- •ПЕРЕЧЕНЬ МАТЕРИАЛОВ
- •ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •1 ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
- •1.1 Логика высказываний
- •1.1.1 Понятие логического высказывания
- •1.1.2 Логические операции
- •1.1.3 Пропозиционные формулы
- •1.1.4 Тавтологии
- •1.1.5 Равносильные формулы
- •1.2 Булевы функции
- •1.2.1 Понятие булевой функции. Число булевых функций от n переменных
- •1.2.2 Элементарные булевы функции. Представление булевых функций пропозиционными формулами
- •1.2.3 Двойственные функции. Принцип двойственности
- •1.2.4 Совершенные конъюнктивные нормальные формы (СКНФ)
- •1.2.5 Полиномы Жегалкина
- •1.3 Полнота и замкнутость
- •1.3.1 Полные системы функций и замкнутые классы
- •1.3.2 Основные замкнутые классы
- •1.3.3 Теоремы о функциональной полноте
- •1.3.4 Базисы пространства булевых функций
- •1.4 Минимизация булевых функций
- •1.4.1 Постановка задачи
- •1.4.2 Метод Квайна-Макклоски
- •1.4.3 Карты Карно
- •1.5 Реализация булевых функций
- •1.5.1 Контактные схемы
- •1.5.2 Схемы из функциональных элементов
- •1.6 Предикаты
- •1.6.1 Основные понятия и определения
- •1.6.2 Операции над предикатами
- •1.6.3 Равносильные формулы логики предикатов
- •1.6.4 Приведенная форма и предваренная нормальная форма предиката
- •2 ОСНОВЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
- •2.1 Множества и операции над ними
- •2.1.1 Основные понятия
- •2.1.2 Способы задания множеств
- •2.1.3 Операции над множествами
- •2.1.4 Свойства операций над множествами. Алгебра множеств
- •2.1.5 Декартово произведение множеств
- •2.2 Отображения множеств
- •2.2.1 Основные понятия
- •2.2.2 Произведение (композиция) отображений
- •2.2.3 Обратные отображения
- •2.3 Отношения
- •2.3.1 Основные понятия и способы задания отношений
- •2.3.2 Операции над бинарными отношениями и их свойства
- •2.4 Отношения экивалентности
- •2.4.1 Классы эквивалентности
- •2.4.2 Отношения частичного порядка
- •2.5 Комбинаторика
- •2.5.1 Размещения
- •2.5.2 Перестановки
- •2.5.3 Сочетания
- •2.5.4 Сочетания с повторениями
- •2.5.5 Бином Ньютона. Понятие о производящей функции
- •2.5.6 Числа Стирлинга
- •2.5.7 Число Белла
- •2.6 Мощности множеств
- •2.6.1 Мощность конечного множества
- •2.6.2 Мощности бесконечных множеств. Счетные множества
- •2.6.3 Несчетные множества. Мощность континуума
- •2.6.4 Кардинальные числа. Гипотеза континуума
- •3 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ
- •3.1 Основные определения и типы графов
- •3.1.1 Основные понятия
- •3.1.2 Основные типы графов
- •3.1.3 Обобщения понятия графа
- •3.1.4 Изоморфные графы
- •3.1.5 Количество различных графов порядка n
- •3.2 Основные числовые характеристики и матрицы графа
- •3.2.1 Степени вершин графа
- •3.2.2 Матрица смежности
- •3.2.3 Матрица Кирхгофа
- •3.2.4 Матрица инцидентности
- •3.3 Подграфы и операции на графах
- •3.3.1 Подграфы
- •3.3.2 Операции над графами
- •3.4 Связные графы и расстояние в графах
- •3.4.1 Маршруты в графах. Связные графы
- •3.4.2 Компоненты связности. Связность графа и его дополнения
- •3.4.3 Расстояния на графах
- •3.4.4 Метод поиска в ширину
- •3.4.5 Выяснение вопросов связности, достижимости и расстояний на графе по матрице смежности
- •3.5 Деревья и остовы
- •3.5.1 Критерии дерева
- •3.5.3 Типы вершин дерева, радиус и центры
- •3.5.4 Остовы графа, циклический ранг и ранг разрезов
- •3.5.5 Задача о минимальном остове
- •3.5.6 Разрезы графа. Фундаментальная система циклов и фундаментальная система разрезов
- •3.5.7 Линейное пространство графа
- •3.6 Эйлеровы и гамильтоновы графы
- •3.6.1 Эйлеровы графы
- •3.6.2 Гамильтоновы графы
- •3.7 Планарные графы
- •3.7.1 Вложимость графов в трехмерное пространство
- •3.7.2 Планарные графы. Формула Эйлера
- •3.7.3 Следствия из формулы Эйлера
- •3.7.4 Гомеоморфные графы. Критерий планарности
- •3.8 Раскраски графов
- •3.8.1 Хроматическое число графа
- •3.8.2 Хроматическое число 2-дольного графа. Критерий 2-дольности
- •3.8.3 Некоторые оценки хроматического числа
- •3.8.4 Раскраски планарных графов
- •3.8.5 Реберная раскраска графа
- •3.9 Паросочетания
- •3.9.1 Паросочетания
- •3.9.2 Теорема Холла о свадьбах
- •3.10 Сети
- •3.10.1 Основные понятия
- •3.10.2 Потоки в сетях
- •3.10.3 Сетевое планирование
- •ПРОДОЛЖЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЯ
- •4 ЭЛЕМЕНТЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ
- •4.1 Математическое моделирование и вычислительный эксперимент
- •4.2 Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений. Плохая обусловленность и анализ ошибок. Влияние погрешностей округления
- •4.3 Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод простых итераций и метод Зейделя
- •4.3.1 Основные понятия
- •4.3.2 Метод простой итерации. Описание метода
- •4.3.3 Некоторые сведения о векторах и матрицах
- •4.3.4 Условия и скорость сходимости метода простой итерации
- •4.3.5 Приведение системы (1) к виду (2)
- •4.4 Интерполирование алгебраическими многочленами. Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •4.4.1 Постановка задачи
- •4.4.2 Интерполяционная формула Лагранжа. Представление и оценка остатка
- •4.4.3 Практическое применение интерполяции
- •4.5 Конечные разности. Интерполяционный многочлен Ньютона
- •4.5.1 Конечные разности
- •4.5.2 Интерполяционный многочлен Ньютона
- •4.5.3 Линейная интерполяция
- •4.6 Многочлены Чебышева на отрезке [-1, 1]. Интерполирование сплайнами
- •4.7 Численное интегрирование
- •4.7.1 Формулы прямоугольников
- •4.7.2. Формула трапеций
- •4.7.3. Формула Симпсона (метод параболических трапеций)
- •4.7.4 Квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности (квадратурные формулы Гаусса)
- •4.8 Численное решение нелинейных уравнений
- •4.8.1. Отделение корней
- •4.8.2 Метод деления отрезка пополам
- •4.8.3 Метод простой итерации (метод последовательных приближений)
- •4.8.4. Метод Ньютона (метод касательных)
- •4.8.5 Метод секущих
- •4.8.6 Метод хорд
- •4.9 Итерационные методы решения систем нелинейных уравнений
- •4.9.1 Метод простой итерации
- •4.9.2 Метод простой итерации для системы двух уравнений
- •4.9.3 Метод Ньютона
- •4.9.4 Метод Ньютона для системы двух уравнений
- •4.10 Численные методы решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения
- •4.10.1 Метод Эйлера
- •4.10.2 Методы Рунге–Кутта
- •4.11 Постановка задачи линейного программирования. Геометрическая интерпретация и графическое решение задачи линейного программирования
- •4.11.1 Предмет математического программирования
- •4.11.2 Основная задача линейного программирования
- •4.11.3 Геометрический смысл системы линейных неравенств
- •4.11.4 Графический метод решения задач линейного программирования
- •4.12 Симплексный метод решения задачи линейного программирования. Двойственность в линейном программировании
- •4.12.1 Свойства решений задачи линейного программирования (ЗЛП)
- •4.12.2 Общая идея симплексного метода
- •4.12.3 Построение начального опорного плана
- •4.12.4 Признак оптимальности опорного плана. Симплексные таблицы
- •4.12.5 Переход к нехудшему опорному плану. Симплексные преобразования
- •4.13 Разностные методы
- •4.13.1 Основные понятия
- •4.13.2 Сетки и сеточные функции
- •4.13. 3 Аппроксимация простейших дифференциальных операторов
- •4.13.4 Разностная задача
- •4.13.5 Устойчивость
- •4.13.6 Связь аппроксимации и устойчивости со сходимостью
- •4.13.7 Явные и неявные разностные схемы
- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •Лабораторная работа 5. Задача коммивояжера
- •ПРОДОЛЖЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЯ
- •2.1. Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений
- •2.2. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод простых итераций и метод Зейделя
- •2.2.1. Метод простых итераций
- •2.2.2 Метод Зейделя
- •2.3. Интерполирование алгебраическими многочленами. Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •2.3.1. Постановка задачи
- •2.3.2 Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •2.3.3 Практическое применение интерполирования. Оценка погрешности интерполяционного многочлена Лагранжа
- •2.4 Конечные разности. Интерполяционный многочлен Ньютона
- •2.4.1 Конечные разности
- •2.4.2 Первая интерполяционная формула Ньютона (для интерполирования вперед)
- •2.4.3 Вторая интерполяционная формула Ньютона (для интерполирования назад)
- •2.5 Интерполирование сплайнами
- •2.6 Численное интегрирование
- •2.6.1 Метод средних прямоугольников
- •2.6.2 Формула трапеций
- •2.6.3 Формула Симпсона (метод параболических трапеций)
- •2.7 Численное решение нелинейных уравнений. Отделение корней. Метод половинного деления. Метод простой итерации
- •2.7.1 Отделение корней
- •2.7.2 Метод половинного деления
- •2.7.3 Метод простой итерации (метод последовательных приближений)
- •2.7.4 Практический критерий сходимости (когда надо прекращать итерации)
- •2.8 Итерационные методы решения нелинейных уравнений. Метод Ньютона. Метод секущих. Метод хорд
- •2.8.1 Метод Ньютона (метод касательных)
- •2.8.2 Метод секущих
- •2.8.3 Метод хорд
- •2.9 Итерационные методы решения систем нелинейных уравнений
- •2.9.1 Метод простой итерации для системы двух уравнений
- •2.9.2 Метод Ньютона для системы двух уравнений
- •2.10.1 Метод Эйлера
- •2.10.2 Метод Рунге-Кутта
- •2.11 Графическая интерпретация и графическое решение задачи линейного программирования
- •2.11.1 Основная задача линейного программирования
- •2.11.2 Графическая интерпретация задачи линейного программирования
- •2.11.3 Графическое решение задачи линейного программирования
- •2.12 Симплексный метод решения задачи линейного программирования
- •2.13 Метод сеток для уравнения параболического типа
- •2.13.1 Общие сведения
- •2.13.2 Постановка задачи
- •2.13.3 Разностные схемы
- •2.13.4 Оценки погрешностей
- •2.14 Метод сеток для уравнения гиперболического типа
- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •1 Операции над множествами. Алгебра множеств. Декартово произведение множеств
- •2 Отображения множеств. Бинарные отношения на множествах
- •3 Комбинаторика и мощности множеств
- •6 Расстояния в графах
- •7 Деревья и остовы
- •8 Эйлеровы графы. Критерий эйлеровости. Планарные графы. Формула Эйлера
- •9 Раскраски графов. Хроматическое число графа
- •10 Сети и потоки в сетях
- •Тесты по разделу «ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ»
- •ЭЛЕМЕНТЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ
- •1 Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •2 Интерполирование алгебраическими многочленами
- •3 Численное интегрирование
- •4 Численные методы решения нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений
- •5 Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
- •6 Линейное программирование
- •7 Численное решение уравнений с частными производными
- •Тесты по разделу «ЭЛЕМЕНТЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ»
- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
- •СПИСОК ВОПРОСОВ К ЗАЧЕТУ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕ
- •СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
7.7 а)
Рисунок 54 |
Рисунок 55 |
б) v(G)= 2; C1 = {(v5,v2 )(, v2,v3 ),(v3,v6 ),(v6,v5 )}; C2 = {(v5,v2 ),(v2,v4 ),(v4,v5 )};
в) v *(G)= 6; C1 = {(1,4)}, C2 = {(4,5),(2,4)}, C3 = {(2,5),(2,4),(2,3)}, C4 = {(5,6),(2,3)},
C = {(3,6),(2,3)}; г) нет (содержит цикл C2 |
нечетной длины); д) нет, степенная последова- |
|
|||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тельность (1,3,2,3,3,2) содержит 4 нечетные вершины; не содержит эйлеровой цепи; |
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
−1 |
|
||
|
|
|
−1 1 |
1 |
0 |
−1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
7.8 а) |
б) |
|
0 |
−1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
; |
I(G)= |
|
||||||||||
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
−1 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
−1 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
0 |
0 |
−1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Рисунок 56;
в) да; г) да; (1,2)(2,3)(3,5)(5,4)(4,2)(2,6)(6,1); 7.9 (1,4)(4,5)(5,2)(2,3);
7.10 в дереве число вершин на 1 больше числа ребер; 7.12 да;
7.13 (1110100011111010000011101000), n=15, 2(n–1)=28;
7.14 |
|
Рисунок 57; |
7.15 (1,4)(4,5)(5,6)(6,7). |
8 Эйлеровы графы. Критерий эйлеровости. Планарные графы. Формула Эйлера
8.1 Задача о кёнигсбергских мостах.
На схеме (рисунок 58) изображено расположение семи мостов на реке Прегель в городе Кёнигсберге в 30-х годах XVIII века. Исторически первая задача теории графов была
28
сформулирована Эйлером: можно ли совершить прогулку, пройдя по каждому мосту ровно один раз?
Рисунок 58
8.2Имеется группа островов, соединенных мостами так, что от каждого острова можно добраться до любого другого. Турист обошел все острова, пройдя по каждому мосту ровно один раз. На острове Троекратном он побывал трижды. Сколько мостов ведет с Троекратного, если турист
а) не с него начал и не на нем закончил? б) с него начал, но не на нем закончил? в) с него начал и на нем закончил?
8.3Можно ли прогуляться по парку и его окрестностям (рисунок 59) так, чтобы при этом перелезть через каждый забор ровно один раз?
Рисунок 59 8.4 Можно ли нарисовать граф, изображенный: а) на рисунке 60; б) на рисунке 61, не
отрывая карандаш от бумаги и проводя каждое ребро один раз?
а) |
б) |
Рисунок 60 |
Рисунок 61 |
8.5а) Дан кусок проволоки длиной 120 см. Можно ли не ломая проволоки, изготовить каркас куба с ребрами 10 см?
б) Какое наименьшее число раз придется ломать проволоку, чтобы все же изготовить требуемый каркас?
8.6Можно ли нарисовать фигуру (рисунок 62), именуемую саблями (знаком) Магомета, не отрывая карандаша от бумаги и не повторяя линий?
Рисунок 62
29
8.7Является ли граф, имеющий 5 вершин, каждая из которых соединена ребром с любой другой, планарным?
8.8Является ли граф, имеющий 10 вершин, степень каждой из которых равна 5, пла-
нарным?
8.9В стране Озерная 7 озер, соединенных между собой 10 каналами, причем от любого озера можно доплыть до любого другого. Сколько в этой стране островов?
8.10Является ли двудольный граф K3,3 планарным?
8.11Можно ли начертить, не отрывая карандаша от бумаги (одним росчерком)
а) квадрат с диагоналями?
б) шестиугольник со всеми диагоналями?
8.12 Является ли эйлеровым граф (рисунок 63)? Если да, указать эйлеров цикл.
Рисунок 63 8.13 Можно ли составить решетку, изображенную на рисунке 64: а) из 5 ломаных длины 8?
б) из 8 ломаных длины 5?
Рисунок 64
8.14Можно ли построить три дома, вырыть три колодца и соединить тропинками каждый дом с каждым колодцем так, чтобы тропинки не пересекались?
8.15Докажите, что в плоском графе есть вершина, степень которой не превосходит 5.
8.16В квадрате отметили 20 точек и соединили их непересекающимися отрезками друг с другом и с вершинами квадрата так, что квадрат разбился на треугольники. Сколько получилось треугольников?
Указание: соотношение ребер Р и граней Г 3(Г–1)+4=2Р.
ОТВЕТЫ:
8.1 нельзя; 8.2 а) 6; б) 7; в) 6; 8.3 нельзя; 8.4 а) можно; б) нельзя; 8.5 а) нельзя; б) не менее трех; 8.6 можно; 8.7 нет; 8.8 нет; 8.9 4; 8.10 нет; 8.11 а) нельзя; б) нельзя; 8.12 да, (1,2,3,4,5,6,4,2,6,1); 8.13 а) нельзя; б) можно; 8.14 нельзя; 8.16 42.
30
9 Раскраски графов. Хроматическое число графа
Раскраска вершин графа. Правильно раскрасить вершины графов и указать хроматические числа графов χ(G):
9.1 |
а) |
б) |
|
Рисунок 65 |
Рисунок 66 |
в) Чему равно хроматическое число простой цепи Pn? |
||
9.2 |
а) |
б) |
|
Рисунок 67 |
Рисунок 68 |
в) Чему равно хроматическое число простого цикла Cn? |
||
9.3 |
а) |
б) |
|
Рисунок 69 |
Рисунок 70 |
в) Чему равно хроматическое число полного графа Kn?
9.4 а) |
б) |
Рисунок 71 |
Рисунок 72 |
в) Чему равно хроматическое число звездного графа K1,n?
9.5 а) |
б) |
Рисунок 73 |
Рисунок 74 |
в) Чему равно хроматическое число двудольного графа Kn,m?
9.6 а) |
б) |
Рисунок 75 |
Рисунок 76 |
в) Чему равно хроматическое число колеса Wn?
9.7 Какой граф: а) 1-хроматический? б) 2-хроматический (бихроматический)?
31
9.8 а) |
б) |
Рисунок 77 |
Рисунок 78 |
в) |
г) |
Рисунок 79 |
Рисунок 80 |
д) Влияют ли на правильную раскраску вершин и хроматическое число кратные ребра, петли, ориентация ребер, веса вершин и ребер?
9.9
Рисунок 81 9.10 Указать правильную раскраску вершин и найти хроматическое число графа Пе-
терсена:
Рисунок 82 9.11 Изобразить схематично географическую карту Республики Беларусь и гранича-
щих государств. Указать правильную раскраску географической карты. Какое минимальное число красок для этого необходимо?
Раскраска ребер графа. Указать правильную раскраску ребер графов и их ребернохроматические числа χe (G):
9.12Из задачи 9.1 а), б) , в).
9.13Из задачи 9.2 а), б) , в).
9.14Из задачи 9.3 а), б).
9.15Из задачи 9.4 а), б) , в).
9.16Из задачи 9.5 а), б).
32