2.12 Симплексный метод решения задачи линейного программирования

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Вычислительная математика.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

3.89 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 6768 / 8268 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 > Следующая >>>

23. min Z = −10x1 −35x2																								24. min Z = −4x1 −6x2
		x + 2x					≤ 800,																			6x1 +5x2 ≤1440
			1			2																				x1 + x2 ≥ 86
		6x1 + 2x2 ≤ 2400,																								x1 + x2 ≥ 86
		2x			− x	2	≥ 0.																			x1 ≤ 230
			1			2																				x2 ≤168
																										x2 ≤168
																								Ответы
1.	Zmax = 36 при x1 = 4, x2 = 6 ;																							13.	Zmin		= −36 при x1 = 4, x2 = 6 ;
2.	Zmin		= 0 при x1 = 3, x2 = 3 ;																					14.	Zmax = 0 при x1 = 3, x2 = 3 ;
3.	Z	min	= −3 1				при x = 3							,	x					= 5			;	15.	Z	max	= 7 при x = 3			, x	= 5 ;
		min			2						1		2		2							4				max	2	1	2	2		4
					2								2									4					2		2			4
4.	Zmin		= −6 при x1 = 0, x2 = 6 ;																					16.	Zmax = 6 при x1 = 0, x2 = 6 ;
5.	Zmin = 3 при x1 = 0, x2 = 0 ;																							17.	Zmax = −3 при x1 = 0, x2 = 0 ;
6.	Z	max	=14 1				при x =11 , x												2			= 3 ;		18.	Z	min	= − 29 при x = 5 , x					= 3 ;
		max			2						1		4						2							min	2		1	4	2
					2								4														2			4
7.	Zmax =17 при x1 = 5, x2 =1;																							19.	Zmin		= −17 при x1 = 5, x2 =1;
8.	Z	max	= 6 при x							= 0,			x	= 3 ;										20.	Z	min	= −6	при x	= 0, x		= 3 ;
		max						1					2		2											min		1		2		2
															2																	2
9.	Z	max	= 9 1 при x								= 3 6			, x			2			=1 3 ;				21.	Z	min	= 64 при x		=	27 ,	x	= 10 ;
		max			7					1			7				2						7			min	7	1		7	2	7
					7								7										7				7			7		7
10. Zmax = 390 при x1 = 30, x2 = 60 ;																								22.	Zmin = −390 при x1 = 30, x2 = 60 ;
11. Zmax =12800 при x1 =160, x2 = 320 ;																								23.	Zmin =12800 при x1 =160, x2 = 320 ;
12. Zmax =1408 при x1 =100, x2 =168;																								24.	Zmin		= −1408 при x1 =100, x2 =168.
			2.12 Симплексный метод решения задачи линейного программирования
		Рассмотрим ЗЛП:																					т	при ограничениях:
		Рассмотрим ЗЛП:												min Z = ∑c j x j										при ограничениях:
																							j=1
			a		x + a x						+...+ a							x				= b ,
			11 1				12			2				1n						n			1
			a21x1 + a22 x2 +...+ a2n xn = b2 ,
			.........................................																													(1)

			a		x	+ a		m	2	x	2	+...+ a				mn					x		= b ,
				m1 1				m	2		2					mn						n	m
			x j	≥ 0 ( j =1, 2,...,n).
		В более компактной форме систему ограничений можно представить в виде
																							,
			A1x1 + A2 x2						+		...+ An xn = B												,

где Aj – j-й вектор столбец, координатами которого являются коэффициенты при неизвест-

ном x j ; B – вектор-столбец свободных членов системы ограничений.

Будем называть решением (планом) ЗЛП вектор X = (x1, x2 ,...xn ) , удовлетворяющий системе ограничений задачи и условию x j ≥ 0 , j =1, 2,..., n . План задачи, для которого линейная форма достигает минимума (или максимума), является оптимальным.

