- •ПЕРЕЧЕНЬ МАТЕРИАЛОВ
- •ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •1 ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
- •1.1 Логика высказываний
- •1.1.1 Понятие логического высказывания
- •1.1.2 Логические операции
- •1.1.3 Пропозиционные формулы
- •1.1.4 Тавтологии
- •1.1.5 Равносильные формулы
- •1.2 Булевы функции
- •1.2.1 Понятие булевой функции. Число булевых функций от n переменных
- •1.2.2 Элементарные булевы функции. Представление булевых функций пропозиционными формулами
- •1.2.3 Двойственные функции. Принцип двойственности
- •1.2.4 Совершенные конъюнктивные нормальные формы (СКНФ)
- •1.2.5 Полиномы Жегалкина
- •1.3 Полнота и замкнутость
- •1.3.1 Полные системы функций и замкнутые классы
- •1.3.2 Основные замкнутые классы
- •1.3.3 Теоремы о функциональной полноте
- •1.3.4 Базисы пространства булевых функций
- •1.4 Минимизация булевых функций
- •1.4.1 Постановка задачи
- •1.4.2 Метод Квайна-Макклоски
- •1.4.3 Карты Карно
- •1.5 Реализация булевых функций
- •1.5.1 Контактные схемы
- •1.5.2 Схемы из функциональных элементов
- •1.6 Предикаты
- •1.6.1 Основные понятия и определения
- •1.6.2 Операции над предикатами
- •1.6.3 Равносильные формулы логики предикатов
- •1.6.4 Приведенная форма и предваренная нормальная форма предиката
- •2 ОСНОВЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
- •2.1 Множества и операции над ними
- •2.1.1 Основные понятия
- •2.1.2 Способы задания множеств
- •2.1.3 Операции над множествами
- •2.1.4 Свойства операций над множествами. Алгебра множеств
- •2.1.5 Декартово произведение множеств
- •2.2 Отображения множеств
- •2.2.1 Основные понятия
- •2.2.2 Произведение (композиция) отображений
- •2.2.3 Обратные отображения
- •2.3 Отношения
- •2.3.1 Основные понятия и способы задания отношений
- •2.3.2 Операции над бинарными отношениями и их свойства
- •2.4 Отношения экивалентности
- •2.4.1 Классы эквивалентности
- •2.4.2 Отношения частичного порядка
- •2.5 Комбинаторика
- •2.5.1 Размещения
- •2.5.2 Перестановки
- •2.5.3 Сочетания
- •2.5.4 Сочетания с повторениями
- •2.5.5 Бином Ньютона. Понятие о производящей функции
- •2.5.6 Числа Стирлинга
- •2.5.7 Число Белла
- •2.6 Мощности множеств
- •2.6.1 Мощность конечного множества
- •2.6.2 Мощности бесконечных множеств. Счетные множества
- •2.6.3 Несчетные множества. Мощность континуума
- •2.6.4 Кардинальные числа. Гипотеза континуума
- •3 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ
- •3.1 Основные определения и типы графов
- •3.1.1 Основные понятия
- •3.1.2 Основные типы графов
- •3.1.3 Обобщения понятия графа
- •3.1.4 Изоморфные графы
- •3.1.5 Количество различных графов порядка n
- •3.2 Основные числовые характеристики и матрицы графа
- •3.2.1 Степени вершин графа
- •3.2.2 Матрица смежности
- •3.2.3 Матрица Кирхгофа
- •3.2.4 Матрица инцидентности
- •3.3 Подграфы и операции на графах
- •3.3.1 Подграфы
- •3.3.2 Операции над графами
- •3.4 Связные графы и расстояние в графах
- •3.4.1 Маршруты в графах. Связные графы
- •3.4.2 Компоненты связности. Связность графа и его дополнения
- •3.4.3 Расстояния на графах
- •3.4.4 Метод поиска в ширину
