Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Вычислительная математика.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

3.89 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 6162 / 8262 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 > Следующая >>>

вычисления полином S31(x)= S31(1)=1,5 +0,3625 + 0,112512 =1,8719 .

Задания

Построить интерполяционные сплайны: 1) первого, 2) второго, 3) третьего порядка; найти значение в точке x0 .

№	xi	0	1	2	x0
1	yi	1,2	2,6	3,0	1,5
2	yi	1,1	1,9	3,1	1,6
3	yi	1,2	1,8	3,2	1,7
4	yi	1,1	2,3	4,3	1,8
5	yi	1,4	2,1	3,4	1,9
6	yi	1,0	2,5	3,0	1,5
7	yi	1,6	2,0	3,6	2,1
8	yi	1,7	0,7	3,7	2,2
9	yi	1,8	0,8	3,8	2,3
10	yi	1,9	0,9	3,9	2,4
11	yi	2,0	3,2	4,0	2,5
12	yi	2,1	3,4	4,1	2,6
13	yi	2,2	3,8	4,2	2,7
14	yi	2,3	0,3	4,3	2,8
15	yi	2,4	2,8	4,4	2,9
16	yi	2,5	0,5	4,5	3,0
17	yi	2,6	0,6	4,6	3,1
18	yi	2,7	0,7	4,7	3,2
19	yi	2,8	0,8	4,8	3,3
20	yi	2,9	1,9	4,9	3,4
21	yi	3,0	4,2	5,0	3,5
22	yi	3,1	1,3	5,1	3,6
23	yi	3,2	2,2	5,2	3,7
24	yi	3,3	2,3	5,3	3,8
25	yi	3,4	4,0	5,4	3,9
26	yi	3,5	4,0	5,5	4,0
27	yi	3,6	0,6	5,6	4,1
28	yi	3,7	0,7	5,7	4,2
29	yi	3,8	1,8	5,8	4,3
30	yi	3,9	1,9	5,9	4,4

2.6Численное интегрирование

Внекоторых случаях, когда невозможно найти первообразную от заданной функции f (x) (ее нельзя выразить через элементарные функции), или вычисление требует слишком

громоздких действий, или f (x) задана таблично, или графически, определенный интеграл вычисляется приближенно.

Рассмотрим несколько основных методов решения этой задачи.

2.6.1 Метод средних прямоугольников

Пусть требуется вычислить интеграл b∫ f (x)dx , где f (x) – непрерывная функция.

Пусть для простоты f (x)≥ 0. Как известно, геометрический смысл определенного интеграла состоит в том, что он выражает площадь криволинейной трапеции. Разобьем отрезок [a,b] на

n равных частичных отрезков точками x = a +			b − a	i, i =1,2, ,n −1. Величину h =		b − a	на-

		i	n			n

зовем шагом разбиения. На каждом частичном отрезке [xi−1, xi ]					выберем середину – точку
ck =	xi−1 + xi	и вычислим f (ck )= yk . Тогда площадь криволинейной трапеции приближенно

2

равна сумме площадей всех n прямоугольников:

f (x)dx ≈ h(y

b −a

i−1

+ x

∫

+ y

+ + y

∑ f

i=1

Формула (1) называется формулой средних прямоугольников.

Абсолютная погрешность приближенного равенства (1) оценивается формулой:

Rn ≤ (b −a2)3 M 2 , 24n

где M2 – наибольшее значение f ′′(x) на отрезке [a,b].

(1)

(2)

Пример 1. Вычислить ∫ x3dx по формуле средних прямоугольников, разбив отрезок

интегрирования [0,2] на 4 части.

Решение.

a = x0 =			0; b = x4			= 2, h = b −a						=	2 −0		=	1	,	f (x)= x3				,
							1		n				4			2
x		= 0, y		= 0;	x =		1	, y =	1 ;	x		=1, y			=	1; x =			3	, y		=	27	; x		= 2, y		= 8.
	0		0		1		2	1	8		2			2				3	2		3		8		4		4

y
8
1	1	3	x
1	1	3	2
	2	2

По формуле (1):
c	= 1		, y			=			1		;	c		=	3 , y			=	27 ; c			=		5	,	y		=	125	; c		=	7	, y		=	343	,
c	= 1		, y			=		64			;	c		=	3 , y			=	27 ; c			=		4	,	y		=	4	; c		=	4	, y		=	6	,
1		4		1				64					2		4	2			64		3			4			3		4		4		4		4		6
2	3			1				1				27			125			343			≈ 3,875.
∫ x		dx	≈	2						+		64		+	4	+
∫ x		dx	≈							+				+		+
0						64													6
Оценка погрешности по формуле (2) дает:
f (x)= 3x					2		;		f		′′				6x;		M 2 =12					,	Rn			≤	(2 −0)3			12 = 0,25 .
					2						′′																(2 −0)3
												(x)=																24	42
																			2	3				x4		2		24	42
Точное значение интеграла																											= 4 .

																			∫ x		dx	=				0
																			∫ x		dx	=		4		0
																			0
																			0

2.6.2 Формула трапеций

На каждом частичном отрезке криволинейная трапеция заменяется обычной. Тогда площадь всей криволинейной трапеции приближенно равна сумме площадей обычных тра-

пеций с основаниями yi , yi+1 и высотой h =

b −a

(x)dx

+ y

∫

≈ h

+ y

+ + y

−1

(3)

Для погрешности формулы (3) справедлива оценка

≤

(b −a)3

(4)

12n2

′′

где

≤ M 2

при a ≤ x ≤ b .

f (x)

Пример 2. Вычислить интеграл примера 1 по формуле трапеций.

Решение. По формуле (3)

x3dx ≈

1 0

+1+

≈ 4,25 . По формуле (4)

≤

(2 −0)3

12 = 0,5 .

∫

2 2

12 42

Пример 3. Вычислить интеграл

∫e−x2 dx по формуле трапеций при n =10 и оценить

погрешность вычислений.

Решение. Оценим остаточный член.

f (x)= e

−x2

; f

(x)

= −2xe

−x2

;

f (x)= 2e

−x2

(2x

−1).

′

′′

Наибольшее значение на отрезке [0,1]

′′

принимает при x = 0 . Тогда

f (x)

≤

2 0,12

< 0,002 .

Проведем вычисление определенного интеграла с одним запасным знаком, то есть с

четырьмя знаками после запятой. Составим таблицу значений подынтегральной функции.

							i	xi	xi2	yi
							0	0	0	1,0000
							1	0,1	0,01	0,9900
							2	0,2	0,04	0,9608
							3	0,3	0,09	0,9139
							4	0,4	0,16	0,8521
							5	0,5	0,25	0,7788
							6	0,6	0,36	0,6977
							7	0,7	0,49	0,6126
							8	0,8	0,64	0,5273
							9	0,9	0,81	0,4449
							10	1,0	1,00	0,3679
1	(y		+ y	9		= 7,4620 .
1	(y		+ y	)+ ∑ y		= 7,4620 .
2		0	10	i=1	i

По формуле (3) получаем 1∫e−x2 dx ≈ 0,1 7,4620 ≈ 0,7462 .

Округляя до трех знаков, получаем окончательный ответ: 0,746.

2.6.3 Формула Симпсона (метод параболических трапеций)

В формуле Симпсона заменяют график функции y = f (x) на каждом отрезке разбиения не отрезками прямых, как в формулах трапеций и прямоугольников, а дугами парабол.

Отрезок [a,b] разбивают на 2n равных частей длиной h =

b −a

. В точках деления вычисляют

значения подынтегральной функции f (x):

y0 , y1, y2 , , y2n−2 , y2n−1, y2n . В итоге

f (x)dx ≈

b −a

((y

+ y

)+ 4(y

+ y

+ + y

)+ 2(y

+ y

+ + y

)).

