Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1314 вуза, 5303 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Белорусский национальный технический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:
Вычислительная математика.pdf
Скачиваний:
3
Добавлен:
24.11.2025
Размер:
3.89 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

a = 1,5

b

t

u1j

u2j

u3j

u4j

u5j

u6j

u7j

u8j

u9j

1,1

0,020

0,32251

0,62903

0,90073

1,11405

1,24069

1,24945

1,12305

0,84874

0,46058

 

0,015

0,32965

0,64502

0,92841

1,15644

1,29970

1,32495

1,19921

0,92116

0,49827

 

0,010

0,33579

0,65930

0,95424

1,19751

1,35863

1,40189

1,29126

0,99653

0,55107

 

0,005

0,34077

0,67159

0,97784

1,23689

1,41718

1,48037

1,38659

1,10214

0,60648

 

0,000

0,34439

0,68153

0,99879

1,27415

1,47500

1,56022

1,48575

1,21296

0,71853

1,2

0,020

0,34778

0,67711

0,96691

1,19186

1,32252

1,32729

1,18929

0,89687

0,48589

 

0,015

0,35623

0,69557

0,99799

1,23825

1,38574

1,40680

1,26885

0,97178

0,52488

 

0,010

0,36373

0,71245

1,02740

1,28353

1,44909

1,48795

1,36450

1,04976

0,57907

 

0,005

0,37014

0,72747

1,05476

1,32733

1,51229

1,57086

1,46360

1,15814

0,63592

 

0,000

0,37527

0,74028

1,07966

1,36924

1,57500

1,65535

1,56671

1,27184

0,74957

1,3

0,020

0,37306

0,72519

1,03309

1,26967

1,40435

1,40513

1,25553

0,94499

0,51120

 

0,015

0,38280

0,74612

1,06757

1,32006

1,47177

1,48865

1,33849

1,02241

0,55149

 

0,010

0,39167

0,76560

1,10056

1,36954

1,53955

1,57400

1,43774

1,10298

0,60707

 

0,005

0,39952

0,78335

1,13168

1,41777

1,60741

1,66134

1,54060

1,21414

0,65536

 

0,000

0,40616

0,79904

1,16054

1,46432

1,67500

1,75049

1,64768

1,33072

0,78061

1,4

0,020

0,39833

0,77326

1,09927

1,34748

1,48618

1,48297

1,32176

0,99312

0,53651

 

0,015

0,40937

0,79666

1,13715

1,40187

1,55781

1,57050

1,40814

1,07303

0,57810

 

0,010

0,41961

0,81875

1,17372

1,45556

1,63001

1,66006

1,51099

1,15621

0,63507

 

0,005

0,42890

0,83923

1,20860

1,50820

1,70252

1,75182

1,61761

1,27015

0,69480

 

0,000

0,43704

0,85779

1,24141

1,55941

1,77500

1,84562

1,72865

1,38960

0,81164

1,5

0,020

0,42361

0,82134

1,16544

1,42529

1,56801

1,56081

1,38800

1,04125

0,56183

 

0,015

0,43595

0,84721

1,20673

1,48367

1,64385

1,65235

1,47778

1,12365

0,60472

 

0,010

0,44755

0,87190

1,24687

1,54157

1,72047

1,74612

1,58423

1,20943

0,66307

 

0,005

0,45827

0,89511

1,28552

1,59864

1,79763

1,84231

1,69462

1,32615

0,72424

 

0,000

0,46793

0,91654

1,32228

1,65450

1,87500

1,94076

1,80962

1,44849

0,84268

2.14 Метод сеток для уравнения гиперболического типа

Рассмотрим смешанную задачу для уравнения колебания струны, заключающуюся в отыскании функции, удовлетворяющей уравнению

∂2u

= a

2

∂2u

,

∂t2

 

∂x2

 

 

 

а также начальным условиям

u(x,0) = f (x) , ut (x,0) = Φ(x) ( 0 ≤ x ≤ s )

и краевым условиям

u(0,t) = ϕ(t) , u(s,t) = ψ(t) .

Так как введение переменной τ = at приводит уравнение (1) к виду

∂2u = ∂2u , ∂τ2 ∂x2

(1)

(2)

(3)

(4)

то в дальнейшем может принять a =1.

Построив в полуполосе t ≥ 0 , 0 ≤ x ≤ s два семейства параллельных прямых x = ih (i = 0,1,2,...,n) , t = jτ ( j = 0,1,2,... ), заменяем производные в уравнении (4) разностными от-

 

u j+1

−2u j +u j−1

 

u j

−2u j +u j

ношениями

i

i

i

=

i+1

i

i−1

.

 

τ2

 

 

h2

 

 

 

 

 

 

 

 

100

Доказано, что при α ≤1 это разностное уравнение устойчиво. В частности, при уравнение (6) имеет наиболее простой вид:
uij+1 = uij+1 + uij−1 −uij−1 .

Рис. 8 Обозначив α = τ/ h , получим разностное уравнение

uij+1 = 2uij −uij−1 +α2 (uij+1 −2uij +uij−1)

(5)

α =1

(6)

Оценка погрешности приближенного решения, полученного уравнения (6) в полосе 0 ≤ x ≤ s , 0 < t ≤T , имеет вид

 

~

h2

[(M 4h + 2M3 )T +T

2

M 4 ] ,

 

 

 

 

 

(7)

 

| u −u |≤

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

∂

k

u

 

∂

k

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

– точное решение,

 

 

 

,

 

 

 

, (k = 3,4 ). Для получения уравнения (6) бы-

где u

Mk = max

 

∂tk

∂xk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ла использована схема узлов, отмеченных на рисунке. Эта схема является явной, так как уравнение (6)позволяет найти значение функции u(x,t) на слое t j+1 , если известны значения

на двух предыдущих слоях. Для того чтобы найти приближенное решение задачи (1) – (3), необходимо знать значения решения на двух начальных слоях. Их можно найти из начальных условий одним из следующих способов.

Первый способ. Заменяем в начальном условии (2) производную ut (x,0) разностным отношением

ui1 −τui0 = Φ(xi ) = Φi ;

для определения значений u(x,t) на слоях j = 0, j =1, получаем

ui0 = fi , ui1 = fi + τΦi .

101

Оценка погрешности значений ui1 в этом случае имеет вид

~1

1

 

αh

M 2 ,

 

 

 

 

| ui

−ui |≤

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

u

 

2

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂

,

∂

 

 

 

 

 

где M2 = max

∂t2

∂x2

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u1

−u−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Второй способ. Заменяя производную ut (x,0) разностным отношением

i

i

, где

 

2τ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ui−1 – значение функции u(x,t) на слое j = −1. Тогда из начальных условий (2) будем иметь

ui0 = fi , ui1 −ui1 = Φi

(7)

2τ

 

Напишем разностное уравнение (7) для слоя

j = 0:

ui1 = ui0+1 +ui0−1 −ui−1 .

(8)

Исключив из уравнений (11), (12) значения ui−1, получим ui0 = fi , ui1 = 12 ( fi+1 + fi−1) + τΦi .

Оценка погрешности значений ui−1 имеет вид

 

~1

1

 

 

h4

M 4 +

h3

 

 

| ui −ui |≤

12

6

M3 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

u

 

 

k

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂

 

,

 

∂

 

 

(k = 3,4) .

где Mk = max

 

∂tk

 

∂xk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Этот способ вычисления начальных значений рассмотрен в примере.

 

Третий способ. Если функция f (x) имеет конечную вторую производную, то значе-

ния u1

можно определить с помощью формулы Тейлора

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ui1 ≈ ui0 + τ

 

∂u

0

 

τ2 ∂u0

 

 

 

 

 

i

+

 

 

 

 

i .

(9)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂t

 

2 ∂t2

 

 

Используя уравнение (4) и начальные условия (2), можем записать

 

0

 

 

∂ui0

 

 

 

 

 

∂2ui0

∂ui0

 

ui =

fi ,

 

∂t = Φi ,

 

∂t2 =

∂x2 = fi′′.

Тогда по формуле (15) будем иметь ui1 ≈ fi + τΦi + τ22 fi′′.

Погрешность значений ui1 , полученных по этой формуле, имеет порядок o(τ3 ) .

102

Замечание. Аналогичным образом применяется метод сеток при решении смешанной

краевой задачи для неоднородного уравнения

∂2u

−

∂2u

= F(x,t) .

∂t

2

∂x2

 

 

 

В этом случае разностное уравнение имеет вид

uij+1 = 2uij −uij−1 +α2 (uij+1 −2uij +uij−1) +α2h2 Fij .

Пример. Методом сеток найти решение задачи

 

 

 

 

∂

2

u

= ∂

2

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂t2

 

∂x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u(x,0) = 0,2x(1− x)sin πx, ut (x,0) = 0,

 

u(0,t) = u(1,t) = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Возьмем квадратную сетку с шагом h = l = 0,05 . Значения u(x,t) на двух

начальных слоях найдем вторым способом. Учитывая, что Φ(x) = 0 и

f (x) = 0,2x(1−sin πx) ,

будем иметь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

=

fi ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ui

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u1= 1

( f

 

+ f

 

 

),

 

 

(10)

i

2

 

i+1

 

 

 

i

−1

 

 

 

 

(i

= 0,1,2,...,10).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Порядок заполнения таблицы

1)Вычисляем значения ui0 = f (xi ) при xi = ih и записываем в первую строку (она соответствует значению t0 = 0 ).

