Как видно их этого примера, не при любом представлении уравнения (1) в форме (2) метод итераций будет сходиться. Успех зависит от правильного выбора функции ϕ(x) . Ее производная вблизи искомого корня по абсолютной величине должна быть по возможности меньше.

Практический критерий сходимости (когда надо прекращать итерации)

Если −1 < ϕ′(x) < 0 для любых x [a,b], то корень уравнения ξ находится между двумя последующими итерациями xn и xn+1. В этом случае итерации нужно прекращать, если два последующих приближения xn и xn+1 совпадают между собой с заданной точностью ε. Если же 0 < ϕ′(x) <1 для любых x [a,b], то последовательность (xn ) сходится к ξ монотонно, вблизи корня итерации сходятся примерно как геометрическая прогрессия со знаменателем

4.8.4. Метод Ньютона (метод касательных)

168

Сходимость метода Ньютона

Метод Ньютона можно рассматривать как частный случай метода итерации при

метод простой итерации всегда сходится, если начальное приближение х0 принадлежит этой ε-окрестности. Поэтому и метод Ньютона всегда сходится, если начальное приближение х0 взято достаточно близко к корню. Если же f (x) f ′′(x) < (f ′(x))2 , то метод Ньютона сходится для любого начального приближения.

Получим другие условия сходимости метода Ньютона.

Теорема. Если f ′(x) и f ′′(x) на отрезке [a,b], содержащем единственный корень уравнения (1), сохраняют определенные знаки, то метод Ньютона всегда сходится, если начальное приближение x [a,b] и удовлетворяет условию

Покажем, что в этом случае элементы итерационной последовательности xn, вычисляемые по формулам (2), монотонно возрастают и принадлежат отрезку [x0, x *].

169

Предположим, что xn [x0, x*]. Покажем, что xn ≤ xn+1 ≤ x . Из (2) следует, что

170

будет сходиться к корню уравнения. В таблице помещены результаты реализации этого итерационного процесса с контролем окончания итераций по формуле (11) из предыдущего параграфа

4.8.5 Метод секущих

В методе Ньютона на каждом шаге нужно вычислять значения функции и производной. Вычисление f ′(x) может быть трудоемким. Можно вообще избежать вычисления производной, если заменить ее первой конечной разностью, найденной по двум последним итерациям.

Геометрически это означает, что касательная заменяется секущей. В этом случае ите-

171

В данном процессе для вычисления очередного приближения необходимо знать два предыдущих. Процесс является примером двухшагового метода.

Скорость сходимости метода секущих вблизи корня определяется соотношением

Отсюда видно, что в методе Ньютона ошибка убывает быстрее, поскольку у него скорость сходимости квадратичная. Однако в методе Ньютона приходится считать как значения функции, так и значения производной, а в методе секущих – только значения функции.

172