Пусть система ограничений (1) имеет предпочтительный вид, т.е. при неотрицательной правой части bi ≥ 0 левая часть каждого уравнения содержит одну переменную, входящую с коэффициентом, равным единице, а в остальные ограничения-равенства – с коэффи-


циентом,	равным нулю. Начальный опорный такой ЗЛП имеет вид x0 = (b1;b2 ;...;bm ;0;0;..;0) .
Значение	целевой	функции z(x0 ) = cБ B = ∆0 . Обозначим			∆ j = cБ Aj −c j , где
сБ = (c1,c2 ,...,cm ) – вектор коэффициентов целевой функции при базисных переменных.
Если все ∆ j ≤ 0 ,			то опорный план x0 оптимален. Пусть существует j0 , для которого
∆ j > 0 . Вектор-столбец			Aj , для которого ∆ j0	> 0, называется разрешающим, соответствую-
щая переменная x j0		– перспективной. Вектор		Aj следует ввести в новый базис. Невырож-

денный план задачи должен содержать ровно m компонент, поэтому необходимо определить,

какой вектор нужно вывести из базиса. Для этого среди отношений							bi	(i =1,2,...,k) найдем
								(i =1,2,...,k) найдем
							aij0
				bi
	b			bi
наименьшее симплексное отношение	Θ = min	i	=		0	– минимальное отношение коор-
	a	ij0		a	i0 j0
		ij0			i0 j0

динат bi исходного плана соответственно к положительным элементам aij0 разрешающего столбца. Если это условие выполняется при нескольких i, то в качестве i0 можно выбрать любое. Строку i0 называют разрешающей, элемент ai0 j0 – разрешающим (или ключевым).

Переменная xi0 , присутствующая в базисе, является неперспективной, ее следует вывести из базиса. Новый базис будет состоять из переменных x1, x2 ,..., xi0 −1, x j0 , xi0 +1,..., xn . В результате получаем новый опорный план x1 лучший (нехудший) x0 , в котором переменная xi0 замене-

на на x j0 . Далее процесс повторяется. Проверяем, является ли план x1 оптимальным. Если

да, то задача решена. Если нет, то переходим к нехудшему опорному плану x2 , смежному с x1 и т.д.

Преобразование ЗЛП к новому базису назовем симплексным преобразованием.

Правила перехода к следующей симплексной таблице

1) Элементы строки i0 новой таблицы равны соответствующим элементам разрешающей строки старой таблицы, деленным на разрешающий элемент:

bi′

, ai′0 j

, j =1,2,..., n .

ai0 j0

ai j

2) Элементы разрешающего столбца j0 новой таблицы равны нулю, за исключением

ai′

=1:

aij′

= 0 (i ≠ i0 ) ,

ai′

=1.

3) Чтобы найти любой другой элемент новой симплексной таблицы, нужно воспользоваться правилом прямоугольника. Для этого в исходной таблице выделяют прямоугольник, вершинами которого служат нужные для вычисления элементы. Диагональ, содержащую разрешающий и искомый элементы новой таблицы, называют главной, а другую побочной. Чтобы получить элемент aij′0 (i = i0 , j ≠ j0 ) новой симплексной таблицы, нужно из произве-

дения угловых элементов главной диагонали вычесть произведение угловых элементов побочной диагонали и полученное число разделить на разрешающий элемент, выделенный рамкой. Это правило прямоугольника.

bi′ =	biai0 j0 −bi0 aij0			, aij′ =	aij ai0 j0 −ai0 j aij0			, (i ≠ i0 , j ≠ j0 )	(2)
	ai
		j	0		ai	j	0
0				0

Рис. 5

4)по этому же правилу могут быть вычислены все элементы индексной строки

∆′j ( j =1,2,...,n) и новое значение целевой функции

∆′j =	∆ j ai0 j0 −∆ j0 ai0 j			, ∆′0	=	∆0 ai0 j0 − ∆ j0 bi0			(3)

						ai
	ai	j	0				j	0
	0					0

Шаг симплексного метода, позволяющий перейти от одного опорного плана к другому нехудшему, называется итерацией. Таким образом, симплексный метод является итерационным методом последовательного улучшения плана.

Пример 1.Найти минимум линейной формы Z = x2 −3x3 + 2x5 при условиях:

			+ 2x5		= 7,
x1 +3x2 − x3
	− 2x2 + 4x3 + x4				= 2,
	− 4x	+3x	+8x	+ x	=10,

	2	3	5	6

x j ≥ 0 ( j =1,2,...,6) .

Решение. Задача поставлена в каноническом виде.

