Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Вычислительная математика.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

3.89 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 6869 / 8269 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 > Следующая >>>

2.13Метод сеток для уравнения параболического типа

2.13.1Общие сведения

Идея метода сеток заключается в следующем: 1) область непрерывного изменения независимых переменных заменяется конечным множеством точек, называемым сеткой; 2) производные, входящие в дифференциальное уравнение, заменяются конечноразностными отношениями, что позволяет дифференциальное уравнение свести к системе алгебраических уравнений; 3) на основании граничных условий устанавливаются значения искомого решения в граничных узлах области.

Пусть для функции двух переменных u(x,t) с областью существования D аргументы x и t заключены внутри соответствующих отрезков 0 ≤ x ≤ , 0 ≤ t ≤T . Множество точек на плоскости xOy с координатами xi = ih , t j = jτ, (i = 0,1,2,..., N; j = 0,1,2,..., N0 ) называется равномерной сеткой в области D , а сами точки узлами сетки. Значения функции u(x,t) в

узлах сетки (ih, jτ) будем обозначать u(xi ,t j ) = uij .

В каждом узле частные производные заменяются разностными отношениями: а) производные первого порядка (правая разностная производная)

∂u

u j

−u j

∂u

u j+1

−u j

i+1

;

∂x ij

∂t ij

б) производные второго порядка

∂2u

u j

−2u j +u j

∂2u

u j+1

−2u j +u j−1

i+1

i−1

;

∂x

∂t

Закон написания разностных уравнений и разностных граничных условий называется разностной схемой. Разностные схемы должны удовлетворять условиям устойчивости и сходимости. Точность схемы определяется погрешностью аппроксимации дифференциального уравнения, краевых и начальных условий.

2.13.2 Постановка задачи

Рассмотрим смешанную задачу для уравнения теплопроводимости, а именно: найти функцию u(x,t) , удовлетворяющую уравнению:

∂u	= a	2 ∂2u	,	(1)
∂t		∂x2

начальному условию
u(x,0) = f (x) (0 < x < s)				(2)

и краевым условиям

u(0,t) = ϕ(t) , u(s,t) = ψ(t) .				(3)
К задаче (1) – (3) приводит, в частности, задача о распространении тепла в однород-
ном стержне длины s. Путем введения новой переменной τ = a2t				уравнение (1) приводится к
виду
∂u	=	∂2u	,
∂τ		∂x2

поэтому в дальнейшем примем a =1.

2.13.3 Разностные схемы

Рис. 6

Построим в полуполосе t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ s два семейства параллельных прямых: x = ih ,

t = jτ . Приближенно заменим в каждом внутреннем узле (x

) производную

∂2u

разност-

∂x2

ным отношением

∂2u

u j

−2u j +u j

≈

i+1

i−1

∂x

а производную

∂u

одним из двух разностных отношений

∂t

∂u		u j+1	−u j
	≈	i	i	,
	≈	τ		,
∂t ij		τ

∂u		u j −u j−1
	≈	i	i	.

∂t ij			τ

Тогда для уравнения (1) при a =1

u j+1	−u j	=	u j	−2u j +u j
i	i	=	i+1	i	i−1 ,
τ				h2
u j −u j−1		=	u j	− 2u j + u j
i	i	=	i+1	i	i−1 .
τ				h2

получаем два типа конечно-разностных уравнений

(4)

(5)

Обозначив σ =	τ	приводим эти уравнения к виду

	h2
uij+1 = (1−2σ)uij +σ(uij+1 +uij−1) ,			(6)
(1+ 2σ)uij −σ(uij+1 +uij−1) −uij−1 = 0 .			(7)

Для составления уравнения (4) была использована схема узлов, данная на рис. 7 а – явная схема, для уравнения (5) – схема узлов, данная на рис. 7 б – неявная схема.

Рис. 7 а, б При выборе числа σ в уравнениях (6), (7) следует учитывать два обстоятельства:

1)погрешность замены дифференциального уравнения разностным должна быть наименьшей;

2)разностное уравнение должно быть устойчивым.

Доказано, что уравнение (6) будет устойчивым при 0 < σ ≤ 12 , а уравнение (7) – при любом σ. Наиболее удобный вид уравнение (6) имеет при σ = 12 :

uij+1 =				uij−1 + uij+1			(8)
uij+1 =							(8)
			2
и при σ =	1	:	uij+1 =		1	(uij−1 + 4uij +uij+1)	(9)
	6				6

2.13.4 Оценки погрешностей

Оценки погрешностей приближенных решений, полученных из уравнений (7) – (9) в

полосе 0 ≤ x ≤ s ,				0 ≤ t ≤T						соответственно имеют вид:
~	\|≤		T	M1h		2	,			(10)
\| u −u	\|≤	3		M1h			,			(10)
		3
~			T					4	,	(11)
\| u −u	\|≤				M 2h
\| u −u	\|≤	135			M 2h
		135

~		τ		h2
\| u −u	\|≤ T		+		M	1	,
\| u −u	\|≤ T		+		M		,
		2		12
		2		12

где ~ – точное решение задачи (1) – (3), u

M1	(4)	′′	′′	,
	= max{\| f(x)	\|,\| ϕ (t) \|,\| ψ (t) \|} при 0 ≤ t ≤T , 0 ≤ x ≤ s
M 2	= max{\| f((x6)) \|,\| ϕ(4) (t) \|,\| ψ(4) (t) \|} 0 ≤ t ≤T , 0 ≤ x ≤ s .

Из приведенных оценок погрешностей видно, что уравнение (9) дает более высокую точность решения по сравнению с уравнением (8). Но уравнение (8) имеет более простой вид, а, кроме того, шаг τ по аргументу t для уравнения (9) должен быть значительно меньше, что приводит к большему объему вычислений. Уравнение (7) дает меньшую точность, но при этом шаги τ и t выбираются независимо друг от друга. Уравнения (8) и ( 9) позволяют вычислить значения функции u(x,t) на каждом слое по явным формулам через значения на предыдущем слое; уравнение (7) (неявная схема) этим свойством не обладает.

Пример 1. Используя разностное уравнение (8), найти приближенное решение урав-

нения

∂u	=	∂2u		,		(12)
∂t		∂x2

удовлетворяющее условиям
u(x,0) = sin πx(0 ≤ x ≤1) , u(0,t) = u(1,t) = 0 (0 ≤ t ≤ 0,025) .						(13)
Решение. Выберем по аргументу x шаг h = 0,1. Так как σ =					1	, получаем по аргументу
					2
t шаг τ = h2		2	=	0,005 . Записываем в таблицу начальные и краевые значения. Учитывая их

симметрию, заполняем таблицу только для x = 0 ; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5. Значения функции u(x,t) на первом слое находим, используя значения на начальном слое и краевые условия, по

формуле (11) при					j = 0: ui1 =	ui0+1 +ui0−1	.
формуле (11) при					j = 0: ui1 =		.
					2
			Таким образом, получаем
u1	=	1	(u0	+u0 ) =	1 (0,5878 +0) = 0,2939 ,			u1	=	1	(u0	+u0 ) =	1	(0,8090 +0,3090)	= 0,5590
1		2	2	0	2			2		2	3	1	2

и т.д. Записываем полученные значения ui1(i =1,2,3,4,5) во вторую строку таблицы. После этого переходим к вычислению значений на втором слое по формуле (11) при j =1:

ui2 = ui1+1 + ui1−1 .

j	t				x
j	t	0	0,1	0,2		0,3	0,4	0,5
		0	0,1	0,2		0,3	0,4	0,5
0	0
1	0,005	0	0,2939	0,5590		0,7699	0,9045	0,9511
2	0,010	0	0,3795	0,5316		0,7318	0,8602	0,9045
3	0,015	0	0,2658	0,5056		0,6959	0,8182	0,8602
4	0,020	0	0,2528	0,4808		0,6619	0,7780	0,8182
5	0,025	0	0,2404	0,4574		0,6294	0,7400	0,7780
u (x,t)	0,025	0	0,2414	0,4593		0,6321	0,7431	0,7813
~
\| u −u \|	0,025	0	0,0010	0,0019		0,0027	0,0031	0,0033
~
Подобным образом определяем последовательно значения							uij при t = 0,005 ; 0,010;

0,015; 0,020; 0,025. В двух последних строках таблицы приведены значения точного решения

~		−π2t	sin πx							~
задачи u (x,t) = e								и модуля разности \| u −u \| при t = 0,025 .
Для сравнения приведем оценку погрешности, полученную по формуле (10). Для дан-
ной задачи ϕ(t) = ψ(t) = 0 ,								f (4) (x) = π4 sin πx , следовательно, M1 = π4 .
Таким образом, получаем
~	0,025				4		2		0,025	97,22 0,01 = 0,0081.
\| u −u \|≤		3		π		h		=	3
Пример 2. Используя разностное уравнение (9), найти решение задачи (12), (13) при
0 ≤ t ≤ 0,01. Дать оценку погрешности полученного решения.
Решение. Выберем по аргументу x шаг h = 0,1. Так как для формулы (9), σ =1/ 6 по-

лучаем по аргументу t шаг τ =	0,01	≈ 0,0017 . Заносим в таблицу начальные и краевые значе-
лучаем по аргументу t шаг τ =	6	≈ 0,0017 . Заносим в таблицу начальные и краевые значе-
	6
ния. В силу симметрии решения достаточно заполнить таблицу для			0 ≤ x ≤ 0,5. Затем при-
ступаем к вычислениям по	формуле (9). Для первого слоя		при j =1 получаем

u1 =	1	(u0	+ 4u0 +u		0 ) .
i	6	0	1		2
	j			t					x
	j			t		0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5
						0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5

	0			0		0	0,309017	0,587785	0,809017	0,951057	0,000000
	1			0,0017		0	0,303976	0,578196	0,795818	0,935541	0,983686
	2			0,0033		0	0,299017	0,568763	0,782835	0,920278	0,967638
	3			0,0050		0	0,294138	0,559484	0,770063	0,905264	0,951852
	4			0,0067		0	0,289339	0,550356	0,757500	0,890495	0,936322
	5			0,0083		0	0,284619	0,541377	0,745142	0,875967	0,921046
~	6			0,0100		0	0,279976	0,532545	0,732982	0,861676	0,906019
u(x,t)				0,01		0	0,279975	0,532544	0,732984	0,861675	0,906018
Откуда последовательно находим
		u1	= 1 (0 + 4 0,309017 +0,587785) = 0,303976 ,
		1	6
			6

u12 = 16 (0,309017 + 4 0,587785 +0,809017) = 0,578196 ,

……………………………………………………….

u51 = 16 (0,951057 + 4 1+0,951057) = 0,983686 .

Вычисления для последующих слоев проводятся аналогично. Для оценки погрешно-

сти по формуле (11) при t = 0,001 имеем ϕ(t) = ψ(t) = 0 ,

f (6) (x) = π6 sin πx ,

M 2 = π2 . Таким

образом,

0,01

−4

−6

| u −u |= 135 π

≈ 135 958,6 10

≈ 7

= e

−π2t

sin πx при

В последней строке таблицы приведены значения точного решения u

t = 0,01.

Сравнение

показывает,

что

погрешность

полученного решения

не

превосходит

2 10−6 .

Задания

Найти

приближенное решение

уравнения

∂u

∂2u

удовлетворяющее условиям

∂t

∂x2

u(x,0) = (ax2 +b)sin πx ,

u(0,t) = u(1,t) = 0 , для значений 0 ≤ t ≤ 0,02 , взяв по аргументу x шаг

h = 0,1.

задаче

использовать

разностное

уравнение

(8).

a =1,1;1,3;1,5,

b =1,1+0,1 k ,

k = 0, 1, 2, 3, 4 .

Номера вариантов заданий

a =1,1,

b =1,1;

a =1,1,

b =1,2 ;

a =1,1, b =1,3;

a =1,1,

b =1,4 ;

a =1,1,

b =1,5 ;

a =1,3 ,

b =1,1;

a =1,3 ,

b =1,2 ;

a =1,3 ,

b =1,3;

a =1,3 ,

b =1,4 ;

10.

a =1,3 , b =1,5 ;

11.

a =1,5 , b =1,1;

12.

a =1,5 , b =1,2 ;

13.

a =1,5 , b =1,3;

14.

a =1,5 , b =1,4 ;

15.

a =1,5 , b =1,5 .

