9.17 Из задачи 9.6 а), б).

Правильно раскрасить вершины графов и указать хроматическое число графов χ(G):

9.17 а) 4; б) 5; 9.18 а) 3; б) 4; в) 3; г) 2; д) 2; е) 2; ж) 3; з) 3; 9.19 а) 3; б) 4; в) 4; г) 4; д) 4; е) 3; ж) 4; з) 3.

10 Сети и потоки в сетях

Дана сеть (см. соответствующий рисунок). Найти: а) время выполнения проекта; б) критический путь; в) резервы времени.

33

10.6

Рисунок 96

ОТВЕТЫ:

10.1 а) 32; б) (0,2,3,5); в) τ(1)= 2, τ(4)= 4 ; 10.2 а) 44; б) (1,3,4,7); в) τ(2)=18, τ(5)= 5, τ(6)= 9 ;

Тесты по разделу «ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ»

1

1.Произведение (композиция) отображений. Теорема об ассоциативности произведения.

2.Изоморфизмы графов: определения и примеры.

3.Верно ли равенство множеств: (A \ B) ∩C = (A ∩C) ∩(C \ B) ?

4.Найти хроматические числа графов: цикл, цепь, колесо, звезда. Все графы порядка n.

5.В детской викторине 12 вопросов. За правильный ответ на каждый вопрос выдается приз ребенку, ответившему первым. Сколько существует способов распределения призов, если на все вопросы получены ответы, на вопросы отвечают 10 детей и ни один ребёнок не останется без приза?

2

1.Отображения множеств: основные понятия и определения, инъективные и сюръективные отображения.

2.Задача о минимальном остове. Алгоритм Прима и алгоритм Краскала.

3.Верно ли равенство множеств: (A B) \ (A ∩C) = (B \ A) ∩(A \ C) ?

4.Найти реберно-хроматические числа графов: цикл, цепь, колесо, звезда. Все графы порядка n.

5.Сколько различных шестизначных чисел можно записать с помощью цифр (1,1,1,2,2,2)?

35

3

1.Декартово произведение множеств: определение, примеры, свойства.

2.Остовы графа. Циклический ранг графа.

3.Верно ли равенство множеств: (A B) \ (A ∩C) = (B \ A) (A \ C) ?

4.Какие деревья являются полными двудольными графами?

5.Мистер Р. имеет трех родных и четырех внучатых племянников, каждый из которых к Рождеству посылает поздравление мистеру Р. Но дядя отвечает на поздравления лишь четырем из них, причем обязательно хотя бы одному родному племяннику. Сколько существует вариантов распределения поздравлений мистера Р. между племянниками?

4

1.Свойства операций над множествами.

2.Паросочетания. Теорема Холла о свадьбах.

3.Верно ли равенство множеств: (A B) \ C = (A \ C) (B \ C) ?

4.Построить остов графа и фундаментальную систему разрезов, ассоциированную с этим остовом.

5.В конюшне лорда М. 12 лошадей, из которых три вороной масти. Отправляясь на прогулку в обществе дамы, лорд М. всегда выбирает для дамы лошадь вороной масти, для себя же может выбрать любую лошадь. С каким количеством отобранных для прогулки пар лошадей может столкнуться седлающий их конюший лорда М., если оба седла одинаковы?

5

1.Равномощные множества, счетные множества. Доказательство счетности множества целых чисел.

2.Паросочетания в графе. Теорема Холла о свадьбах.

3.Верно ли равенство множеств: (A \ B) (B \ C) = (A B) \ (B ∩C) ?

4.Какое наименьшее число вершин может быть в планарном графе с 30 ребрами?

5.Мистер Р. каждый день заходит выпить кофе в одну из пяти своих любимых кофеен. Пр и- чем в течение недели он посещает их все. Сколько существует вариантов «расписания» посещений мистером Р. кофеен?

36

6

1.Основные понятия теории множеств. Единственность пустого множества. Способы задания множеств.

2.Сети и потоки в сетях. Пропускная способность. Теорема Форда-Фалкерсона.

3.Верно ли равенство множеств: (A B) C = (A ∩C) ∩(C \ B) ?

4.Построить остов графа и фундаментальную систему циклов, ассоциированную с этим остовом.

6.Каким количеством способов можно разделить наследство, состоящее из 6 доходных домов между тремя наследниками (необязательно поровну, но каждый что-нибудь да получит)?

7

1.Обратные отображения. Критерий обратимости.

2.Матрица смежности графа и ее свойства. Матрицы смежности изоморфных графов.

3.Верно ли равенство множеств: (A \ B) (B \ C) = (A ∩ B) (B ∩C) ?

4.В планарном графе 60 ребер. Какое наименьшее число вершин может быть в таком графе?

5.Рыцарь ни дня не проводит без боя и, одевая кольчугу, уже не снимает ее в течение дня. Имея три боевые кольчуги, сменяет одну на другую лишь раз в неделю. Сколько возможных «расписаний» существует при таком использовании их рыцарем (с учетом дня смены кольчуги)?

8

1.Мощность конечного множества: свойства и теоремы. Мощность булеана конечного множества.

2.Задача о минимальном остове. Алгоритм Прима.

3.Верно ли равенство множеств: (A B) \ C = (A C) ∩(B C) ?

4.Найдите циклический ранг графа Knm.

5.Для шифрования сообщения выбирают ключ – последовательность из 12 символов, в которой каждую из 5 позиций занимает одна из 10 букв (возможно с повторением), оставшиеся же места заполняются цифрами без повторений. Сколько существует различных ключей, составленных по этому правилу?

37

9

1.Равномощные множества, счетные множества. Доказательство счетности множества рациональных чисел.

2.Алгоритм поиска в ширину.

3.Верно ли равенство множеств: (A B) C) = (A \ C) ∩(B \ C) ?

4.При каких n и m граф Knm. эйлеров и гамильтонов одновременно?

5.Мистер Р. весьма консервативен, его обед всегда состоит из закуски, основного блюда и двух десертов. Сколькими способами может быть составлено меню мистера Р, если выбирает он из 6 закусок, 18 основных блюд и 10 десертов, причем десерты могут повторяться?

10

1.Теорема Кантора о несчетности множества чисел отрезка[0,1]. Мощность континуума.

2.Планарные графы. Необходимые условия планарности графа.

3.Верно ли равенство множеств: (A B \ (A ∩ B) = (A B) ∩(B A) ?

4.Найти критический путь и ранние сроки выполнения этапов проекта:

5. Что больше S62 или B4 ?

11

1.Теорема о булеане счетного множества. Кардинальные числа и континуум-гипотеза.

2.Степени вершин графа и степенная последовательность. Лемма «о рукопожатиях» для графов и орграфов.

3.Верно ли равенство множеств: (A B \ (A ∩ B) = (A B) ∩(B A) ?

4.Построить фундаментальную систему циклов графа, ассоциированную с выбранным остовом. Граф задан матрицей смежности

5.Сколько существует инъективных отображений f : X → X , где X =15 ?

38

12

1.Отношения на множествах: основные понятия и способы задания.

2.Расстояние в графах. Удаленности вершин, радиус и диаметр, центры и периферийные центры. Метод поиска в ширину.

3.Верно ли равенство множеств: (A B) C = (A ∩C) ∩(C \ B) ?

4.Существует ли граф, в котором 25 ребер и степени всех вершин равны 4?

5.Отправляясь в путешествие, лорд М. берет с собой 2 дюжины носовых платков. Причем

требует разложить их по чемоданам так, чтобы в каждом был хотя бы один платок. Скол ь- кими способами можно разложить эти платки по чемоданам, если в путешествии мистер Р. обходится девятью чемоданами?

13

1.Эйлеровы графы. Критерий эйлеровости.

2.Найти радиус и диаметр графа

3. Какими свойствами обладает отношение R на множестве натуральных чисел: aRb a /(b +1) – четное?

4. Сколько существует биективных отображений f : X → X , где X =15 ?

14

1.Бином Ньютона и производящая функция.

2.Гамильтоновы графы. Достаточные условия гамильтоновости. Задача о коммивояжере.

3.Существует ли граф со степенной последовательностью 2,3,4,5,6,7,7,8,8?

4. Какими свойствами обладает отношение R на множестве натуральных чисел: aRb (ab) 5 ?

5. Известно, что ключом к шифру было выбрано одно из первых пяти слов подходящей длины в одном из первых 10 абзацев 19 разделов повести В. Короткевича «Дикая охота короля Стаха». Ключ ищут подбором. Какое максимальное число попыток может быть сделано при подборе ключа?

39

15

1.Планарные графы. Теорема Эйлера о планарных графах. Формула Эйлера.

2.Отношения частичного порядка. Основные понятия и примеры. Диаграммы Хассе.

3.Существует ли граф со степенной последовательностью: 7,7,6,4,4,2,2,2?

4.Какими свойствами обладает отношение R на множестве натуральных чисел: aRb НОД{a,b} ≥ 30 ?

5.Студенты группы пишут курсовую работу под руководством одного из 4 преподавателей. Сколько существует способов распределения студентов между руководителями, при условии что каждый из преподавателей руководит не менее, чем тремя работами, если в группе 16студентов.

16

1.Хроматическое число двудольного графа и критерий двудольности.

2.Какими свойствами обладает отношение R на множестве натуральных чисел: aRb НОК{a,b} ≥ 30 ?

3.Используя потоковый алгоритм, найти максимальный поток в сети (дуги имеют направления от вершины с меньшим номером):

4.Экзамен в студенческой группе принимают 3 экзаменатора. Сколькими способами можно распределить 15 студентов между экзаменаторами, если каждому преподавателю отвечает по пять студентов?

17

1.Равномощные множества, счетные множества. Примеры счетных множеств. Счетность множества рациональных чисел.

2.Правильные раскраски графов. Хроматическое число. Примеры.

3.Доказать, что отношение aRb a b . на множестве {2,3,4,6,8,9,20,24,25,30,36,60} являет-

ся отношением частичного порядка и изобразить диаграмму Хассе. 4. Найти остов минимального веса графа.

40

5. Сколькими способами можно заполнить карточки «Спортлото. 5 из 36», если зачеркивать не более двух нечетных номеров или выбирать только из чисел, кратных 5 или 3?

18

1.Сравнения. Свойства сравнений.

2.Непланарность графов К3,3 и К5. Теорема Понтрягина-Куратовского.

3.Верно ли равенство множеств: (A \ D) \ C = (A \ C) \ (B \ C) ?

4.Докажите, что если граф порядка n изоморфен своему дополнению, то n или n-1 делится на 4.

5.Что больше S63 или C63 ?

19

1.Раскраски планарных графов. Теорема о 6-раскрашиваемости. Гипотеза четырех красок.

2.Является ли отображение f: R → R, f (x) = 3x − 2 инъективным, сюръективным, биектив-

ным?

3. Построить фундаментальную систему разрезов графа, ассоциированную с выбранным ос-

4. Сколько можно получить различных оттенков, смешивая голубой и пурпурный так, чтобы процент содержания голубого был кратен трем либо пурпурного семи?

20

1.Теоремы о произведении сюръективных, инъективных и биективных отображений.

2.Теорема о вложимости всякого графа в трехмерном пространстве. Планарные графы.

3.Какими свойствами обладает отношение на N aRb min{a, b} 2 ?

4.Существует ли простой граф порядка 10, в котором 46 ребер?

5.Докажите справедливость формулы C mn + C mn+1 = C mn++11 , где Cnm – число сочетаний из n

элементов по m.

41

21

1.Отношения на множествах: основные понятия и способы задания.

2.Деревья и лес. Критерии дерева.

3.Верно ли равенство множеств: (A B) \ (A ∩ B) = (A \ B) (B \ A) ?

4.Найти остов минимального веса, используя алгоритм Прима

5. Сколько существует способов рассадить за круглым столом n мужчин и n женщин, чтобы мужчины и женщины чередовались?

22

1.Операции над множествами и их иллюстрация с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

2.Маршруты, цепи и циклы в графах. Связные графы и связность. Компоненты связности.

3.Какими свойствами обладает отношение на N aRb a / b − нечетное?

4.Из какого минимального числа кусков проволоки можно спаять каркас пирамиды с пятиугольным основанием (толщина ребер должна быть одинаковой)?

23

1.Обратные отображения. Критерий обратимости.

2.Транзитивное замыкание графа (граф достижимости). Исследование вопросов связности и нахождение расстояний по степеням матрицы смежности.

3.Какими свойствами обладает отношение на N aRb (a 2) (b 3) ?

4.Существует ли несвязный простой граф со степенной Последовательностью 5, 5, 5, 5, 5, 3, 3, 3, 3, 3?

5. Доказать справедливость формулы 0 C 0n +1 C 1n +2 C 2n + ... +n C nn = n 2n−1 , где Cmn -

число сочетаний из n элементов по m.

42

24

1.Дополнение графа. Теорема о связности графа и его дополнения.

2.Какими свойствами обладает отношение на N aRb max(a,b) : 2 ?

25

1.Отображения множеств: основные понятия и определения, инъективные и сюръективные отображения.

2.Разрезы графа. Ранг разрезов.

3.Какими свойствами обладает отношение на N aRb a + b ≤100 ?

5. Для поощрения сотрудников было приобретено пять туристических путевок в город Z, три в город Y и одна в город X. Сколько существует способов распределения их между 12 сотрудниками?

26

1.Максимальный поток в сети. Алгоритм нахождения максимального потока.

2.Какими свойствами обладает отношение на N НОД{a,b}≥ 30 ?

3.Существует ли простой граф с заданной степенной последовательностью 7 7 6 6 5 5 5 5?

4.На предприятие отправлено 14 практикантов. Они будут направлены в цеха: в первый – 4 человека, во второй и третий по 5 человек. Сколькими способами можно распределить практикантов по цехам?

43