Система ограничений имеет предпочтительный вид, так как каждое уравнение содержит переменную с коэффициентом, равным единице, которая во все остальные уравнения входит с коэффициентом, равным нулю. Это переменные x1, x4 , x6 . Они и составят базис. Заносим условие задачи в симплексную таблицу.

БП			x1	x2	x3	x4	x5	x6
	CБ	B
	CБ	B	0	1	–3	0	2	0
			0	1	–3	0	2	0
x1	0	7	1	3	–1	0	2	0
x4	0	2	0	– 2	4	1	0	0
x6	0	10	0	– 4	3	0	8	1
z j −c j		0	0	– 1	3	0	–2	0

В столбце БП записываем базисные переменные. Столбец CБ содержит коэффициенты целевой функции, стоящие при базисных переменных. Для нашего случая c1 = 0, c4 = 0, c6 = 0 . Столбец B – столбец свободных членов системы ограничений bi . Основное поле таблицы занимают коэффициенты aij системы ограничений. Остановимся под-

робнее на заполнении индексной строки z j −c j . Здесь расположено значение функции цели

для начального опорного плана x0 , т.е.		Z(x0 ) = ∆0 = CБ B и оценки индексной строки

∆j = C	Б Aj −c j :
	∆0 = 0 7 +0 2 +0 10 = 0 ;	∆1 = 0 1+0 0 +0 0 −0 = 0 ;
	∆2 = 0 3+0 (−2) +0 (−4) −1 = −1;	∆3 = 0 (−1) +0 4 +0 3−(−3) = 3 ;
	∆4 = 0 0 +0 1+0 0 + −0 = 0 ;	∆5 = 0 2 +0 0 +0 8 −2 = −2 ;
	∆6 = 0 0 +0 0 +0 1−0 = 0 .
	Свободные переменные полагаем равными нулю: c1 = c4 = c6 = 0 , значение линейной
формы равно нулю.
	Поскольку отыскивается минимум задачи, оптимальный план будет достигнут, когда
z j −c j	≤ 0. В данном случае одна оценка	z3 −c3 = 3 > 0 . Эта оценка соответствует столбцу

при переменной x3 . Этот столбец и назначим разрешающим. Для определения разрешающей строки находим минимальное симплексное отношение:

					2		10		1
		b
Θ = min			i	= min	4	,	3	=	2	.

aij0	>0 a		ij0

Оно соответствует второй строке, которая и будет разрешающей. Следовательно, элемент a23 = 4 – разрешающий. Переменную x4 выведем из базиса, а x3 введем в базис. Разрешающую строку делим на разрешающий элемент. Элементы разрешающего столбца заполняем нулями, кроме a23 =1, а все остальные элементы таблицы пересчитываем по правилу прямоугольника.

БП			x1	x2	x3	x4		x5	x6
	CБ	B
	CБ	B	0	1	–3	0		2	0
			0	1	–3	0		2	0
x1	0	15	1	5	0	1		2	0
x1	0	2	1	2	0	4		2	0
		2		2		4
x	–3	1	0	− 1	1	1		0	0
3		2		2		4
		2		2		4
x6	0	17	0	− 5	0	−	3	8	1
		2		2			4
z j −c j		− 3	0	1	0	−	3	–2	0
		2		2			4

							′	7 4 −2 (−1)			=	15	,	′	=	10 4 −2 3			=	17	′	1 4 − 0			(−1)		=1		и т.д.
			Например, b1 =					4			=	2	,	b3	=		4		=	2	, a11 =		4				=1		и т.д.
								4				2					4			2			4
(итерация 1). По этому же правилу заполняются оценки индексной строки, например
		∆0 = 0 4 −2 3 = −3						, ∆1 = 0 4 −0 3 = 0 , ∆2 =									−1 4 −(−2) 3				= 1 ,…, ∆5		= 4 0 −3 0						= 0.
						4	2			4								4			2					4
			Так			как	существует			положительная							оценка				∆2 = 1	> 0 ,		опорный					план
																					2
x			15	;0;	1	;0;0;	17																			−	3	, неопти-
x	=		2	;0;	2	;0;0;	, соответствующий значению линейной формы, равному																			−	2	, неопти-
1			2		2		2																				2
мален. Введем в базис x2 . Минимальное симплексное отношение Θ = min																								bi	=	15 :		5	= 3 со-
																									=	15 :		2	= 3 со-
																						ai 2 >0 ai2				2		2
ответствует первой строке. Разрешающий элемент a																		= 5 . Переходим к следующему опор-
																	12		2
																			2
ному плану x2 .							Для этого разрешающую строку											i =1	делим на разрешающий элемент
a		= 5 . Разрешающий столбец							j	0	=	2 заполняем нулями, кроме a										=1. Остальные элемен-
12			2							0											12
			2

ты симплексной таблицы (итерация 2) пересчитываем по правилу прямоугольника (2), (3)

аналогично предыдущему.