- •3.4.5 Выяснение вопросов связности, достижимости и расстояний на графе по матрице смежности
- •3.5 Деревья и остовы
- •3.5.1 Критерии дерева
- •3.5.3 Типы вершин дерева, радиус и центры
- •3.5.4 Остовы графа, циклический ранг и ранг разрезов
- •3.5.5 Задача о минимальном остове
- •3.5.6 Разрезы графа. Фундаментальная система циклов и фундаментальная система разрезов
- •3.5.7 Линейное пространство графа
- •3.6 Эйлеровы и гамильтоновы графы
- •3.6.1 Эйлеровы графы
- •3.6.2 Гамильтоновы графы
- •3.7 Планарные графы
- •3.7.1 Вложимость графов в трехмерное пространство
- •3.7.2 Планарные графы. Формула Эйлера
- •3.7.3 Следствия из формулы Эйлера
- •3.7.4 Гомеоморфные графы. Критерий планарности
- •3.8 Раскраски графов
- •3.8.1 Хроматическое число графа
- •3.8.2 Хроматическое число 2-дольного графа. Критерий 2-дольности
- •3.8.3 Некоторые оценки хроматического числа
- •3.8.4 Раскраски планарных графов
- •3.8.5 Реберная раскраска графа
- •3.9 Паросочетания
- •3.9.1 Паросочетания
- •3.9.2 Теорема Холла о свадьбах
- •3.10 Сети
- •3.10.1 Основные понятия
- •3.10.2 Потоки в сетях
- •3.10.3 Сетевое планирование
- •ПРОДОЛЖЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЯ
- •4 ЭЛЕМЕНТЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ
- •4.1 Математическое моделирование и вычислительный эксперимент
- •4.2 Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений. Плохая обусловленность и анализ ошибок. Влияние погрешностей округления
- •4.3 Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод простых итераций и метод Зейделя
- •4.3.1 Основные понятия
- •4.3.2 Метод простой итерации. Описание метода
- •4.3.3 Некоторые сведения о векторах и матрицах
- •4.3.4 Условия и скорость сходимости метода простой итерации
- •4.3.5 Приведение системы (1) к виду (2)
- •4.4 Интерполирование алгебраическими многочленами. Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •4.4.1 Постановка задачи
- •4.4.2 Интерполяционная формула Лагранжа. Представление и оценка остатка
- •4.4.3 Практическое применение интерполяции
- •4.5 Конечные разности. Интерполяционный многочлен Ньютона
- •4.5.1 Конечные разности
- •4.5.2 Интерполяционный многочлен Ньютона
- •4.5.3 Линейная интерполяция
- •4.6 Многочлены Чебышева на отрезке [-1, 1]. Интерполирование сплайнами
- •4.7 Численное интегрирование
- •4.7.1 Формулы прямоугольников
- •4.7.2. Формула трапеций
- •4.7.3. Формула Симпсона (метод параболических трапеций)
- •4.7.4 Квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности (квадратурные формулы Гаусса)
- •4.8 Численное решение нелинейных уравнений
- •4.8.1. Отделение корней
- •4.8.2 Метод деления отрезка пополам
- •4.8.3 Метод простой итерации (метод последовательных приближений)
- •4.8.4. Метод Ньютона (метод касательных)
- •4.8.5 Метод секущих
- •4.8.6 Метод хорд
- •4.9 Итерационные методы решения систем нелинейных уравнений
- •4.9.1 Метод простой итерации
- •4.9.2 Метод простой итерации для системы двух уравнений
- •4.9.3 Метод Ньютона
- •4.9.4 Метод Ньютона для системы двух уравнений
- •4.10 Численные методы решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения
- •4.10.1 Метод Эйлера