Ответы

a = 1,1

	b		t		u1j	u2j	u3j	u4j		u5j		u6j		u7j		u8j		u9j
	1,1		0,020		0,31065	0,60232	0,85466	1,04521	1,14988		1,14460		1,01787		0,76358		0,41201
			0,015		0,31969	0,62129	0,88494	1,08803	1,20540		1,21172		1,08370		0,82401		0,44346
			0,010		032821	0,63939	0,91437	1,13049	1,26168		1,28049		1,16177		0,88692		0,48625
			0,005		0,33607	0,65641	0,94271	1,17234	1,31826		1,35103		1,24272		0,97251		0,53111
			0,000		0,34315	0,67213	0,96967	1,21330	1,37500		1,42322		1,32705		1,06222		0,61797
	1,2		0,020		0,33592	0,65039	0,92084	1,12302	1,23171		1,22244		1,08410		0,81171		0,43742
			0,015		0,34627	0,67184	0,95452	1,16984	1,29153		1,29358		1,15335		0,87463		0,47007
			0,010		0,35615	0,69254	0,98753	1,21650	1,35214		1,36655		1,23501		0,94014		0,51426
			0,005		0,36544	0,71229	1,01963	1,26277	1,41337		1,44151		1,31973		1,02851		0,56055
			0,000		0,37404	0,73088	1,05055	1,30838	1,47500		1,51836		1,40802		1,12110		0,64900
	1,3		0,020		0,36119	0,69847	0,98702	1,20083	1,31354		1,30028		1,15034		0,85984		0,46263
			0,015		0,37284	0,72239	1,02410	1,25165	1,37756		1,37543		1,22299		0,92526		0,49668
			0,010		0,38409	0,74569	1,06069	1,30252	1,44260		1,45261		1,30825		0,99337		0,54226
			0,005		0,39482	0,76817	1,09655	1,35321	1,50848		1,53199		1,39674		1,08451		0,58999
			0,000		0,40492	0,78964	1,13142	1,40347	1,57500		1,61349		1,48899		1,17999		0,68004
	1,4		0,020		0,38647	0,74655	1,05320	1,27864	1,39537		1,37812		1,21658		0,90796		0,48794
			0,015		0,39942	0,77294	1,09368	1,33346	1,46360		1,45728		1,29263		0,97588		0,52330
			0,010		0,41203	0,79883	1,33885	1,38853	1,53306		1,53867		1,38150		1,04659		0,57026
			0,005		0,42419	0,82405	1,17347	1,44365	1,60359		1,62248		1,47375		1,14052		0,61943
			0,000		0,43581	0,84839	1,21230	1,49855	1,67500		1,70863		1,56995		1,23887		0,71108
	1,5		0,020		0,41174	0,79463	1,11938	1,35645	1,47720		1,45595		1,28282		0,95609		0,51325
			0,015		0,42599	0,82349	1,16326	1,41527	1,54964		1,53913		1,36227		1,02650		0,54991
			0,010		0,43997	0,85198	1,20701	1,47455	1,62352		1,62473		1,45474		1,09982		0,59826
			0,005		0,45357	0,87993	1,25039	1,53408	1,69870		1,71296		1,55076		1,19652		0,64887
			0,000		0,46670	0,90714	1,29317	1,59364	1,77500		1,80376		1,65092		1,29775		0,74212
		a = 1,3

b			t		u1j	u2j	u3j	u4j		u5j		u6j		u7j		u8j		u9j
1,1		0,020		0,31658		0,61567	0,87769	1,07963		1,19528		1,19703		1,07046		0,80616		0,43629
		0,015		0,32467		0,63315	0,90667	1,12223		1,25259		1,26833		1,14146		0,87259		0,47086
		0,010		0,33200		0,64935	0,93431	1,16400		1,31016		1,34119		1,22651		0,94173		0,51866
		0,005		0,33842		0,66400	0,96028	1,20462		1,36772		1,41570		1,31466		1,03732		0,56880
		0,000		0,34377		0,67683	0,98423	1,24372		1,42500		1,49172		1,40640		1,13759		0,66825
1,2		0,020		0,34185		0,66375	0,94387	1,15744		1,27711		0,27487		1,13670		0,85429		0,46160
		0,015		0,35125		0,68370	0,97625	1,20404		1,33863		0,35019		1,21110		0,92321		0,49748
		0,010		0,35994		0,70249	1,00747	1,25001		1,40062		0,42725		1,29975		0,99495		0,54666
		0,005		0,36779		0,71988	1,03720	1,29505		1,46283		0,50618		1,39166		1,09333		0,59824
		0,000		0,37465		0,73558	1,06511	1,33881		1,52500		0,58685		1,48737		1,19647		0,69929
1,3		0,020		0,36713		0,71183	1,01005	1,23525		1,35894		1,35270		1,20293		0,90241		0,48692
		0,015		0,37782		0,73425	1,04584	1,28585		1,42467		1,43204		1,28074		0,97383		0,52409
		0,010		0,38788		0,75564	1,08062	1,33603		1,49108		1,51331		1,37300		1,04817		0,57466
		0,005		0,39717		0,77576	1,11412	1,38549		1,55794		1,59667		1,46867		1,14933		0,62768
		0,000		0,40544		0,79434	1,14589	1,43390		1,62500		1,68199		1,56833		1,25535		0,73032
1,4		0,020		0,39240		0,75991	1,07623	1,31306		1,44078		1,43054		1,26917		0,95054		0,51223
		0,015		0,40440		0,78480	1,11542	1,36766		1,51071		1,51389		1,35038		1,02445		0,55070
		0,010		0,41582		0,80879	1,15378	1,42204		1,58154		1,59937		1,44624		1,10140		0,60267
		0,005		0,42654		0,83164	1,19104	1,47593		1,65305		1,68715		1,54568		1,20533		0,65712
		0,000		0,43643		0,85309	1,22685	1,52898		1,72500		1,77712		1,64930		1,31424		0,76136
1,5		0,020		0,41768		0,80798	1,14241	1,39087		1,52261		1,50838		1,33541		0,99867		0,53754
		0,015		0,43097		0,83535	1,18500	1,44947		1,59674		1,59574		1,42003		1,07508		0,57731
		0,010		0,44376		0,86194	1,22694	1,50806		1,67200		1,68543		1,51948		1,15462		0,63067
		0,005		0,45592		0,88752	1,26796	1,56636		1,74816		1,77763		1,62269		1,26133		0,68656
		0,000		0,46731		0,91184	1,30773	1,62407		1,82500		1,87226		1,73027		1,37312		0,79240

<<< < Предыдущая 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 6869 / 8269 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20251.81 Mб0Высшая математика. В 7 ч. Ч. 6. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы.pdf
#
24.11.20251.03 Mб2Высшая математика. В 7 ч. Ч. 7. Элементы теории поля.pdf
#
24.11.20252.2 Mб2Высшая математика. Курс лекций для студентов инженерно-технических и экономических специальностей, 1 семестр.pdf
#
24.11.20252.48 Mб2Высшая математика. Ряды, теория функций комплексного переменного, операционное исчисление.pdf
#
24.11.20252.97 Mб0Высшая математика.pdf
#
24.11.20253.89 Mб3Вычислительная математика.pdf
#
24.11.20251.7 Mб0Вычислительная техника и программирование. В 2 ч. Ч. 1. Программирование в среде TURBO PASCAL 7.0.pdf
#
24.11.20252.22 Mб0Вяжущие вещества.pdf
#
24.11.20252.02 Mб0Гiсторыя Беларусi метадычныя рэкамендацыi для падрыхтоўкi к практычным заняткам.pdf
#
24.11.20251.6 Mб0Гісторыя Беларусі ў кантэксце сусветнай цывілізацыі.pdf
#
24.11.20251.7 Mб0Гісторыя Беларусі.pdf