4.8.6 Метод хорд

Сущность метода состоит в замене кривой y = f (x) хордами, проходящими через концы отрезков, в которых f (x) имеет противоположные знаки.

Итерационный процесс строится так:

Метод является двухшаговым, т.е. для получения следующего приближения нужно знать значения f (x) в двух точках, и требует, чтобы один конец отрезка, на котором ищется корень, был неподвижен. В качестве неподвижного конца выбирается тот конец, для которого знак f (x) совпадает со знаком ее второй производной f ′′(x) . Тогда последовательные приближения хn лежат по ту сторону корня, где f (x) имеет знак, противоположный f ′′(x) .Сходимость метода хорд – односторонняя и монотонная. Так как на каждом шаге итерационного процесса за приближенное значение корня xn+1 принимается корень интерполяционного многочлена первой степени, то метод хорд называется еще методом линейной интерполяции.

Если в методе секущих (4) вместо точки xn−1 взять х0 получим метод хорд.

4.9 Итерационные методы решения систем нелинейных уравнений

Система нелинейных уравнений с р неизвестными имеет вид

Для решения такой системы в редких случаях можно применить метод последовательного исключения неизвестных, который приводит решение системы к решению одного нелинейного уравнения с одним неизвестным с последующей подстановкой.

173

В(-4, -1), С(-1, 2), D(-1, -2).

Однако в подавляющем большинстве случаев нелинейные системы решают итерационными методами. Будем предполагать существование изолированных решений нелинейных систем.

4.9.1 Метод простой итерации

Метод простой итерации применим к системам, которые предварительно приведены к

виду:

(3). Для получения условий сходимости метода итераций введем в р-мерном векторном про-

174

странстве какую-либо норму (например, кубическую, октаэдрическую или сферическую).

Теорема. Пусть для уравнения (3) и начального приближения x0 выполнены условия:

где 0<q<1;

2) Φ(x0 ) − x0 ≤ (1−q)δ.

Тогда уравнение (3) в сфере (6) имеет единственное решение x , к нему сходится последовательность (5) и погрешность метода оценивается неравенством

Сходимость метода итераций считается хорошей, если q ≤ 12 .

Приведем достаточное условие, обеспечивающее выполнение неравенства (7) в кубической норме. Сфера (6) в кубической норме является р-мерным кубом с центром в точке

с точностью ε=10-3.

Решение. Графически отделяем корни системы. Из рисунка видно, что корень единственный и расположен в квадрате x ≤ 0,5, y −0,5 ≤ 0,5 .

175

Преобразуем данную систему к виду

x = 0,5sin 0,5(x − y) ≡ ϕ1(x, y),y = 0,5cos0,5(x + y) ≡ ϕ2 (x, y).

Убеждаемся, что неравенство (10) выполнено с q ≤ 12 . За начальное приближение возьмем x0 = 0, y0 =12 . Дальнейшие вычисления сведены в таблицу

Ответ: x = −0,161, y = 0,493 .

176

Функции ϕ1(x, y) и ϕ2 (x, y) называются итерирующими. Алгоритм решения задается

где x0 , y0 – некоторое начальное приближение.

Теорема. Пусть в некоторой замкнутой окрестности R(a ≤ x ≤ A, b ≤ y ≤ B) имеет-

где М – наибольшее из чисел q1, q2 , входящих в неравенства (14) или (15). Сходимость ме-

следовательных приближениях совпадают, скажем, первые три десятичных знака после запятой, то ошибка последнего приближения не превосходит 0,001.

177