2.7 Численное решение нелинейных уравнений. Отделение корней. Метод половинного деления. Метод простой итерации

если f (ξ)= 0 . Здесь f (x) – непрерывная функция в некотором конечном или бесконечном интервале.

По теореме Больцано-Коши: если f (x) непрерывна на отрезке [a,b] и на его концах принимает значения разных знаков ( f (a) f (b)< 0 ), то внутри [a,b] существует по крайней мере один корень уравнения (1).

Для отделения корней используется также графический метод. Корнями уравнения (1) являются те значения x, при которых график функции y = f (x) пересекает ось абсцисс. Если построение графика функции f (x) вызывает затруднения, то уравнение (1) преобразуют к виду ϕ1(x)= ϕ2 (x) так, чтобы графики функций y = ϕ1(x) и y = ϕ2 (x) было по возможности легче построить. Абсциссы точек пересечения этих графиков и будут корнями уравнения (1).

53

венный действительный корень исходного уравнения лежит на отрезке [1,2].

Пример 2. Отделить корни уравнения ex sin x −1 = 0 .

Решение. Построить график функции y = ex sin x −1 сравнительно трудно. Перепи-

шем это уравнение следующим образом: sin x = e−x . Построив график функций y = sin x и y = e−x , мы видим, что они пересекаются в бесчисленном числе точек. Следовательно, исходное уравнение имеет бесконечное множество действительных корней. Все они положительны.

2.7.2 Метод половинного деления

Пусть на отрезке [a,b] имеется только один корень, f (x) – непрерывная функция и

ем ту половину отрезка, на концах которого f (x) принимает значения разных знаков, и деление повторяется. Если требуется найти корень с точностью δ, то деление отрезка пополам продолжается до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше 2δ. Тогда середина последнего отрезка даст значение корня с требуемой точностью. В этом методе можно не вычислять значений функции f (x), достаточно лишь определить знак значения функции. Алгоритм метода очень прост и надежен, однако, скорость сходимости линейная.

Пример 3. Методом половинного деления найти корень уравнения из примера 1 с точностью до 0,1.

Решение.

f (x)= x3 + x2 + x −6 = 0, x [1,2]. f (1)= −3 < 0, f (2)= 8 > 0.

54

f(1,3906)=1,39063 +1,39062 +1,3906 −6 = 0,0135.

Вкачестве корня возьмем ξ =1,3906 ≈1,39 .

Проверка:

1,393 +1,392 +1,39 −6 = 0 2,6856 +1,9321+1,39 −6 = 0 0,0077 ≈ 0; 0,0 = 0.

Предположим, что выбрано некоторое начальное приближение x0 корня уравнения

(2). Определим итерационную последовательность xn по формулам:

тельность (3) сходится к единственному на отрезке [a,b] корню уравнения (2).

Скорость сходимости метода итерации зависит от величины q: чем меньше q, тем быстрей сходимость. Следовательно, при практическом нахождении корней методом итераций нужно стремиться представить уравнение (1) в форме (2) так, чтобы производная ϕ′(x) в окрестности корня по абсолютной величине была возможно меньше.

2.7.4 Практический критерий сходимости (когда надо прекращать итерации)

55

Если же 0 < ϕ′(x)<1 для любых x [a,b], то последовательность xn сходится к ξ монотонно, вблизи корня итерации сходятся примерно как геометрическая прогрессия со знаменателем

Из таблицы видно, что 4 < ξ2 < 5 .

2). Вычисление корней методом простой итерации.

Для этого представим (4) в виде (2). Это можно сделать многими способами, напри-

56

x1 = e2 1−7 = e−5 = 0,006738 , найдем

x2 = e2 0,006738−7 = 0,000924 , x3 = e2 0,00924−7 = 0,000914 , x4 = 0,000914 .

57