- •ПЕРЕЧЕНЬ МАТЕРИАЛОВ
- •ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •1 ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
- •1.1 Логика высказываний
- •1.1.1 Понятие логического высказывания
- •1.1.2 Логические операции
- •1.1.3 Пропозиционные формулы
- •1.1.4 Тавтологии
- •1.1.5 Равносильные формулы
- •1.2 Булевы функции
- •1.2.1 Понятие булевой функции. Число булевых функций от n переменных
- •1.2.2 Элементарные булевы функции. Представление булевых функций пропозиционными формулами
- •1.2.3 Двойственные функции. Принцип двойственности
- •1.2.4 Совершенные конъюнктивные нормальные формы (СКНФ)
- •1.2.5 Полиномы Жегалкина
- •1.3 Полнота и замкнутость
- •1.3.1 Полные системы функций и замкнутые классы
- •1.3.2 Основные замкнутые классы
- •1.3.3 Теоремы о функциональной полноте
- •1.3.4 Базисы пространства булевых функций
- •1.4 Минимизация булевых функций
- •1.4.1 Постановка задачи
- •1.4.2 Метод Квайна-Макклоски
- •1.4.3 Карты Карно
- •1.5 Реализация булевых функций
- •1.5.1 Контактные схемы
- •1.5.2 Схемы из функциональных элементов
- •1.6 Предикаты
- •1.6.1 Основные понятия и определения
- •1.6.2 Операции над предикатами
- •1.6.3 Равносильные формулы логики предикатов
- •1.6.4 Приведенная форма и предваренная нормальная форма предиката
- •2 ОСНОВЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
- •2.1 Множества и операции над ними
- •2.1.1 Основные понятия
- •2.1.2 Способы задания множеств
- •2.1.3 Операции над множествами
- •2.1.4 Свойства операций над множествами. Алгебра множеств
- •2.1.5 Декартово произведение множеств
- •2.2 Отображения множеств
- •2.2.1 Основные понятия
- •2.2.2 Произведение (композиция) отображений
- •2.2.3 Обратные отображения
- •2.3 Отношения
- •2.3.1 Основные понятия и способы задания отношений
- •2.3.2 Операции над бинарными отношениями и их свойства
- •2.4 Отношения экивалентности
- •2.4.1 Классы эквивалентности
- •2.4.2 Отношения частичного порядка
- •2.5 Комбинаторика
- •2.5.1 Размещения
- •2.5.2 Перестановки
- •2.5.3 Сочетания
- •2.5.4 Сочетания с повторениями
- •2.5.5 Бином Ньютона. Понятие о производящей функции
- •2.5.6 Числа Стирлинга
- •2.5.7 Число Белла
- •2.6 Мощности множеств
- •2.6.1 Мощность конечного множества
- •2.6.2 Мощности бесконечных множеств. Счетные множества
- •2.6.3 Несчетные множества. Мощность континуума
- •2.6.4 Кардинальные числа. Гипотеза континуума
- •3 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ
- •3.1 Основные определения и типы графов
- •3.1.1 Основные понятия
- •3.1.2 Основные типы графов
- •3.1.3 Обобщения понятия графа
- •3.1.4 Изоморфные графы
- •3.1.5 Количество различных графов порядка n
- •3.2 Основные числовые характеристики и матрицы графа
- •3.2.1 Степени вершин графа
- •3.2.2 Матрица смежности
- •3.2.3 Матрица Кирхгофа
- •3.2.4 Матрица инцидентности
- •3.3 Подграфы и операции на графах
- •3.3.1 Подграфы
- •3.3.2 Операции над графами
- •3.4 Связные графы и расстояние в графах
- •3.4.1 Маршруты в графах. Связные графы
- •3.4.2 Компоненты связности. Связность графа и его дополнения
- •3.4.3 Расстояния на графах
- •3.4.4 Метод поиска в ширину
- •3.4.5 Выяснение вопросов связности, достижимости и расстояний на графе по матрице смежности
- •3.5 Деревья и остовы
- •3.5.1 Критерии дерева
- •3.5.3 Типы вершин дерева, радиус и центры
- •3.5.4 Остовы графа, циклический ранг и ранг разрезов
- •3.5.5 Задача о минимальном остове
- •3.5.6 Разрезы графа. Фундаментальная система циклов и фундаментальная система разрезов
- •3.5.7 Линейное пространство графа
- •3.6 Эйлеровы и гамильтоновы графы
- •3.6.1 Эйлеровы графы
- •3.6.2 Гамильтоновы графы
- •3.7 Планарные графы
- •3.7.1 Вложимость графов в трехмерное пространство
- •3.7.2 Планарные графы. Формула Эйлера
- •3.7.3 Следствия из формулы Эйлера
- •3.7.4 Гомеоморфные графы. Критерий планарности
- •3.8 Раскраски графов
- •3.8.1 Хроматическое число графа
- •3.8.2 Хроматическое число 2-дольного графа. Критерий 2-дольности
- •3.8.3 Некоторые оценки хроматического числа
- •3.8.4 Раскраски планарных графов
- •3.8.5 Реберная раскраска графа
- •3.9 Паросочетания
- •3.9.1 Паросочетания
- •3.9.2 Теорема Холла о свадьбах
- •3.10 Сети
- •3.10.1 Основные понятия
- •3.10.2 Потоки в сетях
- •3.10.3 Сетевое планирование
- •ПРОДОЛЖЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЯ
- •4 ЭЛЕМЕНТЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ
- •4.1 Математическое моделирование и вычислительный эксперимент
- •4.2 Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений. Плохая обусловленность и анализ ошибок. Влияние погрешностей округления
- •4.3 Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод простых итераций и метод Зейделя
- •4.3.1 Основные понятия
- •4.3.2 Метод простой итерации. Описание метода
- •4.3.3 Некоторые сведения о векторах и матрицах
- •4.3.4 Условия и скорость сходимости метода простой итерации
- •4.3.5 Приведение системы (1) к виду (2)
- •4.4 Интерполирование алгебраическими многочленами. Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •4.4.1 Постановка задачи
- •4.4.2 Интерполяционная формула Лагранжа. Представление и оценка остатка
- •4.4.3 Практическое применение интерполяции
- •4.5 Конечные разности. Интерполяционный многочлен Ньютона
- •4.5.1 Конечные разности
- •4.5.2 Интерполяционный многочлен Ньютона
- •4.5.3 Линейная интерполяция
- •4.6 Многочлены Чебышева на отрезке [-1, 1]. Интерполирование сплайнами
- •4.7 Численное интегрирование
- •4.7.1 Формулы прямоугольников
- •4.7.2. Формула трапеций
- •4.7.3. Формула Симпсона (метод параболических трапеций)
- •4.7.4 Квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности (квадратурные формулы Гаусса)
- •4.8 Численное решение нелинейных уравнений
- •4.8.1. Отделение корней
- •4.8.2 Метод деления отрезка пополам
- •4.8.3 Метод простой итерации (метод последовательных приближений)
- •4.8.4. Метод Ньютона (метод касательных)
- •4.8.5 Метод секущих
- •4.8.6 Метод хорд
- •4.9 Итерационные методы решения систем нелинейных уравнений
- •4.9.1 Метод простой итерации
- •4.9.2 Метод простой итерации для системы двух уравнений
- •4.9.3 Метод Ньютона
- •4.9.4 Метод Ньютона для системы двух уравнений
- •4.10 Численные методы решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения
- •4.10.1 Метод Эйлера
- •4.10.2 Методы Рунге–Кутта
- •4.11 Постановка задачи линейного программирования. Геометрическая интерпретация и графическое решение задачи линейного программирования
- •4.11.1 Предмет математического программирования
- •4.11.2 Основная задача линейного программирования
- •4.11.3 Геометрический смысл системы линейных неравенств
- •4.11.4 Графический метод решения задач линейного программирования
- •4.12 Симплексный метод решения задачи линейного программирования. Двойственность в линейном программировании
- •4.12.1 Свойства решений задачи линейного программирования (ЗЛП)
- •4.12.2 Общая идея симплексного метода
- •4.12.3 Построение начального опорного плана
- •4.12.4 Признак оптимальности опорного плана. Симплексные таблицы
- •4.12.5 Переход к нехудшему опорному плану. Симплексные преобразования
- •4.13 Разностные методы
- •4.13.1 Основные понятия
- •4.13.2 Сетки и сеточные функции
- •4.13. 3 Аппроксимация простейших дифференциальных операторов
- •4.13.4 Разностная задача
- •4.13.5 Устойчивость
- •4.13.6 Связь аппроксимации и устойчивости со сходимостью
- •4.13.7 Явные и неявные разностные схемы
- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •Лабораторная работа 5. Задача коммивояжера
- •ПРОДОЛЖЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЯ
- •2.1. Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений
- •2.2. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод простых итераций и метод Зейделя
- •2.2.1. Метод простых итераций
- •2.2.2 Метод Зейделя
- •2.3. Интерполирование алгебраическими многочленами. Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •2.3.1. Постановка задачи
- •2.3.2 Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •2.3.3 Практическое применение интерполирования. Оценка погрешности интерполяционного многочлена Лагранжа
- •2.4 Конечные разности. Интерполяционный многочлен Ньютона
- •2.4.1 Конечные разности
- •2.4.2 Первая интерполяционная формула Ньютона (для интерполирования вперед)
- •2.4.3 Вторая интерполяционная формула Ньютона (для интерполирования назад)
- •2.5 Интерполирование сплайнами
- •2.6 Численное интегрирование
- •2.6.1 Метод средних прямоугольников
- •2.6.2 Формула трапеций
- •2.6.3 Формула Симпсона (метод параболических трапеций)
- •2.7 Численное решение нелинейных уравнений. Отделение корней. Метод половинного деления. Метод простой итерации
- •2.7.1 Отделение корней
- •2.7.2 Метод половинного деления
- •2.7.3 Метод простой итерации (метод последовательных приближений)
- •2.7.4 Практический критерий сходимости (когда надо прекращать итерации)
- •2.8 Итерационные методы решения нелинейных уравнений. Метод Ньютона. Метод секущих. Метод хорд
- •2.8.1 Метод Ньютона (метод касательных)
- •2.8.2 Метод секущих
- •2.8.3 Метод хорд
- •2.9 Итерационные методы решения систем нелинейных уравнений
- •2.9.1 Метод простой итерации для системы двух уравнений
- •2.9.2 Метод Ньютона для системы двух уравнений
- •2.10.1 Метод Эйлера
- •2.10.2 Метод Рунге-Кутта
- •2.11 Графическая интерпретация и графическое решение задачи линейного программирования
- •2.11.1 Основная задача линейного программирования
- •2.11.2 Графическая интерпретация задачи линейного программирования
- •2.11.3 Графическое решение задачи линейного программирования
- •2.12 Симплексный метод решения задачи линейного программирования
- •2.13 Метод сеток для уравнения параболического типа
- •2.13.1 Общие сведения
- •2.13.2 Постановка задачи
- •2.13.3 Разностные схемы
- •2.13.4 Оценки погрешностей
- •2.14 Метод сеток для уравнения гиперболического типа
- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •1 Операции над множествами. Алгебра множеств. Декартово произведение множеств
- •2 Отображения множеств. Бинарные отношения на множествах
- •3 Комбинаторика и мощности множеств
- •6 Расстояния в графах
- •7 Деревья и остовы
- •8 Эйлеровы графы. Критерий эйлеровости. Планарные графы. Формула Эйлера
- •9 Раскраски графов. Хроматическое число графа
- •10 Сети и потоки в сетях
- •Тесты по разделу «ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ»
- •ЭЛЕМЕНТЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ
- •1 Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •2 Интерполирование алгебраическими многочленами
- •3 Численное интегрирование
- •4 Численные методы решения нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений
- •5 Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
- •6 Линейное программирование
- •7 Численное решение уравнений с частными производными
- •Тесты по разделу «ЭЛЕМЕНТЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ»
- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
- •СПИСОК ВОПРОСОВ К ЗАЧЕТУ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕ
- •СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
|
|
|
Задания |
|
|
|
|
Функции f (x), g(x) и h(x) заданы таблицами: |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
f (x) |
x |
g(x) |
x |
h(x) |
||
1,50 |
0,51183 |
|
1,0 |
0,5652 |
|
0,00 |
0,28081 |
1,51 |
0,50624 |
|
1,1 |
0,6375 |
|
0,05 |
0,31270 |
1,52 |
0,50064 |
|
1,2 |
0,7147 |
|
0,10 |
0,34549 |
1,53 |
0,49503 |
|
1,3 |
0,7973 |
|
0,15 |
0,37904 |
1,54 |
0,48940 |
|
1,4 |
0,8861 |
|
0,20 |
0,41318 |
1,55 |
0,48376 |
|
1,5 |
0,9817 |
|
0,25 |
0,44774 |
1,56 |
0,47811 |
|
1,6 |
1,0848 |
|
0,30 |
0,48255 |
1,57 |
0,47245 |
|
1,7 |
1,1964 |
|
0,35 |
0,51745 |
1,58 |
0,46678 |
|
1,8 |
1,3172 |
|
0,40 |
0,55226 |
1,59 |
0,46110 |
|
1,9 |
1,4482 |
|
0,45 |
0,58682 |
1,60 |
0,45540 |
|
2,0 |
1,5906 |
|
0,50 |
0,62096 |
Пользуясь первой или второй интерполяционными формулами, найти значения этих функций для указанных значений аргумента:
Для функции f (x)
1. |
1,50911 |
2. |
1,50820 |
3. |
1,50253 |
4. |
1,50192 |
|
|
||
5. |
1,59513 |
6. |
1,59575 |
7. |
1,59614 |
8. |
1,59728 |
|
|
||
|
Для функции g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9. |
1,0113 |
10. |
1,0219 |
11. |
|
1,0321 |
12. |
1,0428 |
|
|
|
13. |
1,9592 |
14. |
1,9675 |
15. |
|
1,9728 |
16. |
1,9819 |
|
|
|
|
Для функции h(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
17. |
0,01928 |
18. |
0,01392 |
19. |
0,02475 |
20. |
0,02713 |
|
|
||
21. |
0,47113 |
22. |
0,47531 |
23. |
0,48398 |
24. |
0,48675 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Ответы |
|
|
|
|
|
|
|
1. |
0,50674 |
2. |
|
0,50725 |
3. |
|
0,51043 |
4. |
0,51077 |
|
|
5. |
0,45818 |
6. |
|
0,45783 |
7. |
|
0,45761 |
8. |
0,45696 |
|
|
9. |
0,5732 |
10. |
|
0,5807 |
11. |
|
0,5880 |
12. |
0,5956 |
|
|
13. |
1,5313 |
14. |
|
1,5433 |
15. |
|
1,5510 |
16. |
1,5642 |
|
|
17. |
0,29504 |
18. |
|
0,29261 |
19. |
|
0,29780 |
20. |
0,29907 |
|
|
21. |
0,60127 |
22. |
|
0,60412 |
23. |
|
0,61001 |
24. |
0,61190 |
2.5 Интерполирование сплайнами
Увеличение степени интерполяционного многочлена далеко не всегда приводит к улучшению приближенного представления функции на всем отрезке [a,b]. Часто выгоднее разбить отрезок [a,b] на части и приближать y = f (x) на частях отрезка интерполяционными многочленами невысоких степеней. Такое интерполирование может быть названо сглаженным кусочным интерполированием, но его часто называют сплайн-интерполированием, используя английский термин. Сплайном называется гибкая деревянная рейка, позволяющая плавно соединять дуги разных кривых и по своей роли аналогичная лекалу.
42
Пусть функция |
y = f (x) определена на отрезке [a,b] и известны |
ее значения |
y0, y1, , yn в системе |
узлов a = x0 < x1 < < xn = b . Назовем функцию Sm (x) |
интерполяци- |
онным сплайном порядка m для функции f (x), если выполнены следующие условия:
1)Sm (x) является многочленом степени m на каждом из отрезков [xn−1, xn ],
2)Sm (x)= yk , k = 0,1, ,n ,
3)на всем отрезке [a,b] Sm (x) имеет непрерывные производные до порядка m −1:
Sm(k )[xn−1, xn ]= Sm(k )[xn , xn+1 ], k =1,2, ,m −1,
то есть в узлах интерполирования должны совпадать как значения самих Sm(x) слева и справа, так и их производных до порядка m −1.
|
Если |
m ≥ 2 , то для единственности |
Sm (x) |
следует задать дополнительно еще m −1 |
||||||||||||||||||||
условий, которые обычно задаются на концах отрезка [a,b], |
либо произвольно, либо из до- |
|||||||||||||||||||||||
полнительной информации о поведении |
|
|
f (x). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
При m =1 получается известный метод ломаных. |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
При |
m = 2 |
|
функция y = f (x) аппроксимируется кусочно-квадратичными полинома- |
||||||||||||||||||||
ми. |
Для |
простоты |
проиллюстрируем |
|
|
|
построение S2 (x) |
в |
случае |
n = 3. Определим |
||||||||||||||
f (x)= S2i (x), i =1,2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
S(1)(x)= a x |
2 +b x + c , |
S(2)(x)= a |
2 |
x2 |
+b x + c . |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2 |
|
1 |
|
|
1 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
||||
|
Чтобы функция |
f (x) |
была непрерывна и принимала в |
узлах заданные значения |
||||||||||||||||||||
yi , i =1,2,3 , необходимо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
S1 |
(x |
)= y , S1 |
(x |
2 |
)= y |
2 |
, S 2 (x |
2 |
)= y |
2 |
, S 2 (x |
)= y |
3 |
. |
|
|
(1) |
||||||
|
2 |
1 |
1 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
||||||
|
Чтобы функция f (x) была дифференцируема в узлах, необходимо |
|||||||||||||||||||||||
|
(S21 (x2 ))′ = (S22 (x2 ))′. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|||||||
|
Функция f (x) |
|
определяется шестью коэффициентами полиномов S2(1)(x) и S22 (x). |
|||||||||||||||||||||
Равенства (1), (2) дают пять уравнений. Для однозначного определения |
f (x) обычно указы- |
|||||||||||||||||||||||
вается значение f |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(x) в некотором узле, например |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
(S21 (x1 ))′ = d1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
||||
где |
d1 – некоторое заданное значение. (1) – (3) представляют собой систему шести линей- |
|||||||||||||||||||||||
ных уравнений относительно коэффициентов полиномов S2i |
(x), i =1,2, |
которая может быть |
||||||||||||||||||||||
решена методом исключения Гаусса. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
43
Этот подход легко распространяется на произвольное число узлов.
При m = 3 получаем кубический сплайн. На каждом отрезке [xi , xi+1], i =1,2, ,n −1
функция S3i (x) представляется в виде |
|
|||||||
S i |
(x)= a |
x3 +b |
x2 +c x + d |
, i =1,2, ,n −1. |
(4) |
|||
3 |
i |
|
i |
|
i |
i |
|
|
В случае задачи интерполирования или аппроксимации должны выполняться соотно- |
||||||||
шения в узлах |
|
|
|
|
|
|
|
|
S i |
(x )= y |
, i =1,2, ,n . |
|
|
(5) |
|||
3 |
i |
i |
|
|
|
|
|
|
Это n уравнений. Кроме того |
|
|||||||
S3i−1(xi )= S3i (xi ), (S3i−1(xi ))′ = (S3i (xi ))′,(S3i−1(xi ))″ = (S3i (xi ))″. |
(6) |
|||||||
Это еще |
3n − 6 |
уравнений. Для однозначного построения |
S3(x) нужно определить |
|||||
4n −4 коэффициента в (4). Еще два недостающих уравнения для так называемого естественного кубического сплайна задаются так:
(S |
3 |
(x |
))″ = |
(S |
3 |
(x |
n |
))″ = 0 . |
(7) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
Сплайн S3(x) |
можно построить, решив линейную систему уравнений (5)-(7) относи- |
||||||||
тельно неизвестных коэффициентов в (4).
На практике используется другой подход. Строят трехдиагональную систему уравнений для значений вторых производных S3′′(x) в узлах сетки. Саму функцию S3(x) определяют затем с помощью интегрирования. Введем обозначения
yi = S3i (xi )= S3i−1(xi ), yi′ = (S3i (xi ))′ = (S3i−1(xi ))′, yi′′= (S3i (xi ))″ = (S3i−1(xi ))″,
в которых учтены условия (5) и (6).
Для нахождения yi′′ получается система n − 2 линейных уравнений с n − 2 неизвестными y2′′, , yn′′−1 , кроме того y1′′ = yn′′ = 0 из (7):
′′ |
′′ |
′′ |
yi+1 − yi |
|
yi − yi−1 |
|
||
|
|
|
|
, i = 2,3, ,n −1. |
(8) |
|||
|
h |
− h |
||||||
yi−1hi−1 |
+ 2yi (hi + hi−1 )+ yi+1hi = 6 |
|||||||
|
|
|
|
i |
|
i−1 |
|
|
Система легко решается методом исключения Гаусса.
После того, как значения yi′′ найдены, и так как нам известны величины yi , значения первых производных в узлах сетки можно определить по формуле:
|
yi+1 − yi |
hi |
|
hi |
|
|
yi′ = |
|
− yi′′+1 6 |
− yi′′ |
3 |
, i =1,2, ,n −1. |
(9) |
h |
||||||
|
i |
|
|
|
|
|
Выражения для самих S3i (x) можно получить из формулы
44
S3i (x)= yi + yi′(x − xi )+ yi′′ |
(x − xi )2 |
|
+(yi′′+1 |
− yi′′) |
(x − xi )3 |
, i =1,2, ,n −1. |
(10) |
2 |
|
6hi |
|||||
|
|
|
|
|
|
||
Если требуется вычислить S3(x) |
при некотором конкретном значении |
x , то сначала |
|||||
необходимо определить отрезок [xi , xi+1], в котором лежит точка x , и затем воспользоваться выражением для соответствующего полинома S3i (x).
Примеры. Функция y = f (x) задана таблицей
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
1,5 |
|
|
2,3 |
|
3,4 |
|
||||
Построить интерполяционные сплайны: 1) первого, 2) второго, 3) третьего порядка; |
|||||||||||||||||||||||
вычислить значение f (x) |
при x =1. Сделать проверку результата. |
|
|
||||||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1). S |
(x)= |
S(1) |
(x)= a x |
|
+b , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
(2) |
(x)= a2 x +b2. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
S2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Должны выполняться соотношения: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
S1 |
(0) |
=1,5, S1(2) |
= 2,3, S 2 (2) |
= 2,3, S 2 (4)= 3,4 . Отсюда |
|
|
|||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
b1 =1,5, |
|
|
|
|
|
|
|
b1 =1,5, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2a +1,5 = 2,3, |
|
|
|
a = 0,4, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
+ b |
= 2,3, |
|
|
2a |
=1,1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4a |
+ b |
= 3,4; |
|
|
|
b =1,2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
S (x) |
= |
S |
(1)(x) |
= 0,4x +1,5, |
0 ≤ x ≤ 2, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
|
|
|
(2) |
(x)= 0,55x +1,2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ≤ x ≤ 4. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
S1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Проверка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
S (0) |
= |
1,5, S1(2)= 2,3, S |
2 (2)= 2,3, |
S2 (4)= 3,4 . |
|
|
|||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
′ |
|
|
|
|
|
|
||
2). |
S2 |
(x) |
= a1x |
|
|
|
+b1x +c1, |
(S2 |
(x)) = |
2a1x +b1, |
|
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
(x) |
= a2 x |
2 |
+b2 x +c2; |
2 |
′ |
2a2 x +b2. |
|
|
|||||||||||
|
|
S2 |
|
(S2 |
(x)) = |
|
|
||||||||||||||||
Для построения кусочно-квадратичного полинома должны выполняться соотношения:
S21 (0)=1,5; S21 (2)= 2,3; S22 (2)= 2,3; S22 (4)= 3,4; (S21 (2))′ = (S22 (2))′ .
Добавим еще одно соотношение (S21(0))′ = 0 . Отсюда
45
c |
=1,5, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
= 0,2, |
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
4a1 + 2b1 +1,5 = 2,3, |
|
|
b1 = 0, |
|
|
|||||||||||||||||||||
4a |
|
+ 2b + c |
|
|
= 2,3, |
|
|
c |
=1,5, |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
16a2 + 4b2 + c2 = 3,4, |
|
4a2 + b2 = 0,8, |
|
|||||||||||||||||||||||
4a |
|
+ b |
= 4a |
2 |
|
+ b |
, |
|
|
4a |
2 |
+ 2b + c |
2 |
= 2,3, |
||||||||||||
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||
|
|
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
b1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16a2 + 4b2 + c2 = 3,4. |
||||||||||||
Решая методом исключения Гаусса |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
1 |
0 |
|
0,8 |
|
|
4 |
1 |
0 |
|
0,8 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
|
1,5 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2,3 |
~ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
1 |
|
3,4 |
|
|
0 |
0 |
1 |
|
0,2 |
|
|
|
|
||||||||
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
c2 = 0,2; |
|
|
b2 =1,3; |
4a2 +1,3 = 0,8 a2 = −0,125. |
||||||||||||||||||||||
Таким образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
S2 (x)= 0,2x |
|
|
|
+1,5, |
|
0 ≤ x ≤ 2, |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+1,3x + 0,2, |
2 ≤ x ≤ 4. |
|||||||||||
|
|
|
|
−0,125x |
|
|
||||||||||||||||||||
Проверка
S2 (0)=1,5; S21 (2)= 2,3; S22 (2)= 2,3; S22 (4)= 3,4;
(S21 (2))′ = 2 0,2 2 = (S22 (2))′ = −2 0,125 2 +1,3 0,8 = 0,8. (S21 (0))′ = 0.
3). Здесь n = 3; |
в формуле (8) |
i = 2; hi |
= h = 2; y1 =1,5; y2 = 2,3; y3 = 3,4. Из формулы |
|||||||||||||||||||||||||||||
(7): y1′′ = y3′′ = 0 . Из формулы (8) |
|
2y2′′ |
4 |
|
|
3,4 |
− |
2,3 |
− |
2,3 − |
1,5 |
y2′′ = 0,1125 . |
||||||||||||||||||||
|
= 6 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Из формулы (9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
y |
2 |
− y |
|
|
h |
|
h |
|
|
|
|
|
2,3 −1,5 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||
y1′ = |
|
|
|
|
1 |
− y2′′ |
6 |
− y1′′ |
3 |
, |
|
y1′ |
= |
2 |
|
|
−0,1125 |
3 |
= |
0,3625, |
||||||||||||
|
|
|
h |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
y3 − y2 |
|
|
h |
|
|
h |
|
|
|
|
3,4 −2,3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||
y2′ = |
|
|
|
|
h |
|
|
− y3′′ |
6 |
− y2′′ |
3 |
, |
y2′ |
= |
|
2 |
|
|
−0,1125 |
3 |
= 0,475. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Из формулы (10): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
S3 (x) |
|
|
|
S31 |
(x)=1,5 +0,3625x + |
0,1125 x3 |
, |
|
0 ≤ x ≤ 2; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
− 0,1125 (x −2)3 , 2 ≤ x ≤ 4. |
||||||||||
|
|
|
|
S32 |
(x)= 2,3 |
+0,475(x −2)+0,1125 (x −2)2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
12 |
|
|||
Проверка
S3 (0)=1,5; S31(2)=1,5 +0,725 +0,075 = 2,3; S32 (2)= 2,3;
S32 (4)= 2,3 +0,95 +0,225 −0,075 = 3,4; (S31(2))′ = (S32 (2))′ = 0,475.
Для вычисления значения S3(x) в точке x =1, заметим, что 0 <1 < 2 и используем для
46