4.12 Симплексный метод решения задачи линейного программирования. Двойственность в линейном программировании

4.12.1 Свойства решений задачи линейного программирования (ЗЛП)

раничений, C = (c1,c2, ,cn ) – заданный вектор коэффициентов линейной формы (1). Чтобы задача (1)-(3) имела решение, система ее ограничений (2) должна быть совме-

стной. Это возможно, если ранг r системы (число линейно независимых уравнений) не боль-

мальную линейно независимую подсистему векторов, через которую любой вектор системы может быть выражен как ее линейная комбинация. Базисов, вообще говоря, может быть несколько, но не более Cnr . Каждый из них состоит точно из r векторов. Переменные ЗЛП, соответствующие r векторам базиса, называют базисными и обозначают БП. Остальные n − r переменных будут свободными, их обозначают СП.

Не ограничивая общности, будем считать, что базис составляют первые m векторов A1, A2 , , Am . Поэтому базису соответствуют базисные переменные x1, x2 , , xm , а свободными будут переменные xm+1, xm+2 , , xn .

Если свободные переменные приравнять нулю, а базисные переменные при этом примут неотрицательные значения, то полученное частное решение системы (2) называют опорным решением (опорным планом).

Теорема. Если система векторов A1, A2 , , An содержит m линейно независимых векторов A1, A2 , , Am , то допустимый план

x = (x1, x2 , , xm ; 0; 0; ;0

n−m

является крайней точкой многогранника планов.

Теорема (основная теорема линейного программирования). Если ЗЛП имеет ре-

шение, то целевая функция достигает экстремального значения хотя бы в одной из крайних точек многогранника решений. Если же целевая функция достигает экстремального значе-

195

ния более чем в одной крайней точке, то она достигает того же значения в любой точке, являющейся их выпуклой линейной комбинацией.

4.12.2 Общая идея симплексного метода

Из основной теоремы следует, что решить ЗЛП можно найдя каким-нибудь способом

них значения целевой функции. Однако даже для относительно небольшого числа переменных и ограничений это практически неосуществимо, так как процесс отыскания крайних точек сравним по трудности с решением исходной задачи, к тому же число крайних точек может оказаться весьма большим. В связи с этими трудностями возникла задача рационального перебора крайних точек. Ее суть в следующем. Если известны какая-нибудь крайняя точка и значение в ней целевой функции, то все крайние точки, в которых целевая функция принимает худшее значение, заведомо не нужны. Отсюда естественно стремление найти способ перехода от данной крайней точки к смежной по ребру лучшей, от нее к еще лучшей (не худшей) и т.д. Для этого нужно иметь признак того, что лучших крайних точек, чем данная крайняя точка, вообще нет. В этом и состоит общая идея наиболее широко применяемого симплексного метода – метода последовательного улучшения плана для решения ЗЛП.

Итак, симплексный метод предполагает:

1)умение находить начальный опорный план;

2)наличие признака оптимальности опорного плана;

3)умение переходить к нехудшему опорному плану.

Геометрическая интерпретация идеи симплексного метода в случае двух п еременных представлена на рисунке.

196

4.12.3 Построение начального опорного плана

Пусть ЗЛП представлена системой ограничений в каноническом виде:

n

∑aij x j = bi , bi ≥ 0, (i =1,2, ,m) . j=1

Говорят, что ограничение ЗЛП имеет предпочтительный вид, если при неотрицательности правой части (bi ≥ 0) левая часть ограничения содержит переменную, входящую с коэффициентом, равным единице, а в остальные ограничения-равенства – с коэффициентом, равным нулю. Например, в системе ограничения

первое и второе ограничения имеют предпочтительный вид, третье – нет.

Если каждое ограничение-равенство ЗЛП в каноническом виде имеет предпочтительный вид, то говорят, что система ограничений представлена в предпочтительном виде. В этом случае легко найти ее опорное решение (базисное с неотрицательными координатами): все свободные переменные нужно приравнять к нулю, тогда базисные переменные будут равны свободным членам. Например, в системе ограничений

предпочтительными (базисными) являются переменные x2 , x3 , x4 , свободными x1, x5 . Приравняем свободные переменные x1 и x5 к нулю, тогда базисные переменные примут значения x2 =10, x3 = 80, x4 = 32 . Имеем план x = (0;10; 80; 32; 0) . Если полученный план будет иметь не более m отличных от нуля координат, то, согласно теореме о структуре координат крайней точки, он будет опорным.

Приравнивание предпочтительных переменных к правым частям дает базисное решение, т.е. крайнюю точку многогранника решений. Поэтому предпочтительные переменные – базисные. Переменные, приравниваемые нулю, – свободные.

Пусть, далее, система ограничений имеет вид

n

∑aij x j ≤ bi , bi ≥ 0, i(1,2, ,m).

j=1

(Такие ограничения имеют ЗЛП о наилучшем использовании сырья, технологий и т.д.). Сведем задачу к каноническому виду. Для этого добавим к левым частям неравенств

197

дополнительные переменные xn+i ≥ 0, i =1, 2, ,m . Получим систему, эквивалентную исходной:

которая имеет предпочтительный вид. И, следовательно, начальный опорный план примет вид

x0 = (0; 0; ,0; b1; b2; ;bm ).

nm

Вцелевую функцию дополнительные переменные вводятся с коэффициентами, равными нулю:

Cn+1 = 0, (i =1, 2, ,m) .

Пусть далее система ограничений имеет вид

n

∑aij x j ≥ bi , bi ≥ 0, i(1,2, ,m).

j=1

Сведем ее к эквивалентной вычитанием дополнительных переменных xn+i ≥ 0, i =1, 2, ,m , из левых частей неравенств системы. Получим систему

n

∑aij x j − xn+i = bi , bi ≥ 0, (i =1,2, ,m) . j=1

Однако теперь система ограничений не имеет предпочтительного вида, так как дополнительные переменные xn+i входят в левую часть (при bi ≥ 0 ) с коэффициентами, равными –1. Поэтому, вообще говоря, базисный план

является недопустимым. В этом случае вводится так называемый искусственный базис. К левым частям ограничений-равенств, не имеющих предпочтительного вида, добавляют искусственные переменные ωi . В целевую функцию переменные ωi вводят с коэффициентом

Мв случае решения задачи на минимум и с коэффициентом – М для задачи на максимум, где

М– большое положительное число. Полученная задача называется М-задачей, соответствующей исходной. Она всегда имеет предпочтительный вид. Если некоторые из ограниче- ний-равенств имеют предпочтительный вид, то в них не следует вводить искусственные переменные.

Теорема. Если в оптимальном плане x = (x1; x2; ; xn ; ω1; ω2; ; ωm )

198