2)По формуле (18) находим ui1 , используя значения ui0 из первой строки. Результаты записываем во вторую строку таблицы.

3) Вычисляем значения u j

на последующих слоях по формуле (7). При

j =1 последо-

i

 

 

вательно получаем

 

 

u12 = u12 +u10 −u10 = 0,0065 + 0 −0,015 = 0,0050,

u22 = u31 +u11 −u20 = 0,0122 + 0,0028 −0,0056 = 0,0094,

..........................................................................................

u102 = u111 +u91 −u100 = 0,0478 + 0,0478 −0,0500 = 0,0456.

Вычисления при j = 2,3,...10 проводятся аналогично. В последней строке таблицы приведены значения точного решения при t = 0,5 .

103

t j

 

 

 

 

 

xi

 

 

 

 

 

0

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

 

0

0

0,0015

0,0056

0,0116

0,0188

0,0265

0,0340

0,0405

0,0457

0,0489

0,0500

0,05

0

0,0028

0,0065

0,0122

0,0190

0,0264

0,0335

0,0398

0,0447

0,0478

0,0489

0,10

0

0,0050

0,0094

0,0139

0,0198

0,0260

0,0322

0,0377

0,0419

0,0447

0,0456

0,15

0

0,0066

0,0124

0,0170

0,0209

0,0256

0,0302

0,0343

0,0377

0,0397

0,0405

0,20

0

0,0074

0,0142

0,0194

0,0228

0,0251

0,0277

0,0302

0,0321

0,0335

0,0338

0,25

0

0,0076

0,0144

0,0200

0,0236

0,0249

0,0251

0,0255

0,0260

0,0262

0,0265

0,30

0

0,0070

0,0134

0,0186

0,0221

0,0236

0,0227

0,0209

0,0196

0,0190

0,0186

0,35

0

0,0058

0,0112

0,0155

0,0186

0,0199

0,0194

0,0168

0,0139

0,0120

0,0115

0,40

0

0,0042

0,0079

0,0112

0,0133

0,0144

0,0140

0,0124

0,0092

0,0064

0,0054

0,45

0

0,0021

0,0042

0,0057

0,0070

0,0074

0,0074

0,0064

0,0042

0,0026

0,0013

0,50

0

–0,0001

–0,0001

0,0000

–0,0002

0,0000

–0,0002

–0,0001

–0,0002

–0,0002

–0,002

~

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

u (xi ,0,5)

 

 

 

 

 

 

 

 

Задания

 

 

 

 

 

1. – 5.

Найти приближенное решение уравнения

∂2u

=

∂2u

, удовлетворяющее усло-

∂t

2

∂x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

виям u(x,0) = (ax2 +1,1)sin πx , ut (x,0) = 0 ,

u(0,t) = 0 , u(1,t) = 0

для 0 ≤ t ≤ 0,5 , 0 ≤ x ≤1, взяв

по аргументу x шаг h = 0,1,

a =1,1+0,1 n ,

n = 0,1,2,3,4 .

 

 

 

 

 

Варианты заданий:

 

 

 

 

 

 

 

 

1. a =1,1; 2. a =1,2 ; 3. a =1,3 ; 4. a =1,4 ; 5. a =1,5 .

 

 

 

 

 

6. Методом сеток найти решение задачи

 

 

 

 

 

 

∂

2

u

2

u

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ∂

 

 

 

 

 

 

 

 

∂t2

∂x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u(x,0) = x(π− x), ut (x,0) = 0,

 

 

 

 

 

 

u(0,t) = u(π,t) = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выбрать шаг h = τ =

π

. Значения

u(x,t) на первых двух слоях найти третьим спосо-

18

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

бом, используя формулу Тейлора. В силу симметрии задачи таблицу заполнить только для

0 ≤ x ≤ π2 .

104

Ответы

1 – 5

A

t

u j

u j

u j

u j

u j

u j

u j

u j

u j

 

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1,1

0,5

0,10495

0,17858

0,19471

0,13668

0,00050

–0,13813

–0,19538

–0,17880

–0,10498

 

0,4

0,20282

0,37577

0,49207

0,53091

0,47983

0,33643

0,17490

0,07496

0,02370

 

0,3

0,27083

0,51631

0,71197

0,83522

0,86684

0,79287

0,60677

0,37740

0,17993

 

0,2

0,31349

0,60703

0,85946

1,04790

1,14825

1,13718

0,99537

0,71175

0,35370

 

0,1

0,33620

0,65664

0,94296

1,17250

1,31824

1,35075

1,24216

0,97167

0,53181

 

0,0

0,34315

0,67213

0,96967

1,21330

1,37500

1,42322

1,32705

1,06222

0,61797

1,2

0,5

0,11450

0,19484

0,21245

0,14916

0,00060

–0,15049

–0,21298

–0,19493

–0,11446

 

0,4

0,21174

0,39181

0,51186

0,54985

0,49262

0,33768

0,16598

0,06374

0,01638

 

0,3

0,27731

0,52876

0,72921

0,85532

0,88693

0,80909

0,61439

0,37729

0,17820

 

0,2

0,31702

0,61471

0,87222

1,06630

1,17180

1,16365

1,02040

0,72885

0,36091

 

0,1

0,33740

0,66048

0,95179

1,18869

1,34301

1,38310

1,27811

1,00402

0,55065

 

0,0

0,34346

0,67448

0,97695

1,22851

1,40000

1,45747

1,36673

1,09991

0,64311

1,3

0,5

0,12406

0,21111

0,23019

0,16163

0,00069

–0,16285

–0,23057

–0,21106

–0,12394

 

0,4

0,22065

0,40786

0,53166

0,56879

0,50540

0,33892

0,15707

0,05253

0,00906

 

0,3

0,28380

0,54120

0,74646

0,87542

0,90702

0,82531

0,62202

0,37718

0,17646

 

0,2

0,32055

0,62240

0,88497

1,08469

1,19534

1,19012

1,04543

0,74595

0,36813

 

0,1

0,33860

0,66432

0,96063

1,20488

1,36778

1,41546

1,31405

1,03638

0,56949

 

0,0

0,34377

0,67683

0,98423

1,24372

1,42500

1,49172

1,40640

1,13759

0,66825

1,4

0,5

0,13361

0,22737

0,24793

0,17411

0,00079

–0,17521

–0,24816

–0,22719

–0,13342

 

0,4

0,22957

0,42390

0,55145

0,58773

0,51818

0,34017

0,14815

0,04131

0,00173

 

0,3

0,29029

0,55364

0,76370

0,89553

0,92712

0,84154

0,62964

0,37707

0,17473

 

0,2

0,32408

0,63009

0,89772

1,10308

1,21888

1,21659

1,07046

0,76306

0,37534

 

0,1

0,33980

0,66815

0,96947

1,22108

1,39255

1,44781

1,35000

1,06873

0,58833

 

0,0

0,34408

0,67918

0,99151

1,25894

1,45000

1,52597

1,44607

1,17528

0,69339

1,5

0,5

0,14317

0,24364

0,26568

0,18658

0,00089

–0,18756

–0,26575

–0,24332

–0,14289

 

0,4

0,23848

0,43994

0,57124

0,60668

0,53097

0,34142

0,13923

0,03010

–0,00559

 

0,3

0,29677

0,56609

0,78094

0,91563

0,94721

0,85776

0,63727

0,37696

0,17299

 

0,2

0,32761

0,63777

0,91047

1,12147

1,24243

1,24306

1,09549

0,78016

0,38256

 

0,1

0,34100

0,67199

0,97830

1,23727

1,41732

1,48016

1,38595

1,10108

0,60717

 

0,0

0,34439

0,68153

0,99879

1,27415

1,47500

1,56022

1,48575

1,21296

0,71853

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

tj

 

 

 

 

 

xi

 

 

 

 

0

π18

π9

π6

2π9

5π18

π3

7π18

4π9

π2

 

 

0

0

0

0,518

0,975

1,371

1,706

1,980

2,193

2,346

2,437

2,467

1

h

0

0,487

0,944

1,340

1,675

1,950

2,163

2,315

2,406

2,437

2

2h

0

0,426

0,853

1,249

1,584

1,858

2,071

2,224

2,315

2,346

3

3h

0

0,366

0,731

1,097

1,432

1,706

1,919

2,071

2,163

2,193

4

4h

0

0,305

0,609

0,914

1,218

1,493

1,706

1,858

1,950

1,980

5

5h

0

0,244

0,487

0,731

0,975

1,218

1,432

1,584

1,675

1,706

105

БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет информационных технологий и робототехники

Кафедра высшей математики № 1

РАЗДЕЛ КОНТРОЛЯ ЗНАНИЙ ЭУМК по учебной дисциплине«ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА»

Грекова А. В., Каскевич В. И., Мартыненко И. М., Метельский А. В., Федосик Е. А., Чепелев Н. И.

Минск 2016

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности