Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1312 вуза, 5274 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Белорусский национальный технический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:
Вычислительная математика.pdf
Скачиваний:
3
Добавлен:
24.11.2025
Размер:
3.89 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

ПРОДОЛЖЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЯ

 

2. ЭЛЕМЕНТЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ...................................................................................

24

2.1. Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений...........................

24

2.2. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

 

Метод простых итераций и метод Зейделя ..........................................................................

28

2.2.1. Метод простых итераций............................................................................................

28

2.2.2 Метод Зейделя .................................................................................................................

32

2.3. Интерполирование алгебраическими многочленами.

 

Интерполяционный многочлен Лагранжа ..........................................................................

33

2.3.1. Постановка задачи.........................................................................................................

33

2.3.2 Интерполяционный многочлен Лагранжа .................................................................

34

2.3.3 Практическое применение интерполирования.

 

Оценка погрешности интерполяционного многочлена Лагранжа ..........................

35

2.4 Конечные разности. Интерполяционный многочлен Ньютона........................................

38

2.4.1 Конечные разности .........................................................................................................

38

2.4.2Первая интерполяционная формула Ньютона (для интерполирования вперед) 39

2.4.3Вторая интерполяционная формула Ньютона (для интерполирования назад) . 41

2.5 Интерполирование сплайнами ................................................................................................

42

2.6 Численное интегрирование ......................................................................................................

47

2.6.1 Метод средних прямоугольников..................................................................................

48

2.6.2 Формула трапеций..........................................................................................................

49

2.6.3 Формула Симпсона (метод параболических трапеций) ..........................................

50

2.7 Численное решение нелинейных уравнений. Отделение корней.

 

Метод половинного деления. Метод простой итерации....................................................

53

2.7.1 Отделение корней............................................................................................................

53

2.7.2 Метод половинного деления..........................................................................................

54

2.7.3 Метод простой итерации (метод последовательных приближений)..................

55

2.7.4 Практический критерий сходимости (когда надо прекращать итерации) ........

55

2.8 Итерационные методы решения нелинейных уравнений.

 

Метод Ньютона. Метод секущих. Метод хорд.....................................................................

58

2.8.1 Метод Ньютона (метод касательных) ......................................................................

58

2.8.2 Метод секущих ................................................................................................................

60

2.8.3 Метод хорд .......................................................................................................................

61

2.9 Итерационные методы решения систем нелинейных уравнений ....................................

63

2.9.1 Метод простой итерации для системы двух уравнений .........................................

63

2.9.2 Метод Ньютона для системы двух уравнений ..........................................................

66

2.10 Численные методы решения задачи Коши

 

для обыкновенного дифференциального уравнения.........................................................

69

2.10.1 Метод Эйлера.................................................................................................................

69

2.10.2 Метод Рунге-Кутта .....................................................................................................

71

2.11 Графическая интерпретация и графическое решение

 

задачи линейного программирования..................................................................................

76

2.11.1 Основная задача линейного программирования .......................................................

76

2.11.2 Графическая интерпретация задачи линейного программирования...................

77

2.11.3 Графическое решение задачи линейного программирования.................................

79

2.12 Симплексный метод решения задачи линейного программирования..........................

83

2.13 Метод сеток для уравнения параболического типа...........................................................

93

2.13.1 Общие сведения..............................................................................................................

93

2.13.2 Постановка задачи........................................................................................................

93

2.13.3 Разностные схемы.........................................................................................................

94

2.13.4 Оценки погрешностей ..................................................................................................

95

2.14 Метод сеток для уравнения гиперболического типа.......................................................

100

23

2.ЭЛЕМЕНТЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ

2.1.Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений

Метод Гаусса является наиболее распространенным методом решения систем линейных алгебраических уравнений. В основе его лежит идея последовательного исключения неизвестных. Существуют различные вычислительные схемы, реализующие этот метод. Рассмотрим одну из них – схему единственного деления.

Предположим, что дана невырожденная система

a x

+ a x

+ + a x

= b ,

11 1

12 2

1n n

1

a

x

+ a

x

+ + a

x

= b ,

 

21 1

 

22 2

 

2n n

2

 

 

 

 

 

 

 

 

a

x

+ a

x

+ + a

x

= b .

 

n1 1

 

n2 2

 

nn n

n

Переставляя, если необходимо, уравнения и изменяя места неизвестных, можно счи-

тать, что a11 ≠ 0 . Первое уравнение разделим на a11 и приведем его к виду x1 +b12x2 + +b1nxn = b1n+1 .

Умножая это уравнение последовательно на a21, a31, , an1 и, вычитая из второго, третьего, …, последнего, мы исключим x1 из остальных уравнений системы. Они образуют систему n −1 уравнений с неизвестными x2, , xn . К ней можно применить такое же преобразование. Таким последовательным исключением неизвестных придем к эквивалентной системе с треугольной матрицей

x

+ c x

+ + c x

= d ,

 

1

12 2

1n n

1

 

 

x2 + + c2nxn = d2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xn = dn.

 

 

 

Приведение исходной системы к такому виду называется прямым ходом метода Гаусса. Обратным ходом метода Гаусса называют последовательное нахождение неизвестных в порядке xn, xn−1, , x1.

Чтобы упростить все записи, преобразования совершают не над уравнениями, а над матрицами, составленными из коэффициентов при неизвестных и свободных членов.

При вычислениях полезно проводить контроль. Простейшая схема контроля основана на том, что увеличение значений всех неизвестных на единицу равносильно замене данной системы на контрольную систему, в которой свободные члены равны сумме всех коэффициентов соответствующей строки.

Экономный способ записи дает компактная схема записи. Все результаты будем записывать в одну таблицу. Рассмотрим случай, когда n = 3. Все результаты вычислений будем

24

записывать в одну таблицу:

 

i

ai1

ai2

ai3

bi

∑ai5

 

1

a11

a12

a13

a14

a15

I

2

a21

a22

a23

a24

a25

 

3

a31

a32

a33

a34

a35

 

1

1

b12

b13

b14

b15

II

2

 

a22(1)

a23(1)

a24(1)

a25(1)

 

3

 

a32(1)

a33(1)

a34(1)

a35(1)

III

2

 

1

b23

b24

b25

3

 

 

a33(2)

a34(2)

a35(2)

 

 

 

IV

3

 

 

1

b34

b35

 

 

 

 

1

x3

~

 

 

 

 

x3

V

 

 

1

 

x2

~

 

 

 

x2

 

 

1

 

 

x1

~

 

 

 

 

x1

Порядок заполнения таблицы

Прямой ход

1) Записываем коэффициенты данной системы в трех строках и четырех столбцах раз-

дела I.

2)Суммируем все коэффициенты по строке и записываем сумму в последнем столбце (столбец контроля).

3)Делим все числа, стоящие в первой строке на a11 и результаты b1 j = a1 j / a11 запи-

сываем в первой строке раздела II.

4

4) Вычисляем ∑b1 j и делаем проверку. Если вычисления ведутся с постоянным чис- j=1

лом знаков после запятой, то числа b15 и эта сумма не должны отличаться более чем на единицу последнего разряда. В противном случае следует проверить действия пункта 3).

5)По формулам aij(1) = aij − ai1b1 j; i = 2,3; j = 2,3,4,5 , вычисляем коэффициенты aij(1). Результаты записываем во вторую и третью строку раздела II.

6)Делаем проверку. Сумма элементов каждой строки не должна отличаться от

ai(15), i = 2,3 более, чем на единицу последнего разряда.

7) Делим все элементы второй строки раздела II на a22(1) и результаты записываем в первой строке раздела III.

25

8) Делаем проверку, как в пункте 4).

9) По формуле a3(2j) = a3(1j) −a32(1) b2 j , j = 3,4,5 вычисляем a3(2j). Результаты записываем во вторую строку раздела III.

10) Делаем проверку, как в пункте 6).

11) Делим элементы второй строки раздела III на a33(2) и результаты записываем

враздел IV.

12)Делаем проверку.

Обратный ход

1)В разделе V записываем единицы, как это указано в таблице.

2)Вычисляем x3 = a34(2)/ a33(2).