- •4.10.2 Методы Рунге–Кутта
- •4.11 Постановка задачи линейного программирования. Геометрическая интерпретация и графическое решение задачи линейного программирования
- •4.11.1 Предмет математического программирования
- •4.11.2 Основная задача линейного программирования
- •4.11.3 Геометрический смысл системы линейных неравенств
- •4.11.4 Графический метод решения задач линейного программирования
- •4.12 Симплексный метод решения задачи линейного программирования. Двойственность в линейном программировании
- •4.12.1 Свойства решений задачи линейного программирования (ЗЛП)
- •4.12.2 Общая идея симплексного метода
- •4.12.3 Построение начального опорного плана
- •4.12.4 Признак оптимальности опорного плана. Симплексные таблицы
- •4.12.5 Переход к нехудшему опорному плану. Симплексные преобразования
- •4.13 Разностные методы
- •4.13.1 Основные понятия
- •4.13.2 Сетки и сеточные функции
- •4.13. 3 Аппроксимация простейших дифференциальных операторов
- •4.13.4 Разностная задача
- •4.13.5 Устойчивость
- •4.13.6 Связь аппроксимации и устойчивости со сходимостью
- •4.13.7 Явные и неявные разностные схемы
- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •Лабораторная работа 5. Задача коммивояжера
- •ПРОДОЛЖЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЯ
- •2.1. Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений
- •2.2. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод простых итераций и метод Зейделя
- •2.2.1. Метод простых итераций
- •2.2.2 Метод Зейделя
- •2.3. Интерполирование алгебраическими многочленами. Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •2.3.1. Постановка задачи
- •2.3.2 Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •2.3.3 Практическое применение интерполирования. Оценка погрешности интерполяционного многочлена Лагранжа
- •2.4 Конечные разности. Интерполяционный многочлен Ньютона
- •2.4.1 Конечные разности
- •2.4.2 Первая интерполяционная формула Ньютона (для интерполирования вперед)
- •2.4.3 Вторая интерполяционная формула Ньютона (для интерполирования назад)
- •2.5 Интерполирование сплайнами
- •2.6 Численное интегрирование
- •2.6.1 Метод средних прямоугольников
- •2.6.2 Формула трапеций
- •2.6.3 Формула Симпсона (метод параболических трапеций)
- •2.7 Численное решение нелинейных уравнений. Отделение корней. Метод половинного деления. Метод простой итерации
- •2.7.1 Отделение корней
- •2.7.2 Метод половинного деления
- •2.7.3 Метод простой итерации (метод последовательных приближений)
- •2.7.4 Практический критерий сходимости (когда надо прекращать итерации)
- •2.8 Итерационные методы решения нелинейных уравнений. Метод Ньютона. Метод секущих. Метод хорд
- •2.8.1 Метод Ньютона (метод касательных)
- •2.8.2 Метод секущих
- •2.8.3 Метод хорд
- •2.9 Итерационные методы решения систем нелинейных уравнений
- •2.9.1 Метод простой итерации для системы двух уравнений
- •2.9.2 Метод Ньютона для системы двух уравнений
- •2.10.1 Метод Эйлера
- •2.10.2 Метод Рунге-Кутта
- •2.11 Графическая интерпретация и графическое решение задачи линейного программирования
- •2.11.1 Основная задача линейного программирования
- •2.11.2 Графическая интерпретация задачи линейного программирования
- •2.11.3 Графическое решение задачи линейного программирования
- •2.12 Симплексный метод решения задачи линейного программирования
- •2.13 Метод сеток для уравнения параболического типа
- •2.13.1 Общие сведения
- •2.13.2 Постановка задачи
- •2.13.3 Разностные схемы
- •2.13.4 Оценки погрешностей
- •2.14 Метод сеток для уравнения гиперболического типа
- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •1 Операции над множествами. Алгебра множеств. Декартово произведение множеств
- •2 Отображения множеств. Бинарные отношения на множествах
- •3 Комбинаторика и мощности множеств
- •6 Расстояния в графах
- •7 Деревья и остовы
- •8 Эйлеровы графы. Критерий эйлеровости. Планарные графы. Формула Эйлера
- •9 Раскраски графов. Хроматическое число графа
- •10 Сети и потоки в сетях
- •Тесты по разделу «ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ»
- •ЭЛЕМЕНТЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ
- •1 Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •2 Интерполирование алгебраическими многочленами
- •3 Численное интегрирование
- •4 Численные методы решения нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений
- •5 Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
- •6 Линейное программирование
- •7 Численное решение уравнений с частными производными
- •Тесты по разделу «ЭЛЕМЕНТЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ»
- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
- •СПИСОК ВОПРОСОВ К ЗАЧЕТУ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕ
- •СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
24 |
x |
1,2 |
2,2 |
2,9 |
x0 |
= 2 |
3x2 +6x +5; 29,0 |
|
y |
16,52 |
32,72 |
47,63 |
|||||
|
|
|
|
|||||
25 |
x |
1,1 |
1,9 |
2,9 |
x0 |
= 2 |
x2 + 2x +5;13,0 |
|
y |
8,41 |
12,41 |
19,21 |
|||||
|
|
|
|
|||||
26 |
x |
1,3 |
2,2 |
3,0 |
x0 |
= 2,1 |
x2 + 4x +6;18,81 |
|
y |
12,89 |
19,64 |
27,0 |
|||||
|
|
|
|
|||||
27 |
x |
1,4 |
2,1 |
3,2 |
x0 |
= 2 |
2x2 +10x +3; 31,0 |
|
y |
20,92 |
32,82 |
55,48 |
|||||
|
|
|
|
|||||
28 |
x |
1,0 |
1,9 |
2,9 |
x0 |
=1,8 |
x2 +10x +5; 26,24 |
|
y |
16,0 |
27,61 |
42,41 |
|||||
|
|
|
|
|||||
29 |
x |
1,2 |
1,9 |
3,2 |
x0 |
= 2 |
3x2 +10x + 4; 26,0 |
|
y |
20,32 |
33,83 |
66,72 |
|||||
|
|
|
|
|||||
30 |
x |
1,1 |
2,2 |
2,9 |
x0 |
= 2,1 |
4x2 +6x −2;17,74 |
|
y |
3,94 |
19,56 |
34,54 |
|||||
|
|
|
|
2.4Конечные разности. Интерполяционный многочлен Ньютона
2.4.1Конечные разности
Узлы интерполяции называются равноотстоящими, если xi+1 − xi = ∆xi = h = const (i = 0,1, ,n −1).
Конечными разностями функции y = f (x) называются разности вида ∆yi = yi+1 − yi – конечные разности первого порядка,
∆2 yi = ∆yi+1 −∆yi – конечные разности второго порядка,
∆3 yi = ∆2 yi+1 −∆2 yi – конечные разности третьего порядка,
.......................................................................................................
∆k yi = ∆k −1 yi+1 − ∆k −1 yi – конечные разности k-порядка.
Для вычисления разностей удобно использовать горизонтальную таблицу конечных разностей.
Пример. Составить таблицу разностей до четвертого порядка включительно для
функции y = ex |
на интервале [0;1] с шагом h = 0,1. |
|
|
|
|
|
||||
|
Решение. Составим таблицу для функции |
y = ex , беря значение ex |
с пятью верными |
|||||||
значащими цифрами. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
x |
y = ex |
∆y |
|
∆2 y |
∆3 y |
∆4 y |
|
|
0 |
|
0,0 |
1,0000 |
0,1052 |
|
0,0110 |
0,0013 |
– 0,0002 |
|
|
1 |
|
0,1 |
1,1052 |
0,1162 |
|
0,0123 |
0,0011 |
0,0005 |
|
|
2 |
|
0,2 |
1,2214 |
0,1285 |
|
0,0134 |
0,0016 |
0,0000 |
|
|
3 |
|
0,3 |
1,3499 |
0,1419 |
|
0,0150 |
0,0016 |
0,0000 |
|
|
4 |
|
0,4 |
1,4918 |
0,1569 |
|
0,0166 |
0,0016 |
– 0,0001 |
|
|
5 |
|
0,5 |
1,6487 |
0,1735 |
|
0,0182 |
0,0018 |
0,0002 |
|
|
6 |
|
0,6 |
1,8221 |
0,1917 |
|
0,0200 |
0,0024 |
– 0,0002 |
|
|
7 |
|
0,7 |
2,0138 |
0,2117 |
|
0,0224 |
0,0022 |
|
|
38
8 |
0,8 |
2,2255 |
0,2341 |
0,0246 |
|
|
9 |
0,9 |
2,4596 |
0,2587 |
|
|
|
10 |
1,0 |
2,7183 |
|
|
|
|
2.4.2 Первая интерполяционная формула Ньютона (для интерполирования вперед)
Введем вспомогательную переменную q = |
x − x0 |
. Тогда |
|
||||||
h |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N(x)= y0 + q∆y0 + q(q −1)2!∆2 y0 + + |
q(q −1) (q −n +1) |
∆n y0 . |
(1) |
||||||
|
|||||||||
|
2! |
|
|
|
n! |
|
|
|
|
В формуле используется верхняя горизонтальная строка таблицы конечных разностей. |
|||||||||
Остаточный член формулы (1) имеет вид |
|
|
|
||||||
R |
(x)= hn+1 |
q(q −1) (q − n) |
f (n+1)(ξ), |
|
|
(2) |
|||
|
|
|
|||||||
n |
|
(n +1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где ξ – |
некоторая внутренняя |
точка наименьшего |
промежутка, содержащего все |
узлы |
|||||
xi (i = 0,1, ,n) и точку x. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Число n желательно выбирать так, чтобы разности ∆n yi были практически постоян-
ными.
Формула (1) используется для интерполирования и экстраполирования в точках x, близких к началу таблицы x0 .
При n =1 и n = 2 из формулы (1) получаем частные случаи:
линейная интерполяция
y(x)= y0 + q∆y0 , |
|
|
|
|
|
(3) |
||||||||
квадратичная интерполяция |
|
|
|
|
||||||||||
y(x)= y0 |
+ q∆y0 |
+ |
q(q −1) |
|
∆2 y0 . |
|
|
(4) |
||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. По данной таблице значений функции |
y = |
1 |
, пользуясь линейной интерпо- |
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
ляцией, найти |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2,718 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|
∆y |
|
|
|
|
|
|
|
2,70 |
|
|
0,3704 |
|
– 0,0028 |
|
|||
|
|
|
|
|
2,72 |
|
|
0,3676 |
|
– 0,0026 |
|
|||
|
|
|
|
|
2,74 |
|
|
0,3650 |
|
|
|
|
|
|
Решение. Определяем
∆y0 = −0,0028, h = 0,02; x0 = 2,70, x = 2,718; q = 2,718 −2,70 = 0,018 = 0,9. 0,02 0,2
39
По формуле (3) находим |
1 |
= 0,3704 −0,0028 0,9 = 0,3679 . |
|
|
|
|
2,718 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Оценим остаточный член. По формуле (2) при n =1 имеем R1(x)= h |
2 |
q(q −1) |
′′ |
|||
|
|
|
||||
|
2! |
|
f (ξ), где |
|||
|
|
|
|
|
|
|
2,70 < ξ < 2,72 .
Так как f (x)= 1x , f ′(x)= − x12 f ′′(x)= x23 ; поэтому
R1(2,718) = (0,02)2 0(,29,70)3,1 ≈ 0,2 10−5 , остаточный член может повлиять только на шес-
той десятичный знак.
Пример. Используя таблицу значений функции y = ex , по формуле квадратичной ин-
терполяции вычислить y = e3,62 |
и y = e3,58 . |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
∆y |
∆2y |
|
3,60 |
|
36,598 |
1,877 |
0,095 |
|
3,65 |
|
38,475 |
1,972 |
0,102 |
|
3,70 |
|
40,447 |
2,074 |
|
|
3,75 |
|
42,521 |
|
|
|
Решение. Вычисляем |
разности до |
|
второго порядка. |
Для |
x = 3,62 |
находим |
||||||||
q = |
3,62 −3,60 = 0,4 и вычисляем по формуле (4): |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
0,05 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e3,62 |
= 36,598 +0,4 1,877 − 0,4 0,6 |
0,095 = 37,338 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Остаточный член при |
n = 2 |
имеет |
вид R2 (x)= h |
3 q(q −1)(q −2) |
′′′ |
|
Так как |
|||||||
|
|
3! |
|
f (ξ). |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
R2 (3,62) |
|
3 0,4 0,6 1,6 |
3,70 |
|
|
−3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
′′′ |
|
|
и 3,60 < ξ < 3,70 , получаем |
|
< (0,05) |
|
|
e |
≈ 0,3 10 |
|
, то есть в |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
f (x)= e |
|
|
6 |
|
|||||||||||
ответе можем считать все цифры верными. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Для x = 3,58 находим q = −0,02 / 0,05 = −0,4 и по формуле (4)
e3,58 = 36,598 −0,4 1,877 + 0,4 1,4 0,095 = 35,874 . 2
Для оценки остаточного члена имеем 3,58 < ξ < 3,70, поэтому
R3 (3,58) < (0,05)2 0,4 1,4 2,4 e3,70 ≈10−3 . 6
Сравнивая остаточные члены при x = 3,62 и x = 3,58 , замечаем, что экстраполяция при x = 3,58 дает менее точный результат.
40
2.4.3 Вторая интерполяционная формула Ньютона (для интерполирования назад)
N(x)= yn + q∆yn−1 + |
q(q +1) |
|
∆2 yn−2 + + |
q(q +1) (q + n −1) |
|
∆n y0 , |
(5) |
|||||
|
n! |
|||||||||||
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|||||
где q = |
x − xn |
. В формуле используется нижняя наклонная строка разностей. |
|
|||||||||
|
|
|||||||||||
|
|
h |
|
|
|
|
|
|||||
Остаточный член формулы (5) имеет вид |
|
|
||||||||||
R |
(x)= hn+1 |
q(q +1) (q + n) |
|
f (n+1)(ξ), |
|
(6) |
||||||
(n +1)! |
|
|||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где ξ – внутренняя точка наименьшего промежутка, содержащего все узлы xi (i = 0,1, ,n) и точку x. Формула (5) используется для интерполирования и экстраполирования в точках x, близких к концу таблицы, то есть к xn .
|
Пример. Используя таблицу значений функции |
y = sin x , найти sin 54° и указать по- |
||||||||||
грешность результата. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
|
|
y |
|
∆y |
|
|
∆2y |
|
∆3y |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
30° |
|
|
0,5000 |
|
0,0736 |
|
|
– 0,0044 |
|
– 0,0005 |
|
|
35° |
|
|
0,5736 |
|
0,0692 |
|
|
– 0,0049 |
|
– 0,0005 |
|
|
40° |
|
|
0,6428 |
|
0,0643 |
|
|
–- 0,0054 |
|
– 0,0003 |
|
|
45° |
|
|
0,7071 |
|
0,0589 |
|
|
– 0,0057 |
|
|
|
|
50° |
|
|
0,7660 |
|
0,0532 |
|
|
|
|
|
|
|
55° |
|
|
0,8192 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Составив таблицу разностей, видим, что третьи разности практически постоянны. Поэтому в формуле (5) достаточно взять четыре члена. Для вычисления sin 54°
имеем q = 54°−55° = −0,2 . По формуле (5) 5°
sin 54° = 0,8192 +(−0,2)0,0532 − |
(−0,2) 0,8 |
0,0057 − |
(−0,2) 0,8 1,8 |
0,0003 = 0,80903 . |
|
2 |
2 |
||||
|
|
|
Остаточный член при n = 3 имеет вид (формула (6))
R3(x)= h4 q(q +1)(q4+! 2)(q +3) f (4)(ξ).
Здесь h = 5° = 0,0873, q = −0,2, f (4)(ξ)= sin ξ ≤1. Поэтому
R |
(54°)≤ (0,087)4 0,2 0,8 1,8 2,8 |
≈ 0,2 10−5 , то есть остаточный член может повлиять |
3 |
24 |
|
|
|
только на пятый десятичный знак: поэтому окончательный результат записываем в виде sin 54° = 0,8090 . Полученное значение полностью совпадает с табличным.
41