(5)

∫

2n−1

2n−2

Для погрешности формулы (5) справедлива оценка

Rn (x) ≤ (b −a)h4 M 4 , 180

где f IV (x) ≤ M 4 при a ≤ x ≤ b .

Пример 4. Вычислить интеграл из примера 1 по формуле Симпсона.

Решение.

2 3		2				1		27
2 3		2				1		27
∫ x	dx ≈		0	+8	+ 4		+		+ 2	1	=	4.		Rn	= 0.
∫ x	dx ≈	6 2	0	+8	+ 4	8	+	8	+ 2	1	=	4.		Rn	= 0.
0		6 2				8		8
Пример 5. Вычислить интеграл										1			по формуле Симпсона при n =10
Пример 5. Вычислить интеграл										∫ex2 dx			по формуле Симпсона при n =10			и оценить
										0

остаточный член.

Решение. Для оценки остаточного члена найдем четвертую производную подынте-

гральной функции y = ex2 :

y′ = 2xex2 ; y′′ = ex2 (2 + 4x2 ); y′′′ = ex2 (8x3 +12x); yIV = 4ex2 (4x4 +12x2 +3).

		Наибольшее значение на	отрезке		[0,1] yIV (x) принимает при x =1:
M	4	= 4e 19 ≈ 76 2,718 ≈ 206,5894168.	Тогда	R	≤	(0,1)4	206,589416 ≈ 0,000115 . Составим
						(0,1)4

				n	180
					180

таблицу значений подынтегральной функции y = ex2 , записывая ординаты с четными и с нечетными номерами в разные столбцы. В последней строке таблицы записываем результаты суммирования по этим столбцам.

i	xi	x2			x2
i	xi	x2		Значения yi = e i
		i
		i	при i = 0, i =10		при четном i	при нечетном i
			при i = 0, i =10		при четном i	при нечетном i
0	0,0	0,00	1,0000
1	0,1	0,01				1,0101
2	0,2	0,04			1,0408
3	0,3	0,09				1,0942
4	0,4	0,16			1,1735
5	0,5	0,25				1,2840
6	0,6	0,36			1,4333
7	0,7	0,49				1,6323
8	0,8	0,64			1,8965
9	0,9	0,81				2,2479
10	1,0	1,00	2,718
	Суммы		3,7183		5,5441	7,2685

По формуле Симпсона находим значение искомого интеграла, окончательный ответ округляем до четырех знаков:

1	1	(3,7183 + 4 7,2685 + 2 5,5441)≈1,46268 ≈1,4627 .
∫ex2 dx ≈
	30
0

Задания

В следующих задачах вычислить приближенно интегралы по указанным формулам и оценить остаточный член R.

1. 1∫(3x2 −4x)dx по формуле трапеций при n =10 .

2.	1	xdx		по формуле Симпсона при n =	10 .
	∫
		1+ x
	0
3.	5 dx		по формуле трапеций при n = 4 .
	∫	x
	1

	9
4.	∫	6x −5dx по формуле трапеций при n = 8.
	1
5.	1,∫2 ln(1		+ x2 )dx по формуле трапеций при n = 6 .
	0
6.	1,∫2 ln(1		+ x2 )dx по формуле Симпсона при n = 6 .
	0
7.	1∫sin x2dx по формуле трапеций при n =10 .
	0

8. 1∫sin x2dx по формуле Симпсона при n =10 .

	0
9.	1∫cos x2dx по формуле трапеций при n =10 .
	0
10.	1∫cos x2dx по формуле Симпсона при n =10 .
	0
11.	5,2							по формуле трапеций при n = 6 .
11.	∫ln xdx							по формуле трапеций при n = 6 .
	4
12.	5,2							по формуле Симпсона при n = 6 .
12.	∫ln xdx							по формуле Симпсона при n = 6 .
	4
13.	3	dx					по формуле трапеций при											n = 4 .
	∫
	∫	1+ x
	1	1+ x
14.	3	dx					по формуле Симпсона при											n = 4 .
	∫
	∫	1+ x
	1	1+ x
Вычислить интегралы по формуле трапеций с точностью 10-2, определяя величину
шага h с помощью двойного пересчета (правило Рунге) или по оценке остаточного члена.
	1	dx									1	dx						1		dx				1			dx				2
15.	∫					.				16.	∫				.		17.	∫				.		18. ∫				.		19.	∫	x lg xdx .
		1+ x										1+ x2													1		+ x3
																			1+ x2
	0										0							0	1+ x2					0							1
	2 lg x										2 cos x							π
20.	2 lg x				dx .					21.	2 cos x			dx .			22.	2 cos x			dx .
20.	∫	x			dx .					21.	∫	x		dx .			22.	∫	1+ x		dx .
	1	x									1	x						1	1+ x
Вычислить по формуле Симпсона с точностью до 10-2:
																								dx							π	dx
	1												1										π								2
23.	1		x sin xdx .									24.	1			x cos xdx .					25.		π						.	26.	2				.
	∫													∫									∫								∫
	∫													∫									∫								∫
	0												0										0	1+ x +		sin x					0	x +	cos x
				dx													dx						π	dx								sin x
27.	3∫			dx					.			28. π∫					dx				29.		2∫	dx						30. 1∫		sin x		dx .
27.	3∫								.			28. π∫			1+sin3 x						29.		2∫	1+cos2 x						30. 1∫				dx .
	2	1+ ln x												0	1+sin3 x								0	1+cos2 x							0	x2 +1

<<< < Предыдущая 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 6162 / 8262 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20251.81 Mб0Высшая математика. В 7 ч. Ч. 6. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы.pdf
#
24.11.20251.03 Mб2Высшая математика. В 7 ч. Ч. 7. Элементы теории поля.pdf
#
24.11.20252.2 Mб2Высшая математика. Курс лекций для студентов инженерно-технических и экономических специальностей, 1 семестр.pdf
#
24.11.20252.48 Mб1Высшая математика. Ряды, теория функций комплексного переменного, операционное исчисление.pdf
#
24.11.20252.97 Mб0Высшая математика.pdf
#
24.11.20253.89 Mб3Вычислительная математика.pdf
#
24.11.20251.7 Mб0Вычислительная техника и программирование. В 2 ч. Ч. 1. Программирование в среде TURBO PASCAL 7.0.pdf
#
24.11.20252.22 Mб0Вяжущие вещества.pdf
#
24.11.20252.02 Mб0Гiсторыя Беларусi метадычныя рэкамендацыi для падрыхтоўкi к практычным заняткам.pdf
#
24.11.20251.6 Mб0Гісторыя Беларусі ў кантэксце сусветнай цывілізацыі.pdf
#
24.11.20251.7 Mб0Гісторыя Беларусі.pdf

№	xi	0	1	2	x0
1	yi	1,2	2,6	3,0	1,5
2	yi	1,1	1,9	3,1	1,6
3	yi	1,2	1,8	3,2	1,7
4	yi	1,1	2,3	4,3	1,8
5	yi	1,4	2,1	3,4	1,9
6	yi	1,0	2,5	3,0	1,5
7	yi	1,6	2,0	3,6	2,1
8	yi	1,7	0,7	3,7	2,2
9	yi	1,8	0,8	3,8	2,3
10	yi	1,9	0,9	3,9	2,4
11	yi	2,0	3,2	4,0	2,5
12	yi	2,1	3,4	4,1	2,6
13	yi	2,2	3,8	4,2	2,7
14	yi	2,3	0,3	4,3	2,8
15	yi	2,4	2,8	4,4	2,9
16	yi	2,5	0,5	4,5	3,0
17	yi	2,6	0,6	4,6	3,1
18	yi	2,7	0,7	4,7	3,2
19	yi	2,8	0,8	4,8	3,3
20	yi	2,9	1,9	4,9	3,4
21	yi	3,0	4,2	5,0	3,5
22	yi	3,1	1,3	5,1	3,6
23	yi	3,2	2,2	5,2	3,7
24	yi	3,3	2,3	5,3	3,8
25	yi	3,4	4,0	5,4	3,9
26	yi	3,5	4,0	5,5	4,0
27	yi	3,6	0,6	5,6	4,1
28	yi	3,7	0,7	5,7	4,2
29	yi	3,8	1,8	5,8	4,3
30	yi	3,9	1,9	5,9	4,4

№	xi	0	1	2	x0
1	yi	1,2	2,6	3,0	1,5
2	yi	1,1	1,9	3,1	1,6
3	yi	1,2	1,8	3,2	1,7
4	yi	1,1	2,3	4,3	1,8
5	yi	1,4	2,1	3,4	1,9
6	yi	1,0	2,5	3,0	1,5
7	yi	1,6	2,0	3,6	2,1
8	yi	1,7	0,7	3,7	2,2
9	yi	1,8	0,8	3,8	2,3
10	yi	1,9	0,9	3,9	2,4
11	yi	2,0	3,2	4,0	2,5
12	yi	2,1	3,4	4,1	2,6
13	yi	2,2	3,8	4,2	2,7
14	yi	2,3	0,3	4,3	2,8
15	yi	2,4	2,8	4,4	2,9
16	yi	2,5	0,5	4,5	3,0
17	yi	2,6	0,6	4,6	3,1
18	yi	2,7	0,7	4,7	3,2
19	yi	2,8	0,8	4,8	3,3
20	yi	2,9	1,9	4,9	3,4
21	yi	3,0	4,2	5,0	3,5
22	yi	3,1	1,3	5,1	3,6
23	yi	3,2	2,2	5,2	3,7
24	yi	3,3	2,3	5,3	3,8
25	yi	3,4	4,0	5,4	3,9
26	yi	3,5	4,0	5,5	4,0
27	yi	3,6	0,6	5,6	4,1
28	yi	3,7	0,7	5,7	4,2
29	yi	3,8	1,8	5,8	4,3
30	yi	3,9	1,9	5,9	4,4

№	xi	0	1	2	x0
1	yi	1,2	2,6	3,0	1,5
2	yi	1,1	1,9	3,1	1,6
3	yi	1,2	1,8	3,2	1,7
4	yi	1,1	2,3	4,3	1,8
5	yi	1,4	2,1	3,4	1,9
6	yi	1,0	2,5	3,0	1,5
7	yi	1,6	2,0	3,6	2,1
8	yi	1,7	0,7	3,7	2,2
9	yi	1,8	0,8	3,8	2,3
10	yi	1,9	0,9	3,9	2,4
11	yi	2,0	3,2	4,0	2,5
12	yi	2,1	3,4	4,1	2,6
13	yi	2,2	3,8	4,2	2,7
14	yi	2,3	0,3	4,3	2,8
15	yi	2,4	2,8	4,4	2,9
16	yi	2,5	0,5	4,5	3,0
17	yi	2,6	0,6	4,6	3,1
18	yi	2,7	0,7	4,7	3,2
19	yi	2,8	0,8	4,8	3,3
20	yi	2,9	1,9	4,9	3,4
21	yi	3,0	4,2	5,0	3,5
22	yi	3,1	1,3	5,1	3,6
23	yi	3,2	2,2	5,2	3,7
24	yi	3,3	2,3	5,3	3,8
25	yi	3,4	4,0	5,4	3,9
26	yi	3,5	4,0	5,5	4,0
27	yi	3,6	0,6	5,6	4,1
28	yi	3,7	0,7	5,7	4,2
29	yi	3,8	1,8	5,8	4,3
30	yi	3,9	1,9	5,9	4,4