Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1312 вуза, 5274 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Белорусский национальный технический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:
Вычислительная математика.pdf
Скачиваний:
3
Добавлен:
24.11.2025
Размер:
3.89 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

5.0; 0,095772; 0,185812; 0,273601; 0,362208; 0,454656.

6.y(1)= 3,36. 7. 0,80.

8 – 43

β

x

 

 

 

α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,0

1,4

1,8

 

2,2

2,6

3,0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,0

0,1

0,09934

0,13865

0,17755

 

0,21595

0,25373

0,29085

0,2

0,19498

0,26995

0,34225

 

0,41155

0,47769

0,54065

 

0,3

0,28418

0,38933

0,48779

 

0,57943

0,66452

0,74360

1,4

0,1

0,07117

0,09953

0,12777

 

0,15587

0,18380

0,21153

0,2

0,14086

0,19635

0,25103

 

0,30472

0,35727

0,40858

 

0,3

0,20780

0,28831

0,36646

 

0,44189

0,51438

0,58386

1,8

0,1

0,05542

0,07755

0,09963

 

0,12166

0,14364

0,16552

0,2

0,11005

0,15375

0,19714

 

0,24013

0,28265

0,32464

 

0,3

0,16319

0,22744

0,29072

 

0,35283

0,41359

0,47288

2,2

0,1

0,04537

0,06350

0,08161

 

0,09970

0,11776

0,13578

0,2

0,09025

0,12621

0,16202

 

0,19764

0,23305

0,26820

 

0,3

0,13419

0,18739

0,24014

 

0,29234

0,34381

0,39456

2,6

0,1

0,03840

0,05376

0,06910

 

0,08443

0,09974

0,11504

0,2

0,07647

0,10699

0,13743

 

0,16777

0,19800

0,22809

 

0,3

0,11389

0,15920

0,20427

 

0,24904

0,29343

0,33741

3,0

0,1

0,03329

0,04660

0,05991

 

0,07321

0,08650

0,09978

0,2

0,06634

0,09283

0,11928

 

0,14568

0,17201

0,19826

 

0,3

0,09891

0,13834

0,17762

 

0,21673

0,25562

0,29427

2.11 Графическая интерпретация и графическое решение задачи линейного программирования

2.11.1 Основная задача линейного программирования

В математической постановке основной задачи линейного программирования выделяются три составные части: целевая функция, система ограничений и условия неотрицательности переменных.

Требуется найти такое неотрицательное решение x1 ≥ 0, x2 ≥ 0,..., xn ≥ 0 заданной сис-

темы

a x

+ a x

2

+...+ a

 

x

n

= b ,

 

 

11 1

12

 

1n

 

 

1

,

 

a21x1 + a22 x2 +...+ a2n xn = b2

(1)

.........................................

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

x

+ a

m2

x

2

+...+ a

mn

x

n

= b

 

,

 

m1 1

 

 

 

 

m

 

при котором функция Z = c1x1 +c2 x2 +...+cn xn принимает минимальное значение.

Система (1), в которой все ограничения представляют собой уравнения, называется системой канонического вида.

76

Во многих задачах ограничения представляют собой уравнения, а в других задачах ограничения, которые наложены на переменные x1, x2 ,..., xn , задаются в виде системы нера-

n

венств: ∑aij x j ≤ bi

j=1

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

(i =1,m, j =1,n) или

∑aij x j ≥ bi

(i =1,m, j =1,n) .

 

 

 

 

 

j=1

 

 

 

 

 

Между задачами минимизации и максимизации существует связь. Неотрицательное решение, минимизирующее линейную функцию Z, одновременно максимизирует линейную функцию f равную − Z , так как min Z = −max(−Z) .

2.11.2 Графическая интерпретация задачи линейного программирования

Для более ясного геометрического представления рассмотрим систему неравенств с двумя неизвестными:

a1x1 +b1x2 + c1 ≥ 0,

 

a

x

+b x

+ c

 

≥ 0,

 

 

2 1

2

2

2

 

 

(2)

...........................

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

x

+b

x

+ c

m

≥ 0.

 

 

m 1

m

2

 

 

 

Первое неравенство определяет некоторую полуплоскость P1, второе – полуплоскость

P2 , m-е

–

полуплоскость Pm . В прямоугольной системе координат

x1Ox2 прямые

ak x1 +bk x2

+ck

= 0

,

k =1,2,..., m , соответствующие неравенствам (2) разбивают всю плос-

кость на

две

полуплоскости, в одной

из которых

выполняется неравенство

ak x1 +bk x2

+ck

≥ 0

,

а в другой – неравенство

ak x1 +bk x2 +ck

≤ 0 . Сами прямые считаются

принадлежащими каждой из двух указанных полуплоскостей. Область решения каждого неравенства определим подстановкой начала координат. Если какая-либо пара чисел (x1, x2 ) удовлетворяет всем неравенствам системы (2), то соответствующая точка A(x1, x2 ) принадлежит пересечению (общей части) полуплоскостей P1, P2 ,..., Pm . Пересечение конечного числа полуплоскостей есть многоугольная область M. Возможен случай, когда нет ни одной точки, принадлежащей одновременно всем рассматриваемым полуплоскостям, т.е. область «пуста». Это означает, что система (2) несовместна.

Пример 1. Найти область решений системы неравенств

2x1 + x2

≥ 6,

 

x

+ 2x

2

≥ 4,

 

1

 

 

 

 

x

− x

2

 

≤ 2,

 

1

 

 

 

 

x

 

 

 

≥ 0.

 

1

 

 

 

 

Решение. Заменив знаки неравенств на знаки равенств, получим систему уравнений четырех прямых:

77

2x1 + x2 = 6,

(I)

 

x

+ 2x

= 4,

(II)

 

1

2

 

 

 

x

− x

= 2,

(III)

 

1

2

 

 

 

x

 

= 0

(IV).

 

1

 

 

 

Областью решений данной системы неравенств является неограниченная выпуклая фигура.

Координаты точек:

II

x1

+ 2x2 = 4

8

;

2

 

B :

;

− x2 = 2

B

3

.

III

x1

3

 

 

I

2x + x

 

= 6

A(0;6).

 

A :

;

1

2

 

 

IV

x1

= 0

 

 

 

 

 

 

Рис. 1 Пример 2. Найти область решений данной системы неравенств:

− x

+

2x

 

 

≥10,

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

≤ 5,

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 + x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x

 

− x

2

≥ 4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Заменив знаки неравенств на знаки равенств, получим систему уравнений

трех прямых:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− x

+

2x

 

 

=10,

(I)

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 + x2 = 5, (II)

 

 

 

 

2x

− x

2

= 4. (III)

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Построим эти прямые. Найдем точки пересечения.

 

I

 

;

− x

 

+ 2x

 

 

=10

A(0;5),

A :

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

II

 

 

 

 

x1 + x2 = 5

 

 

 

 

I

 

 

;

− x + 2x

 

=10

B(6; 8)

B :

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

III

 

2x1 − x2 = 4

 

 

 

 

II

 

;

x

+ x

 

= 5

C(3; 2)

C :

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

III

 

2x1 − x2 = 4

 

 

 

78

Рис. 2

В данном случае не существует ни одной точки, общей для всех трех пол уплоскостей. Это означает, что данная система неравенств не имеет решения (несовместна).

2.11.3 Графическое решение задачи линейного программирования

Пусть задана система m линейных неравенств с двумя неизвестными x1 и x2

a11x1 + a12 x2 +b1 ≥ 0,a21x1 + a22 x2 +b2 ≥ 0,

...........................

am1x1 + am2 x2 +bm ≥ 0,

а также линейная функция

Z = c1x1 +c2 x2 .

Требуется среди всех неотрицательных решений системы (3)

(3)

(4)

x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0

(5)

выбрать такое, которое обращает линейную форму (4) в максимум.

Область решений систем (3), (5) есть некоторая выпуклая многоугольная область на плоскости.

Приравняем выражение для Z какой-либо постоянной

c1x1 +c2 x2 = c . (6)

Уравнение (6) на плоскости определяет прямую линию, в точках которой функция принимает одно и то же фиксированное значение, а именно: c. Такая прямая называется прямой уровня функции Z, отвечающей значению c. Если для Z принять другую постоянную, получим другую линию уровня.

79

Равенство (6) геометрически представляет собой семейство параллельных прямых. Будем перемещать прямую MN параллельно самой себе в направлении увеличения Z (или в направлении уменьшения Z, если требуется вычислить минимум линейной формы). При этом возможны два случая. Параллельное перемещение приводит прямую в такое положение, когда у нее окажется одна общая точка с многоугольником – вершина. Координаты этой точки дают максимум функции (4). Может оказаться, что прямая будет параллельна одной из сторон многоугольника. В таком случае экстремум достигается во всех

точках соответствующей стороны BC многоугольника.

Рис. 3

Пример 3. Решить графически. Найти min Z = 2x1 −10x2 при следующих ограничени-

ях:

x1 − x2 ≥ 0,x1 −5x2 ≥ −5,x1 ≥ 0,

x2 ≥ 0.

Решение. Заменив знаки неравенств, получим уравнения четырех прямых:

 

x1 − x2 = 0,

 

 

(I)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

−5x

 

= −5,

 

(II)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

= 0,

 

 

 

 

 

(III)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

= 0.

 

 

 

 

(IV)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Областью решений данной системы неравенств является неограниченная фигура.

Точки

 

O(0;0) ,

A(x1; x2 )

являются вершинами

полученной

области решений.

