- •ПЕРЕЧЕНЬ МАТЕРИАЛОВ
- •ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •1 ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
- •1.1 Логика высказываний
- •1.1.1 Понятие логического высказывания
- •1.1.2 Логические операции
- •1.1.3 Пропозиционные формулы
- •1.1.4 Тавтологии
- •1.1.5 Равносильные формулы
- •1.2 Булевы функции
- •1.2.1 Понятие булевой функции. Число булевых функций от n переменных
- •1.2.2 Элементарные булевы функции. Представление булевых функций пропозиционными формулами
- •1.2.3 Двойственные функции. Принцип двойственности
- •1.2.4 Совершенные конъюнктивные нормальные формы (СКНФ)
- •1.2.5 Полиномы Жегалкина
- •1.3 Полнота и замкнутость
- •1.3.1 Полные системы функций и замкнутые классы
- •1.3.2 Основные замкнутые классы
- •1.3.3 Теоремы о функциональной полноте
- •1.3.4 Базисы пространства булевых функций
- •1.4 Минимизация булевых функций
- •1.4.1 Постановка задачи
- •1.4.2 Метод Квайна-Макклоски
- •1.4.3 Карты Карно
- •1.5 Реализация булевых функций
- •1.5.1 Контактные схемы
- •1.5.2 Схемы из функциональных элементов
- •1.6 Предикаты
- •1.6.1 Основные понятия и определения
- •1.6.2 Операции над предикатами
- •1.6.3 Равносильные формулы логики предикатов
- •1.6.4 Приведенная форма и предваренная нормальная форма предиката
- •2 ОСНОВЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
- •2.1 Множества и операции над ними
- •2.1.1 Основные понятия
- •2.1.2 Способы задания множеств
- •2.1.3 Операции над множествами
- •2.1.4 Свойства операций над множествами. Алгебра множеств
- •2.1.5 Декартово произведение множеств
- •2.2 Отображения множеств
- •2.2.1 Основные понятия
- •2.2.2 Произведение (композиция) отображений
- •2.2.3 Обратные отображения
- •2.3 Отношения
- •2.3.1 Основные понятия и способы задания отношений
- •2.3.2 Операции над бинарными отношениями и их свойства
- •2.4 Отношения экивалентности
- •2.4.1 Классы эквивалентности
- •2.4.2 Отношения частичного порядка
- •2.5 Комбинаторика
- •2.5.1 Размещения
- •2.5.2 Перестановки
- •2.5.3 Сочетания
- •2.5.4 Сочетания с повторениями
- •2.5.5 Бином Ньютона. Понятие о производящей функции
- •2.5.6 Числа Стирлинга
- •2.5.7 Число Белла
- •2.6 Мощности множеств
- •2.6.1 Мощность конечного множества
- •2.6.2 Мощности бесконечных множеств. Счетные множества
- •2.6.3 Несчетные множества. Мощность континуума
- •2.6.4 Кардинальные числа. Гипотеза континуума
- •3 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ
- •3.1 Основные определения и типы графов
- •3.1.1 Основные понятия
- •3.1.2 Основные типы графов
- •3.1.3 Обобщения понятия графа
- •3.1.4 Изоморфные графы
- •3.1.5 Количество различных графов порядка n
- •3.2 Основные числовые характеристики и матрицы графа
- •3.2.1 Степени вершин графа
- •3.2.2 Матрица смежности
- •3.2.3 Матрица Кирхгофа
- •3.2.4 Матрица инцидентности
- •3.3 Подграфы и операции на графах
- •3.3.1 Подграфы
- •3.3.2 Операции над графами
- •3.4 Связные графы и расстояние в графах
- •3.4.1 Маршруты в графах. Связные графы
- •3.4.2 Компоненты связности. Связность графа и его дополнения
- •3.4.3 Расстояния на графах
- •3.4.4 Метод поиска в ширину
- •3.4.5 Выяснение вопросов связности, достижимости и расстояний на графе по матрице смежности
- •3.5 Деревья и остовы
- •3.5.1 Критерии дерева
- •3.5.3 Типы вершин дерева, радиус и центры
- •3.5.4 Остовы графа, циклический ранг и ранг разрезов
- •3.5.5 Задача о минимальном остове
- •3.5.6 Разрезы графа. Фундаментальная система циклов и фундаментальная система разрезов
- •3.5.7 Линейное пространство графа
- •3.6 Эйлеровы и гамильтоновы графы
- •3.6.1 Эйлеровы графы
- •3.6.2 Гамильтоновы графы
- •3.7 Планарные графы
- •3.7.1 Вложимость графов в трехмерное пространство
- •3.7.2 Планарные графы. Формула Эйлера
- •3.7.3 Следствия из формулы Эйлера
- •3.7.4 Гомеоморфные графы. Критерий планарности
- •3.8 Раскраски графов
- •3.8.1 Хроматическое число графа
- •3.8.2 Хроматическое число 2-дольного графа. Критерий 2-дольности
- •3.8.3 Некоторые оценки хроматического числа
- •3.8.4 Раскраски планарных графов
- •3.8.5 Реберная раскраска графа
- •3.9 Паросочетания
- •3.9.1 Паросочетания
- •3.9.2 Теорема Холла о свадьбах
- •3.10 Сети
- •3.10.1 Основные понятия
- •3.10.2 Потоки в сетях
- •3.10.3 Сетевое планирование
- •ПРОДОЛЖЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЯ
- •4 ЭЛЕМЕНТЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ
- •4.1 Математическое моделирование и вычислительный эксперимент
- •4.2 Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений. Плохая обусловленность и анализ ошибок. Влияние погрешностей округления
- •4.3 Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод простых итераций и метод Зейделя
- •4.3.1 Основные понятия
- •4.3.2 Метод простой итерации. Описание метода
- •4.3.3 Некоторые сведения о векторах и матрицах
- •4.3.4 Условия и скорость сходимости метода простой итерации
- •4.3.5 Приведение системы (1) к виду (2)
- •4.4 Интерполирование алгебраическими многочленами. Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •4.4.1 Постановка задачи
- •4.4.2 Интерполяционная формула Лагранжа. Представление и оценка остатка
- •4.4.3 Практическое применение интерполяции
- •4.5 Конечные разности. Интерполяционный многочлен Ньютона
- •4.5.1 Конечные разности
- •4.5.2 Интерполяционный многочлен Ньютона
- •4.5.3 Линейная интерполяция
- •4.6 Многочлены Чебышева на отрезке [-1, 1]. Интерполирование сплайнами
- •4.7 Численное интегрирование
- •4.7.1 Формулы прямоугольников
- •4.7.2. Формула трапеций
- •4.7.3. Формула Симпсона (метод параболических трапеций)
- •4.7.4 Квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности (квадратурные формулы Гаусса)
- •4.8 Численное решение нелинейных уравнений
- •4.8.1. Отделение корней
- •4.8.2 Метод деления отрезка пополам
- •4.8.3 Метод простой итерации (метод последовательных приближений)
- •4.8.4. Метод Ньютона (метод касательных)
- •4.8.5 Метод секущих
- •4.8.6 Метод хорд
- •4.9 Итерационные методы решения систем нелинейных уравнений
- •4.9.1 Метод простой итерации
- •4.9.2 Метод простой итерации для системы двух уравнений
- •4.9.3 Метод Ньютона
- •4.9.4 Метод Ньютона для системы двух уравнений
- •4.10 Численные методы решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения
- •4.10.1 Метод Эйлера
- •4.10.2 Методы Рунге–Кутта
- •4.11 Постановка задачи линейного программирования. Геометрическая интерпретация и графическое решение задачи линейного программирования
- •4.11.1 Предмет математического программирования
- •4.11.2 Основная задача линейного программирования
- •4.11.3 Геометрический смысл системы линейных неравенств
- •4.11.4 Графический метод решения задач линейного программирования
- •4.12 Симплексный метод решения задачи линейного программирования. Двойственность в линейном программировании
- •4.12.1 Свойства решений задачи линейного программирования (ЗЛП)
- •4.12.2 Общая идея симплексного метода
- •4.12.3 Построение начального опорного плана
- •4.12.4 Признак оптимальности опорного плана. Симплексные таблицы
- •4.12.5 Переход к нехудшему опорному плану. Симплексные преобразования
- •4.13 Разностные методы
- •4.13.1 Основные понятия
- •4.13.2 Сетки и сеточные функции
- •4.13. 3 Аппроксимация простейших дифференциальных операторов
- •4.13.4 Разностная задача
- •4.13.5 Устойчивость
- •4.13.6 Связь аппроксимации и устойчивости со сходимостью
- •4.13.7 Явные и неявные разностные схемы
- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •Лабораторная работа 5. Задача коммивояжера
- •ПРОДОЛЖЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЯ
- •2.1. Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений
- •2.2. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод простых итераций и метод Зейделя
- •2.2.1. Метод простых итераций
- •2.2.2 Метод Зейделя
- •2.3. Интерполирование алгебраическими многочленами. Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •2.3.1. Постановка задачи
- •2.3.2 Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •2.3.3 Практическое применение интерполирования. Оценка погрешности интерполяционного многочлена Лагранжа
- •2.4 Конечные разности. Интерполяционный многочлен Ньютона
- •2.4.1 Конечные разности
- •2.4.2 Первая интерполяционная формула Ньютона (для интерполирования вперед)
- •2.4.3 Вторая интерполяционная формула Ньютона (для интерполирования назад)
- •2.5 Интерполирование сплайнами
- •2.6 Численное интегрирование
- •2.6.1 Метод средних прямоугольников
- •2.6.2 Формула трапеций
- •2.6.3 Формула Симпсона (метод параболических трапеций)
- •2.7 Численное решение нелинейных уравнений. Отделение корней. Метод половинного деления. Метод простой итерации
- •2.7.1 Отделение корней
- •2.7.2 Метод половинного деления
- •2.7.3 Метод простой итерации (метод последовательных приближений)
- •2.7.4 Практический критерий сходимости (когда надо прекращать итерации)
- •2.8 Итерационные методы решения нелинейных уравнений. Метод Ньютона. Метод секущих. Метод хорд
- •2.8.1 Метод Ньютона (метод касательных)
- •2.8.2 Метод секущих
- •2.8.3 Метод хорд
- •2.9 Итерационные методы решения систем нелинейных уравнений
- •2.9.1 Метод простой итерации для системы двух уравнений
- •2.9.2 Метод Ньютона для системы двух уравнений
- •2.10.1 Метод Эйлера
- •2.10.2 Метод Рунге-Кутта
- •2.11 Графическая интерпретация и графическое решение задачи линейного программирования
- •2.11.1 Основная задача линейного программирования
- •2.11.2 Графическая интерпретация задачи линейного программирования
- •2.11.3 Графическое решение задачи линейного программирования
- •2.12 Симплексный метод решения задачи линейного программирования
- •2.13 Метод сеток для уравнения параболического типа
- •2.13.1 Общие сведения
- •2.13.2 Постановка задачи
- •2.13.3 Разностные схемы
- •2.13.4 Оценки погрешностей
- •2.14 Метод сеток для уравнения гиперболического типа
- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •1 Операции над множествами. Алгебра множеств. Декартово произведение множеств
- •2 Отображения множеств. Бинарные отношения на множествах
- •3 Комбинаторика и мощности множеств
- •6 Расстояния в графах
- •7 Деревья и остовы
- •8 Эйлеровы графы. Критерий эйлеровости. Планарные графы. Формула Эйлера
- •9 Раскраски графов. Хроматическое число графа
- •10 Сети и потоки в сетях
- •Тесты по разделу «ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ»
- •ЭЛЕМЕНТЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ
- •1 Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •2 Интерполирование алгебраическими многочленами
- •3 Численное интегрирование
- •4 Численные методы решения нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений
- •5 Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
- •6 Линейное программирование
- •7 Численное решение уравнений с частными производными
- •Тесты по разделу «ЭЛЕМЕНТЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ»
- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
- •СПИСОК ВОПРОСОВ К ЗАЧЕТУ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕ
- •СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
СПИСОК ВОПРОСОВ К ЗАЧЕТУ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕ
1.Логические операции.
2.Пропозиционные формулы.
3.Тавтологии.
4.Равносильные формулы.
5.Понятие булевой функции.
6.Представление булевых функций пропозиционными формулами.
7.Принцип двойственности.
8.Полиномы Жегалкина.
9.Полнота и замкнутость.
10.Базисы пространства булевых функций.
11.Минимизация булевых функций.
12.Реализация булевых функций.
13.Предикаты. Операции над предикатами.
14.Основные понятия теории множеств. Единственность пустого множества. Способы задания множеств.
15.Операции над множествами и их иллюстрация с помощью диаграмм Эйлера -- Венна.
16.Свойства операций над множествами.
17.Декартово произведение множеств.
18.Отображения множеств. Инъективные и сюръективные отображения.
19.Произведение (композиция) отображений. Теорема об ассоциативности произведения.
20.Обратные отображения. Критерий обратимости.
21.Отношения на множествах.
22.Отношения частичного порядка. Диаграммы Хассе.
23.Линейно упорядоченные множества.
24.Мощность конечного множества. Мощность булеана конечного множества.
25.Равномощные множества, счетные множества.
26.Теорема Кантора о несчетности множества чисел отрезка [0,1]. Мощность континуума.
27.Кардинальные числа и континуум-гипотеза.
28.Элементы комбинаторики. Сочетания, размещения, перестановки.
29.Разбиения множеств. Числа Белла и Стирлинга.
30.Бином Ньютона и производящая функция.
31.Определение графа. Смежность и инцидентность. Обобщение понятия графа: мультиграфы и псевдографы. Ориентированные графы.
10
32.Матрица смежности графа и ее свойства.
33.Степени вершин графа и степенная последовательность.
34.Лемма «о рукопожатиях» для простых графов и орграфов.
35.Изоморфизмы графов и помеченных графов: определения и примеры.
36.Маршруты, цепи и циклы в графах. Связные графы и связность. Компоненты связности.
37.Дополнение графа. Теорема о связности графа и его дополнения
38.Расстояние в графах. Удаленности вершин, радиус и диаметр, центры и периферийные центры.
39.Транзитивное замыкание графа (граф достижимости). Исследование вопросов связности и нахождение расстояний по степеням матрицы смежности.
40.Алгоритм поиска в ширину.
41.Деревья и лес. Критерии дерева.
42.Алгоритм поиска в глубину.
43.Остовы графа. Циклический ранг графа.
44.Разрезы графа. Ранг разрезов.
45.Задача о минимальном остове. Алгоритм Прима и алгоритм Краскала.
46.Эйлеровы. Критерий эйлеровости.
47.Условие существования эйлерового пути в неэлеровом графе. Минимальное число реберно непересекающихся путей, покрывающих граф.
48.Гамильтоновы графы. Достаточные условия гамильтоновости. Задача о коммивояжере.
49.Теорема о вложимости всякого графа в трехмерном пространстве. Планарные графы. Необходимые условия планарности графа.
50.Непланарность графов K3,3 и K5 . Теорема Понтрягина-Куратовского.
51.Теорема Эйлера о планарных графах. Формула Эйлера.
52.Следствия из формулы Эйлера.
53.Правильные раскраски графов. Хроматическое число.
54.Раскраски планарных графов. Теорема о 6-раскрашиваемости. Гипотеза четырех красок.
55.Хроматическое число двудольного графа и критерий двудольности.
56.Теоремы о зависимости хроматического числа графа от максимальной степени вершин.
57.Задача о раскраске карты и о распределении оборудования.
58.Сети и потоки в сетях. Пропускная способность. Теорема Форда-Фалкерсона.
59.Паросочетания. Теорема Холла о свадьбах
60.Максимальный поток в сети. Алгоритм нахождения максимального потока.
61.Математическое моделирование и вычислительный эксперимент.
11
62.Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений. Схема единственного деления.
63.Понятие плохой обусловленности систем линейных алгебраических уравнений.
64.Норма матрицы и вектора. Общие аксиомы, примеры норм.
65.Метод простых итераций для решения систем линейных алгебраических уравнений. Условия сходимости.
66.Метод Зейделя для решения систем линейных алгебраических уравнений. Условия сходимости.
67.Интерполирование алгебраическими многочленами. Постановка задачи.
68.Интерполяционный многочлен Лагранжа. Оценка погрешности.
69.Конечные разности. Выражение разности через значение функции. Таблицы конечных разностей.
70.Первая интерполяционная формула Ньютона (для интерполирования вперед).
71.Вторая интерполяционная формула Ньютона (для интерполирования назад).
72.Интерполяционный сплайн. Основные понятия.
73.Построение кубического сплайна.
74.Численное интегрирование. Методы прямоугольников. Погрешности методов.
75.Численное интегрирование. Метод трапеций. Погрешность метода.
76.Численное интегрирование. Формула Симпсона (метод параболических трапеций). Погрешность метода.
77.Численное решение нелинейных уравнений. Отделение корней.
78.Численное решение нелинейных уравнений. Метод половинного деления.
79.Численное решение нелинейных уравнений. Метод простой итерации. Условие сходимости.
80.Итерационные методы решения нелинейных уравнений. Метод Ньютона (метод касательных) Условия сходимости. Скорость сходимости.
81.Итерационные методы решения нелинейных уравнений. Метод секущих. Скорость сходимости.
82.Итерационные методы решения нелинейных уравнений. Метод хорд. Особенности алгоритма.
83.Метод простой итерации для решения систем нелинейных уравнений. Условия сходимости. Оценка погрешности.
84.Метод Ньютона для решения системы двух нелинейных уравнений.
85.Метод Эйлера решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Оценка погрешности.
12
86.Метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.
87.Постановка задачи линейного программирования. Формы записи и способы преобразования.
88.Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования.
89.Графическое решение задачи линейного программирования.
90.Симплексный метод решения задачи линейного программирования. Общая идея метода.
91.Симплексный метод решения задачи линейного программирования. Построение начального опорного плана.
92.Симплексный метод решения задачи линейного программирования. Признак оптимальности опорного плана. Симплексные таблицы.
93.Симплексный метод решения задачи линейного программирования. Переход к нехудшему опорному плану. Правило прямоугольника.
94.Основные понятия метода конечных разностей.
95.Сетки и сеточные функции.
96.Разностные производные первого и второго порядков. Погрешность аппроксимации.
97.Аппроксимация простейших дифференциальных операторов. Шаблоны
98.Связь аппроксимации, устойчивости и сходимости разностных схем.
99.Явные и неявные разностные схемы.
13