительный объем вычислений производится и непосредственно в процессе работ, в том числе для подготовки числовой информации к дальнейшей компьютерной обработке. Многие срочные относительно несложные вычисления производятся с помощью инженерных калькуляторов. Во время вузовской учебы инженерные калькуляторы применяются для дублирования расчетов, выполненных на компьютерах, с целью лучшего усвоения изучаемых задач. При подготовке задачи к решению на компьютере или на программируемом калькуляторе студенты составляют программу по возможности короткой с учетом необходимой проверки конечных результатов расчетов и оценки их точности.
При съеме информации со средств измерений и вычислениях на калькуляторах необходимо соблюдать определенные правила, которые учитываются и в компьютерных расчетах. Во-первых, нельзя снижать точность результатов измерений за счет неверного округления и уменьшения числа значащих цифр в исходных, промежуточных и окончательных данных. Во-вторых, не следует удерживать в окончательных результатах из-
97
лишние значащие цифры, не соответствующие реальной точности решенной задачи, так как это придает некорректность числовой информации.
При расчетах в процессе измерений и при пост-обработке данных необходимо соблюдать правила округления приближенных чисел, представляющих результаты измерений с учетом их точности. Рассмотрим это требование на примере. Пусть вычисляется горизонтальное проложение d = D cos ν. Величина D получена по результатам двух измерений: D1 =
=156,13 м и D2 = 156,16 м. Здесь среднее D = 156,145 м характеризуется вероятной погрешностью ∆D ≈ 0,02 м, поэтому округляем D = 156,14 м по правилу “до ближайшего четного”. Неправильным будет округление D =
=156,1 м, ибо здесь погрешность возрастает до 0,04 м и этим понижается точность результата измерений. Чтобы погрешность искомой величины d не оказалась больше погрешности среднего D, необходимо получить значение cos ν с пятью верными значащими цифрами, для этого угол ν требуется измерить с точностью 1–2'. При ν = +3° 36' находим с помощью инженерного калькулятора d =D cos ν = 155,832 м; округляем результат d =
=155,83 м с погрешностью округления 0,002 м. Окончательная погрешность результата d составляет ∆d ≈ ∆D ≈ 0,02 м и отвечает точности измерения величины D. Для расчетов такой точности непригодны четырехзначные таблицы тригонометрических функций.
Чтобы избежать накопления погрешностей округления в процессе последовательных вычислений на калькуляторе промежуточные данные не округляют, их вносят в оперативную память. Окончательный результат округляют соответственно точности исходных величин. Если в процессе вычислений необходимо записывать промежуточные данные, то в них удерживают 1-2 дополнительные значащие цифры.
98