Так

 

как

A(x1; x2 )

– точка пересечения двух прямых I и II, то чтобы найти ее координаты, решаем

систему

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 − x2 = 0,

 

x1 = x2

=

5

 

5

;

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

−5x

 

= −5

4

, A =

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычисляем

 

значения

функции

Z

в

точках

O(0;0)

 

 

и

 

5

;

5

 

 

 

 

A

4

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

Z A = 2

 

5

+(−10)

5

=

5

−

25

−10

Z0 = 2 0

 

 

 

 

 

5

;

5

 

 

 

 

4

4

2

2

−10 0 = 0 . Отсюда Zmin =10 в A

4

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

80

 

Рис. 4

 

Задания

Найти min (или max) линейной функции Z при следующих ограничениях (условия не-

отрицательности в заданиях не записываются, но они обязательны):

1. max Z = 3x1 + 4x2

2. min Z = x1 − x2

2x

+ x

≤16,

 

x1

+ x 2

≤10,

 

1

2

 

 

 

x2 ≤ 6,

 

 

 

x

≤ 7.

 

1

 

 

3. min Z = x1 −4x2

x1 + 2x2 ≤ 4,x1 ≤ 3,

x1 −2x2 ≥ −1.

5. min Z = x1 + 2x2 +3

2x

+ 4x

 

≤ 8,

 

1

 

2

 

 

3x1 ≤ 6,

 

 

5 x2 ≤ 6.

 

 

7. max Z = 3x1 + 2x2

x1 + x2

≥1,

−5x + x

2

≤ 0,

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5x1 − x2 ≥ 0,

x

− x

2

≥ −1,

 

1

+ x

≤ 6.

x

2

 

1

 

 

 

 

x1 +3x2 ≤12,

3x1 − x2 ≥ 6,3x1 + 4x1 ≥ 0.

4. min Z = 2x1 − x2

2x1 − x2 ≤12,

x1 + x2 ≤ 6,x1 +3x2 ≥1.

6. max Z = 2x1 + 4x2

4x

+3x

 

≤ 40,

 

1

 

 

2

 

12x1 +3x2 ≤ 24,

 

2 x

 

≤ 6,

 

 

1

 

 

 

 

 

 

x2

≤ 3.

 

 

 

8. max Z = −x1 + 4x2

3x1 + 2x2 ≤12

2x1 − x2 ≤ 0

−3x1 + 2x2 ≤ 3 x1 + 2x2 ≤ 3

81

9. max Z = 2x1 + x2

4x1 − x2 ≥ −4,

2x1 +3x2 ≤12,5x1 −3x2 ≤15,

x2 ≤ 7.

11. max Z =10x1 +35x2

x1 + 2x2 ≤ 800,6x1 + 2x2 ≤ 2400,

2x1 − x2 ≥ 0.

13. min Z = −3x1 −4x2

2x2 + x2 ≤16,

x1 + x2 ≤10,x2 ≤ 6, x1 ≤ 7.

15. max Z = −x1 + 4x2

x1 + 2x2 ≤ 4,x1 ≤ 3,

x1 −2x2 ≥ −1.

17. max Z = −x1 − 2x2

2x1 + 4x2 ≤ 8,

3x1 ≤ 6,5x2 ≤ 5.

19. min Z = −3x1 −2x2

x1 + x2

≥1,

−5x + x

2

≤ 0,

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5x1 − x2 ≥ 0,

x

− x

2

≥ −1,

 

1

+ x

≤ 6.

x

2

 

1

 

 

 

 

21. min Z = −2x1 − x2

4x1 − x2 ≥ −4,

2x1 +3x2 ≤12,5x1 −3x2 ≤15,

x2 ≤ 7.

10. max Z = 3x1 +5x2

1,5x1 +1,6x2 ≤141,0,5x1 +0,8x2 ≤ 63.

12. max Z = 4x1 +6x2

6x1 +5x2 ≤1440,

x1 + x2 ≥ 86,

x1 ≤ 230, x2 ≤168.

14. max Z = −x1 + x2

x1 +3x2 ≤12,

3x1 − x2 ≥ 6,3x1 −4x2 ≥ 0.

16. max Z = −2x1 + x2

2x1 − x2 ≤12,

x1 + x2 ≤ 6,x1 +3x2 ≥1.

18. min Z = −2x1 −4x2

4x1 +3x2 ≤ 40,

12x1 +3x2 ≤ 24,

2x2 ≤ 6,x2 ≤ 3.

20. min Z = x1 −4x2

3x1 + 2x2 ≤12,

2x1 − x2 ≤ 0,−3x1 + 2x2 ≤ 3,

x1 + 2x2 ≤ 3.

22. min Z = −3x1 −5x2

1,5x1 +1,6x2 ≤141,0,5x1 +0,8x2 ≤ 63.

82

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности