34-59.

позволяют найти решение в виде таблицы: в точках x1, x2 ,..., xn ,..., называемых узлами сетки

где h = xn+1 − xn – шаг сетки. При этом искомая интегральная кривая y(x) , проходящая через точку (x0 , y0 ) , заменяется ломаной в точках (xn , yn ) . Каждое звено ломаной имеет направление, совпадающее с направлением интегральной кривой, которая проходит через точку (xn , yn ) . Поэтому метод Эйлера часто называют методом ломаных.

Для оценки погрешности метода на практике пользуются двойным пересчетом: расчет

на отрезке [x , x 1] повторяют с шагом h / 2 и погрешность более точного решения y* 1

n n+ n+

(при шаге h / 2 ) оценивают по формуле

| y* 1 − y(x 1) |≈| y* 1 − y 1 | .

n+ n+ n+ n+

69

Пример. Применяя метод Эйлера, составить на отрезке [0, 1] таблицу значений реше-

Для сравнения полученного результата найдем точное решение исходного уравнения. Это уравнение Бернулли, его решение будем искать в виде y = uv .

y = ex e−2x (2x +1) + 2C , 1 = 1+ 2C , 1 =1+ 2C , C = 0 , y = 2x +1 .

Составим таблицу:

Из таблицы видно, что абсолютная погрешность составляет 0,0951, т.е. относительная погрешность составляет 5,2%.

70

2.10.2 Метод Рунге-Кутта

Одним из самых распространенных методов решения задачи (1) – (2) является метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности. Данный метод описывается следующими шестью соотношениями:

∆yn+1 = yn + ∆yn ,

Порядком (или степенью) точности метода Рунге-Кутта называют такое число s, для которого погрешность приближенного равенства ∆yn ≈ y(xn+1) − y(xn ) будет величиной по-

рядка hs+1 . Для нашего метода погрешность будет величиной порядка h5 .

Порядок заполнения таблицы

1)Записываем в первой строке таблицы данные значения x0 , y0 .

2)Вычисляем f (x0 , y0 ) , умножаем на h и заносим в таблицу в качестве K1(0) .

71

7)Записываем в четвертой строке таблицы x0 + h, y0 + K3(0) .

8)Вычисляем f (x0 + h, y0 + K3(0) ), умножаем на h и заносим в таблицу в качестве K4(0) .

9)В столбец ∆y записываем числа K1(0) , 2 K2(0) , 2 K3(0) , K4(0) .

10) Суммируем числа, стоящие в столбце ∆y , делим на 6 и заносим в таблицу в к ачестве

∆y0 .

11) Вычисляем y1 = y0 + ∆y0 . Затем все вычисления продолжают в том же порядке, принимая за начальную точку (x1, y1) .

Заметим, что шаг сетки можно менять при переходе от одной точки к другой. Для контроля правильности выбора шага h вычисляют дробь

K (n) − K (n)

θ = 2 3 .

K1(n) − K2(n)

Величина θ не должна превышать нескольких сотых, в противном случае шаг следует уменьшить. Оценка погрешности метода очень затруднительна. Грубую оценку погрешности можно получить с помощью двойного пересчета по формуле

72

Задания

Применяя метод Эйлера, численно решить данные дифференциальные уравнения с данными начальными условиями на отрезке [a,b] с шагом h = 0,1 при указанных значениях параметров.

1.y′ = 12 xy , y(0) =1, a = 0 , b =1.

2.y′ = x2 + y2 , y(0) = 0 , a = 0 , b =1.

3.y′ =1+ xy2 , y(0) = 0 , a = 0 , b =1.

4.y′ = x y+1 − y2 , y(0) =1, a = 0 , b =1.

а) [варианты 5 – 12], α = −1, β = 0,05 +0,05k , k = 0, 1, 2,...,7 , б) [варианты 13 – 16], α = −0,5 , β = 0,1+0,1k , k = 0, 1, 2, 3 , 17 – 30. y′ = xα2 − xy −βy2 , y(1) = γ , a = (1) , b = 2 .

Значения параметров α,β, γ даны в таблице

73

2. Методом Рунге-Кутта четвертого порядка точности найти решение на отрезке [a,b] следующих дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях с указанным шагом h.

1.y′ = −1+xyx2 , y(0) = 2 , h = 0,05 , a = 0 , b = 0,3.

2.y′ = y +(1+ x)y2 , y(0) =1, h = 0,1, a = 0 , b = 0,5 .

6.y′ = y − x , y(0) =1,5, h = 0,2 , a = 0 , b = 2 .

7.y′ = xy − y2 , y(1) =1, h = 0,2 , a =1, b = 2 .

α =1,0 + 0,4k , k = 0,1,...,5 , β =1,0 +0,4n , n = 0,1,...,5 .

Ответы

1.2; 1,997504; 1,990074; 1,977872; 1,961161; 1,940285; 1,915652.

2.1; 1,242486; 1,616212; 2,268508; 3,699313; 9,386956.

3.0; 0,105; 0,22; 0,345; 0,48; 0,625.

4.–2; –1,801814; –1,613047; –1,439382; –1,283287; –1,145080.

75