Решение. Заменив знаки неравенств на знаки равенств, получим систему уравнений четырех прямых:

3x1 + 2x2 = 9, (I)2x1 −3x2 = 8, (II)− x1 + x2 = 2, (III)

x = 5. (IV)

2

Учтем также условия целочисленности: x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.

Область решений системы неравенств является многоугольник ABCD.

4.11.4 Графический метод решения задач линейного программирования

Требуется среди всех неотрицательных решений системы (5) x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 (7) выбрать такое, которое обращает линейную форму (6) в минимум.

Область решений систем (5), (7) есть некоторая выпуклая многоугольная область на плоскости.

Приравняем выражение для Z какой-либо постоянной

(8)

Уравнение (8) на плоскости определяет прямую линию, в точках которой функция принимает одно и то же фиксированное значение, а именно: С. Такая прямая называется прямой уровня функции Z, отвечающей значению С. Если для Z принять другую постоян-

191

ную, получим другую линию уровня. Равенство (8) геометрически представляет собой семейство параллельных прямых. Будем перемещать прямую MN параллельно самой себе в направлении увеличения Z (или в направлении уменьшения Z, если требуется вычислить минимум линейной формы).

При этом возможны два случая. Параллельное перемещение приводит прямую в такое положение, что у нее окажется одна общая точка с многоугольником – вершина. Координаты точки В дают максимум функции (6). Может оказаться, что прямая будет параллельна одной из сторон многоугольника. В таком случае экстремум достигается во всех точках соответствующей стороны ВС многоугольника.

Графическим методом можно решить задачу линейного программирования с n > 2 переменными, если в ее канонической записи число неизвестных n и число линейно независимых уравнений m связаны соотношением n −m ≤ 2 . В этом случае каноническую форму задачи преобразовывают в симметричную, которая будет содержать не более двух переменных. Решая эту задачу графически, находят два компонента оптимального плана. Подставляя их в ограничения задачи, определяют и остальные компоненты.

Пример. Задача о диете.

Для сохранения здоровья и работоспособности человек должен потреблять в сутки некоторое количество питательных веществ: белков, жиров, углеводов, воды и витаминов. Запасы их в различных видах пищи Пi (i=1, 2, …) неодинаковы. Ограничимся, например, двумя видами пищи, в которой количество каждого вещества в единице пищи представлено в таблице:

192

Стоимость единицы пищи вида П1 20 центов, вида П2 30 центов. Требуется так организовать питание, чтобы стоимость его была наименьшей, но организм получил не менее минимальной суточной нормы питательных веществ всех видов.

Решение. Обозначим через x1 количество пищи П1, а через x2 – количество пищи П2, принятие которой должно сохранить здоровье и работоспособность человека при минимальной цене пищи. Так как стоимость единицы пищи вида П1 20 центов, то цена от x1 единиц пищи 20 x1, а цена вида П2 пищи 30 x2, то общая цена задается линейной формой Z=20x1+30x2. Переменные x1 и x2 не могут быть произвольными. Во-первых, x1 и x2 не должны быть отрицательными. Во-вторых, организм не должен принимать меньше, чем минимальную норму питательных веществ. Поэтому получает ограничения

Мы пришли таким образом, к следующей задаче: минимизировать линейную форму Z=20x1+30x2 при условиях (9). Чтобы решить поставленную задачу, построим выпуклый многоугольник, соответствующий системе неравенств (9). С этой целью на плоскости x1Ox2 построим прямые линии:

x1 +5x2 =10, (I)3x1 + 2x2 =12, (II)2x1 + 4x2 =16, (III)2x1 + 2x2 =10, (IV)

x =1. (V)

1

Областью решений данной системы неравенств (9) является неограниченная фигура. Точки А, В, С являются вершинами полученной области решений. Их координаты:

193