БП		CБ	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6
БП		CБ	B	0	1	–3	0	2	0
				0	1	–3	0	2	0
x2		1	3	2 / 5	1	0	1/10	4 / 5	0
x3		–3	2	1/ 5	0	1	3/10	2 / 5	0
x6		0	16	1	0	0	−1/ 2	10	1
	z j −c j		– 3	−1/ 5	0	0	− 4/ 5	−12 / 5	0

Для второй итерации критерий оптимальности выполняется, т.к. ∆ j < 0. Опорный план x2 оптимален. Следовательно, не существует нового допустимого решения системы линейных уравнений, при котором линейная форма задачи принимала бы меньшее значение,

чем z(x2 ) = −3,							т.е.	минимум		линейной			формы zmin		= −3	достигается при		плане
x2 = (x1, x2, x3, x4, x5, x6 ) = (0, 3, 2, 0, 0, 16) .
Пример 2. Найти максимум линейной формы z = 4x1 + 2x2																при следующих ограниче-
ниях:
x1							≤ 5,
2x			+ x		2	≤14,
		1			2
x		+ x		2	≤10,
1				2
			x2		≤ 8,
			x2		≤ 8,
x1 ≥ 0,				x2 ≥ 0 .
Решение. Приведем задачу к каноническому виду:
x1							+ x3		= 5,
2x			+ x				+ x		=14,
		1		2			4
x		+ x						+ x	=10,
1			2					5
			x2						+ x6 = 8,
			x2						+ x6 = 8,
xj ≥ 0				( j =1,2,...,6) , z = 4x1 + 2x2 +0 x3 +0 x4 +0 x5 +0 x6 .
Заносим условие задачи в симплексную таблицу.

БП		CБ					B		x1			x2		x3	x4		x5	x6
БП		CБ					B		4		2			0	0		0	0
									4		2			0	0		0	0
x3			0				5		1			0		1	0		0	0
x4			0				14		2		1			0	1		0	0
x5			0				10		1		1			0	0		1	0
x6			0				8		0		1			0	0		0	1
z j	−c j						0		– 4			– 2		0	0		0	0

Индексная строка заполнялась следующим образом:

∆0 = 0 5 +0 14 +0 10 +0 8 = 0 ,	∆1 = 0 1+0 2 +0 1+0 0 −4 = −4,
∆2 = 0 0 +0 1+0 1+0 1−2 = 2 ,	∆3 = 0 1+0 0 +0 0 +0 0 −0 = 0 и т.д.
Две оценки отрицательны, min(z j −c j ) = z1 −c1 = −4 .
j
		5	,	14	,	10	= 5	со-
Введем в базис x1. Минимальное симплексное отношение Θ = min		1	,	2	,		= 5	со-
		1		2		5
ответствует первой строке. Разрешающий элемент a11 =1.
Переходим к следующему опорному плану. Разрешающий столбец		j0 =1				заполняем

нулями, кроме a11 =1. Остальные элементы симплексной таблицы пересчитываем по правилу прямоугольника (2), (3).

БП			x1	x2	x3	x4	x5	x6
	CБ	B
	CБ	B	4	2	0	0	0	0
			4	2	0	0	0	0
x1	4	5	1	0	1	0	0	0
x4	0	4	0	1	–2	1	0	0
x5	0	5	0	1	–1	0	1	0
x6	0	8	0	1	0	0	0	1
z j −c j		20	0	–2	4	0	0	0

Для этого плана критерий оптимальности не выполняется, т.к. z2 −c2 = −2 < 0 . Эта оценка соответствует столбцу при переменной x2 . Находим минимальные симплексное от-

ношение		4	,	5	,	8	= 4 . Оно соответствует переменной	x4 . Переменную	x2 выведем
	Θ = min	1		1		1

из базиса, а x4 введем в базис.

БП			x1	x2	x3	x4	x5	x6
	CБ	B
	CБ	B	4	2	0	0	0	0
			4	2	0	0	0	0
x1	4	5	1	0	1	0	0	0
x2	2	4	0	1	–2	1	0	0
x5	0	1	0	0	1	–1	1	0
x6	0	4	0	0	2	–1	0	1
z j −c j		28	0	0	0	2	0	0

Опорный		план x2 оптимален, т.к.	критерий оптимальности выполняется:	все
∆ j = z j	−c j ≥ 0.	Следовательно, не существует нового допустимого решения системы ли-
нейных	уравнений, при котором линейная		форма приняла бы большее значение,	чем

z(x2 ) = 28, т.е. максимум линейной формы zmax = 28 достигается при плане x2 = (x1, x2, x3, x4, x5, x6 ) = (5, 4, 0,0, 1, 4) .

					Задания
	Следующие задачи линейного программирования решить симплекс-методом. Во всех
задачах переменные неотрицательны:					x j ≥ 0 ,	j =1,2,..., n .
1. max Z = 2x1 +3x2					2. max Z = 3x1 − x3
x1 + x2 ≤ 2,					x1 − x2			+ x4 = 5,
x	+ x	2	+ x	≤ 4.		2x	2	+3x	≤ 4,
1		2		3			2	3
							−2x3		≤ 8.
							−2x3		≤ 8.

3. min Z = x2 − x1

−2x1 + x2 ≤ 2,
	x1 −2x2 ≤ 2,
	x1 −2x2 ≤ 2,
	x + x	2	≤ 5.
	1	2

5. max Z = 2x1 +3x2 + 2x3 + x4

2x		+ 2x		2	−3x	3	+ x	4	≤ 6,
	1			2		3		4
			x2 − x3 + x4 ≤ 2,
	x	− x	2	+ 2x					≤ 5.
	1		2		3

7. min Z = x1 − x2 + x3 +3x4 + x5 − x6 −3x7

				3x3 + x5 + x6		= 6,
			x2 + 2x3 − x4			=10,
			x2 + 2x3 − x4			=10,
x		+		x	6	= 0,
	1				6
				x3 + x6 + x7 = 6.
				x3 + x6 + x7 = 6.
9. max Z = 2x1 + x2
x				≤ 4,
	1		x2 ≤ 2,
			x2 ≤ 2,
x −			2x	≤ 6,
	1		2
x +			3x	≤ 8.
	1		2

Результат проверить

графическим способом

11. max Z = 3x1 + x2 + 2x3 + 2x4

−2x1 − x2 +5x3 +3x4 ≤ 6,
	−2x3 − x4 ≤ 2,

	2x2 − x3	≤ 5.

13. max Z = 2x1								+ x2 + 2x3 +3x4
3x		− x			3	− x	4	≤ 6,
	1				3		4
	x2 − x3 + x4 ≤ 2,
− x		+ x	2	+ x				≤ 5.
	1		2			3

4. min Z = x2 − x1

2x		+ x		+ x				= 2,
	1	2		3					= 2,
	x1 − x2				+ x4				= 2,
	x	+ x					+ x		= 5.
	1	2					5
6. max Z = x1 + 2x2 + x3
2x		+ x	2	− x	3	+ x	4		= 2,
	1		2		3		4
2x1 − x2 +5x3							+ x5 = 6,
		+ 2x2 + 2x3							+ 2x6 =12.
8 x1		+ 2x2 + 2x3							+ 2x6 =12.
8. min Z = 2x3 − x4
		x2 +				3x4			≤ 5,
									≤ 8,
x1 + 2x2 + x3									≤ 8,
				2x3			+ x5 ≤10
				2x3			+ x5 ≤10

10. max Z = 2x1 + x2

	x	− x	≤ 4,
	2	1
			x1 ≤ 4,
x			≤ 5,
	2
− x		+ x	≤ 0
	2	1

Результат проверить

графическим способом

12. max Z = 2x1 + x2 + x3 + x4 + x5

x1 − x2 + x4 ≤ 2,

x1 +3x2 − x3 + x4 + x5 ≤ 2,− x1 +3x3 −2x4 ≤ 2.

14. min Z = x1 − x2 + x3 −3x4 + x5 − x6 −3x7

		3x3 + x5 + x6 = 6,
		x2 + 2x3 − x4		=10,
		x2 + 2x3 − x4		=10,
x		+ x	6	= 0,
	1		6
		x3 + x6 + x7 = 6.
		x3 + x6 + x7 = 6.

15. min Z = −2x1 −3x2

x	+ x		≤ 2,
1		2
x1 + x2 + x3 ≤ 4.
17. max Z = x1 − x2
−2x1 + x2 ≤ 2,
	x1 −2x2 ≤ 2,
	x1 −2x2 ≤ 2,
	x + x			2	≤ 5.
	1			2

19. min Z = −2x1 −3x2 −2x3 − x4
2x			+ 2x			2	−3x	3	+ x	4	≤ 6,
	1
				x2 − x3 + x4 ≤ 2,
x		−		x	2	+ 2x		≤ 5.
	1						3

21.

max Z = −x1 + x2 − x3 −3x4 − x5 + x6 +3x7

					3x3	+ x5 + x6	= 6,
		x		+ 2x − x			=10,
		2			3	4
x						+ x	= 0,
	1					6
					x3 +	x6 + x7 = 6.
					x3 +	x6 + x7 = 6.
23. min Z = −2x1 − x2
x					≤ 4,
	1			x2 ≤ 2,
				x2 ≤ 2,
x		−	2x		≤ 6,
	1			2
x		+	3x		≤ 8.
	1			2

Результат проверить

графическим способом

25. max Z = −3x1 − x2 −2x3 −2x4

−2x1		− x2	+5x3	−3x4	≤ 6,
	x1		−2x3	− x4	≤ 2,

		2x2	− x3		≤ 5.

27. min Z = −2x1 − x2 −2x3 −3x4

	3x			−3x	x	4	≤ 6,
	1			3		4	≤ 2,
		x2		− x3	+ x4		≤ 2,
− x		+ x	2	+ x			≤ 5.
	1		2	3

16. min Z = −3x1 + x3

− x

+ x

= 5,

2x2 +3x3 ≤ 4,

−2x3

≤ 8.

18. max Z = x1 − x2

+ x

= 2,

x1 − x2

+ x4 = 2,

+ x

= 5.

20. min Z = −x1 −2x2 − x3

+ x

− x

+ x

= 2,

2x1 − x2 +5x3 + x5 = 6,

8x1 + 2x2 + 2x3 + 2x6 =12.

22. max Z = −2x3 + x4

x2 +

3x4 ≤ 5,

+ 2x2 + x3

≤ 8,

2x3 + x5 ≤10.

24. min Z = −2x1 − x2

− x1 + x2 ≤ 4,

≤ 4,

x2 ≤ 5, x1 − x2 ≤ 0.

Результат проверить

графическим способом

26. min Z = −2x1 − x2 − x3 − x4 − x5

	x	− x	2		+ x	4		≤ 2,
	1		2			4
	x1	+3x2		− x3	− x4 + x5			≤ 2,
− x				+3x	−2x		4	≤ 2.
		1		3			4

28. max Z = −x1 + x2 − x3 +3x4 − x5 + x6 +3x7

3x3 + x5 + x6 = 6,x2 + 2x3 − x4 =10,x1 + x6 = 0.

Ответы:

1. Zmax = 6 , x1 = 0 , x2 = 2 , x3 = 0 .

2. Zmax = 21, x1 = 7 , x2 = 2 , x3 = 0 , x4 = 0. 3. Zmin = −3, x1 = 4 , x2 =1.

Zmin = −1,

=1,

x2 = 0 ,

x3 = 0 ,

x4 =1, x5 = 4 .

Zmax = 41,

= 0 ,

= 9 ,

x3 = 7 ,

x4 = 0.

Zmax =10 ,

= 0 ,

= 4 ,

x3 = 2 ,

x4 = 0,

x5 = 0 , x6 = 0 .

Zmin = −22 , x1 = 0 , x2 =10 , x3 = 0 , x4 = 0

x5 = 6 , x6 = 0 , x7 = 6.

min

= − 5

x = 0

, x

= 0

, x = 0

, x

= 5

x =10 .

9.Zmax = 9 13 , x1 = 4 , x2 =113 .

10.Zmax =13 , x1 = 4 , x2 = 5 .

11.	Zmax		= 221,		x1		= 52 ,				x2 =15 , x3 = 25 ,									x4 = 0 .
12.	Z	max	=16 ,	x		= 0			, x	2	= 4 1 ,				x	= 5 ,		x	4	= 6 1		,	x = 0 .
		max		1						2			2		3				4		2				5
													2								2
13.	Zmax		=157 ,		x1		=18 ,				x2 = 0,				x3 = 23 , x4 = 25,									x5 = 0 , x6 = 0 , x7 = 0.
14.	Z	min	= −4 2	,		x		= 2 ,			x	2	= 4	,	x	3	= 0 ,	x		4	= 0,		x	5	= 16 .
		min	5			1			5			2	5			3				4				5	5
			5						5				5												5

15.Zmin = −6 , x1 = 0 , x2 = 2 , x3 = 0 .

16.Zmin = −21, x1 = 7 , x2 = 2 , x3 = 0 , x4 = 0 .

17.Zmax = 3 , x1 = 4 , x2 =1.

18.	Zmax =1, x1 =1, x2 = 0,																	x3 = 0 , x4 =1,											x5 = 4 .
19.	Zmin		= −41,		x1 = 0 ,						x2 = 9 ,								x3 = 7 ,					x4 = 0.
20.	Zmin		= −10 ,		x1 = 0 ,							x2 = 4 ,								x3 = 2 ,					x4 = 0 ,					x5 = 0 ,			x6 = 0 .
21.	Zmax = 22 ,			x1 = 0 ,					x2 =10 ,										x3 = 0 ,					x4 = 0,						x5 = 6 ,			x6 = 0 ,			x7 = 6.
22.	Z	max	= 5 , x			= 0 ,			x	2			= 0					, x		= 0 , x			4		= 5 , x					5	=10 .
		max	3	1						2								3					4				3			5
			3																								3
23.	Z	min	= − 28 ,			x		= 4 ,				x			2		= 4		.			24.		Z		min			= −13,			x = 4 ,		x	2	= 5 .
		min	3				1								2			3								min						1			2
			3															3
25.	Zmin		= −221,				x1 = 52 ,									x2 =15 ,						x3 = 25 , x4 = 0 .
26.	Z	min	= −16 ,		x			= 0 ,				x		2			= 9 ,			x		= 5 ,			x		4	= 13 , x				= 0 .
		min					1							2				2		3							4		2		5
																		2											2
27.	Zmin		= −157 ,				x1 =18 ,									x2 = 0,					x3 = 23 ,							x4 = 25,				x5 = 0 ,		x6 = 0 , x7 = 0.
28.	Z	max	= 22 ,	x			= 2		,		x		2			= 4 ,				x		= 0 ,			x	4		= 0,		x = 16 .
		max	5		1			5					2					5		3						4					5	5
			5					5										5														5

<<< < Предыдущая 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 6768 / 8268 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20251.81 Mб0Высшая математика. В 7 ч. Ч. 6. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы.pdf
#
24.11.20251.03 Mб2Высшая математика. В 7 ч. Ч. 7. Элементы теории поля.pdf
#
24.11.20252.2 Mб2Высшая математика. Курс лекций для студентов инженерно-технических и экономических специальностей, 1 семестр.pdf
#
24.11.20252.48 Mб2Высшая математика. Ряды, теория функций комплексного переменного, операционное исчисление.pdf
#
24.11.20252.97 Mб0Высшая математика.pdf
#
24.11.20253.89 Mб3Вычислительная математика.pdf
#
24.11.20251.7 Mб0Вычислительная техника и программирование. В 2 ч. Ч. 1. Программирование в среде TURBO PASCAL 7.0.pdf
#
24.11.20252.22 Mб0Вяжущие вещества.pdf
#
24.11.20252.02 Mб0Гiсторыя Беларусi метадычныя рэкамендацыi для падрыхтоўкi к практычным заняткам.pdf
#
24.11.20251.6 Mб0Гісторыя Беларусі ў кантэксце сусветнай цывілізацыі.pdf
#
24.11.20251.7 Mб0Гісторыя Беларусі.pdf