Рассмотрим и другой оператор:

определенный на четырехточечном шаблоне

(2)

Он также аппроксимирует Lu с порядком O (h2 + τ) .

4.13.4 Разностная задача

Обычно требуется решить дифференциальное уравнение Lu = − f с некоторыми дополнительными (начальными, краевыми) условиями. Поэтому кроме построения разностного оператора нужно аппроксимировать на сетке правую часть и дополнительные условия, после чего можно поставить разностную задачу, т.е. написать разностные (алгебраические) уравнения и дополнительные условия на сетке.

Закон написания разностных уравнений и дополнительных условий называют разностной схемой.

4.13.5 Устойчивость

После того, как разностная схема написана, возникает прежде всего вопрос о разрешимости полученной алгебраической системы уравнений. Если эта система неразрешима, то такую схему следует признать непригодной.

Пусть разностная задача разрешима, тогда естественно требовать, чтобы при неограниченном изменении сетки решение разностной задачи стремилось к решению исходной задачи для дифференциального уравнения, т.е. схема сходилась. В этих рассуждениях мы предполагаем, что разностная задача решается точно и решение может быть найдено с любым числом знаков. Практически же все вычисления ведутся с конечным числом знаков и на каждом этапе вычислений допускаются ошибки округления. Если малые ошибки округления, допускаемые на промежуточных этапах вычислительного процесса, при сгущении сетки приводят к большим искажениям решения, то такую схему называют неустойчивой. Она непригодна для практики.

211

Ошибки вычислений можно рассматривать как возмущение начальных данных или правой части уравнения. Отсюда следует, что от схемы надо требовать, чтобы решение разностной задачи мало менялось при малом изменении входных данных задачи (правой части, краевых и начальных условий) или, иными словами, чтобы решение непрерывно зависело от входных данных при измельчении сетки. Если это требование выполняется, то схема называется устойчивой, в противном случае схема неустойчива.

4.13.6 Связь аппроксимации и устойчивости со сходимостью

Между введенными выше понятиями сходимости, аппроксимации и устойчивости существует связь. Она состоит в том, что из аппроксимации и устойчивости следует сходимость.

Теорема. Пусть разностная схема Lh (u(h) )= f (h) аппроксимирует задачу L(u)= f на решение u(x,y) с порядком s > 0 относительно h и устойчива. Тогда эта схема будет сходя-

щейся и порядок ее сходимости будет совпадать с порядком аппроксимации, т.е. O (hs ) .

При построении и изучении разностных схем обычно поступают следующим образом.

1.Вначале указывается правило выбора сетки, т.е. указывается правило замены области D и ее границы некоторой сеточной областью. Чаще всего сетка выбирается прямоугольной и равномерной.

2.Потом указывается и строится конкретно одна или несколько разностных схем. Проверяется условие аппроксимации разностных схем и устанавливается порядок аппроксимации.

3.Доказывается устойчивость построенных разностных схем. Это один из наиболее важных и сложных вопросов. Если разностные схемы обладают аппроксимацией и устойчивостью, то о сходимости разностных схем судят по приведенной выше теореме.

4.Рассматривается вопрос численного решения разностных схем. В случае линейных разностных схем это будет система линейных алгебраических уравнений. Уже в двумерном случае порядок таких систем может быть очень большим. Это делает задачу численного решения упомянутых систем во многих случаях весьма трудной. Поэтому для решения систем уравнений, возникающих в методе сеток, разработаны и разрабатываются специальные методы решения, учитывающие особенности таких задач.

4.13.7 Явные и неявные разностные схемы

Схемы, содержащие на верхнем слое t j+1 одно неизвестное значение функции, называются явными, а два и больше – неявными. Явные схемы реализуются по рекуррентным

212

формулам, а неявные представляют собой систему уравнений, которую можно решать точными или итерационными методами.

Отличительные свойства явных и неявных разностных схем рассмотрим на примере первой краевой задачи для уравнения теплопроводности: найти непрерывную в прямоугольнике D(0 ≤ x ≤1, 0 ≤ t ≤ T ) функцию u=u(x,t), удовлетворяющую условиям:

Нетрудно показать, что погрешности аппроксимации разностных схем (4) и (5) есть

ψ = O(τ+ h2 ) .

213

Условия принципа максимума выполняются, как видим, при 1−2γ > 0 , отсюда γ ≤ 12 ,

т.е. условием устойчивости явной схемы (4) является ограничение на соотношение шагов по

времени и пространственной переменной τ ≤ h2 . 2

В отличие от явной схемы (4), неявная разностная схема (или схема с опережением)

абсолютно устойчива в норме C( y C = max y(xi ) , то есть устойчива при любых значениях

x ϖh

h и τ.

Приведенные рассуждения показывают, что реализация неявных разностных схем требует больших вычислительных затрат для вычисления решения на одном временном слое, но таких временных слоев может быть немного из-за того, что в этом случае отсутствуют ог-

раничения на соотношение τ/ h2 . Если пользоваться явной разностной схемой, то вычисление решения на следующем слое осуществляется по рекурсионному правилу и связано с ми-

нимальными вычислительными затратами, однако из-за ограничения hτ2 ≤ 12 число времен-

ных слоев в случае явных схем может быть существенно бoльшим по сравнению с числом временных слоев для неявных схем.

Для реализации неявных схем, содержащих три неизвестные на верхнем слое в каждом уравнении, наиболее выгодным или экономичным по объему затрачиваемой работы является метод разностной прогонки, учитывающий специальный вид матрицы системы урав-

системы уравнений (9) – ее трехдиагональность.

Разностные методы являются универсальными и эффективными, они широко применяются также для решения уравнений гиперболического и эллиптического типов, для решения систем уравнений в частных производных. Метод конечных разностей используется для решения квазилинейных и нелинейных задач, представляющих большой интерес для науки и практики, хотя для некоторых из этих задач до сих пор не доказаны существование и единственность решения.

214

БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет информационных технологий и робототехники

Кафедра высшей математики № 1

ПРАКТИЧЕСКИЙ РАЗДЕЛ ЭУМК по учебной дисциплине «ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА»

Грекова А. В., Каскевич В. И., Мартыненко И. М., Метельский А. В., Федосик Е. А., Чепелев Н. И.

Минск 2016

1