ЭЛЕМЕНТЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ

1 Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений

1.1 Дана система линейных алгебраических уравнений

a11x1 + a12 x2 + a13x3 = b1,a21x1 + a22 x2 + a23x3 = b2 ,a31x1 + a32 x2 + a33x3 = b3.

Составьте программу, которая реализует алгоритм одного из прямых методов для решения системы линейных алгебраических уравнений порядка n и вычисляет одновременно обратную матрицу для матрицы системы. Примените составленную программу к данной системе.

44

1.2 Составьте программу, которая реализует алгоритм метода простой итерации и метода Зейделя решения линейной системы порядка n. Примените составленную программу к данной системе и сравните полученные результаты. Вычисления производите до достижения заданной точности ε =10−3 или до тех пор, пока число итераций не превысит 104 .

2 Интерполирование алгебраическими многочленами

2.1 По заданной таблице значений функции найдите формулу интерполяционного многочлена Лагранжа. Составьте программу, реализующую данную задачу. Постройте график интерполяционного многочлена Лагранжа и отметьте на нем узловые точки

Mi (xi , yi ), i = 0, 1, 2, 3 .

2.2 Вычислите одно значение заданной функции для промежуточного значения аргумента с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа и оцените погрешность интерполяции. Составьте программу, реализующую данную задачу.

45

с помощью программы для компьютера.

46

2.4 Дана таблица значений функции y = sin x .

Пользуясь первой или второй интерполяционными формулами Ньютона при n = 2 , вычислите sin x для следующих значений аргумента x и укажите оценку остаточного члена

R2 .

1) 1,151; 2) 1,218; 3) 1,345; 4) 1,421; 5) 1,538; 6) 1,609; 7) 1,732; 8) 1,849; 9) 1,929; 10) 2,031;

11)2,173; 12) 2,218; 13) 2,313; 14) 2,437; 15) 2,478.

2.5С помощью программы для компьютера уплотните часть таблицы заданной функции, пользуясь первой или второй интерполяционными формулами Ньютона.

Для выполнения задания 5 по заданной таблице значений функции с равноотстоящими значениями аргумента составьте таблицу конечных разностей и определите порядок интерполяционного полинома Ньютона. В зависимости от расположения участка [a,b] уплот-

нения таблицы с шагом H относительно исходной таблицы выберите первую или вторую интерполяционную формулу Ньютона. В программе необходимо совершить подсчет погрешности метода по выбранной формуле.

47