3)Для вычисления значений x2 , x1 используются лишь строки разделов II, I, содер-

жащие единицы x2 = b24 −b23x3, x1 = b14 −b13x3 −b12 x2 .

Аналогично проводится обратный ход в контрольной системе. Решения этой системы должны отличаться от решений данной системы на 1 (с точностью до единицы последнего разряда): ~xi = xi +1, (i =1,2,3). Таким же образом реализуется компактная схема Гаусса для систем с другим числом неизвестных.

Пример. Используя компактную схему Гаусса, найти решение системы

3,1x1 + x2 + x3 = 4,x1 +3,5x2 + x3 = 4,5,

x1 + x2 + 4,1x3 = 5.

Вычисления выполнить с четырьмя знаками после запятой. Результат проверить подстановкой.

Решение. Заполним таблицу по всем пунктам, указанным выше.

 

i

ai1

ai2

ai3

bi

∑ai5

 

1

3,1

1

1

4

9,1

I

2

1

3,5

1

4,5

10

 

3

1

1

4,1

5

11,1

 

1

1

0,3226

0,3226

1,2903

2,9355

II

2

 

3,1774

0,6774

3,2097

7,0645

 

3

 

0,6774

3,7774

3,7097

8,1645

III

2

 

1

0,2132

1,0102

2,2234

3

 

 

3,6330

3,0254

6,6584

 

 

 

IV

3

 

 

1

0,8328

1,8328

 

 

 

 

1

0,8328

1,8328

V

 

 

1

 

0,8326

1,8326

 

 

1

 

 

0,7530

1,7530

26

Таким образом, x1 = 0,7530, x2 = 0,8326, x3 = 0,8328 .

Проверим результат подстановкой. Так как вычисления велись с четырьмя знаками после запятой, то из-за погрешности округления три знака должны быть верными.

 

3,1 0,753 + 0,8326 + 0,8328 = 4,

 

3,9997 ≈ 4,

 

 

 

4 = 4,

 

 

 

 

 

 

3,5 0,8326 + 0,8328 = 4,5,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,7530 +

 

4,4999 ≈ 4,5,

С тремя знаками: 4,5 = 4,5,

 

 

 

 

 

 

0,8326 + 4,1 0,8328 = 5.

 

 

 

 

 

 

5.

 

 

 

0,7530 +

 

5,0001 ≈ 5.

 

 

 

5 =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задания

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

− 0,2

0,1

 

 

1. Решить

системы

уравнений

 

= b , где A = D + kC ,

 

− 0,1

1

 

 

,

 

Ax

D =

− 0,1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,2

−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− 0,3

 

 

0,1

0

0

 

0,4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0,1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C =

, b

= 0,8

, k =1(1)15 методом Гаусса. Вычисления выполнять с пятью зна-

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,1

0,2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ками после запятой. Результат проверить подстановкой.

 

 

 

2

1

1

 

2. Решить системы уравнений

 

A = D + kC ,

 

2,5

 

,

Ax = b , где

D = 1

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

3

 

1

0

0

 

4

 

 

 

1

 

 

 

методом Гаусса. Вычисления выполнять с пятью зна-

C = 0

0 , b

= 4,5 , k = 0,1(0,1)1,5

 

0

 

 

 

 

 

0

1

 

5

 

 

ками после запятой. Результат проверить подстановкой.

Ответы

1

№

k

x1

x2

x3

1

1

0,52148

0,75391

-0,22852

2

2

0,46863

0,68450

-0,25461

3

3

0,42626

0,62590

-0,28957

4

4

0,39201

0,57532

-0,33757

5

5

0,36450

0,53053

-0,40649

6

6

0,34322

0,48941

-0,51271

7

7

0,32908

0,44898

-0,69643

8

8

0,32740

0,40214

-1,08900

9

9

0,37500

0,30882

-2,50740

10

10

-0,13043

0,80435

8,21740

11

11

0,16045

0,46269

1,55600

12

12

1,18011

0,41088

0,85929

13

13

0,18128

0,38152

0,59360

14

14

0,17774

0,35963

0,45349

15

15

0,17265

0,34158

0,36696

27

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности