x = b +2 a + b −2 a t .

Тогда формула Гаусса будет иметь вид

где f (x) – заданная функция, непрерывная в некотором конечном или бесконечном интервале. Число ξ называется корнем уравнения (1), если f (ξ) = 0. Вычисление корней состоит из нескольких этапов. Вначале определяют, какие корни требуется найти, например, только действительные или только положительные и т.д. Затем выделяют области, содержащие по одному корню уравнения (1). Далее, применив какой-либо вычислительный алгоритм, находят выделенный корень с требуемой точностью. На заключительном этапе проводится про-

162

верка полученных результатов.

4.8.1. Отделение корней

Для отделения корней часто применяют теорему Больцано-Коши: Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a,b] и на его концах принимает значения разных знаков ( f (a) f (b) < 0) , то внутри отрезка [a,b] существует по крайней мере один корень уравнения

(1).

Для отделения корней можно использовать график функции y = f (x) . Корнями уравнения (1) являются те значения х, при которых график функции y = f (x) пересекает ось абсцисс. Построение графика функции даже с малой точностью дает обычно представление о

163

оно имеет не более трех различных корней.

4.8.2 Метод деления отрезка пополам

Пусть на отрезке [a,b] имеется только один корень, f (x) – непрерывная функция и f (a) f (b) < 0 . Очевидно, что середина отрезка служит приближением к корню уравнения (1)

выбирается та половина отрезка, на концах которой функция f (x) принимает значения разных знаков, и деление повторяется. Если требуется найти корень с точностью δ, то деление отрезка пополам продолжается до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше 2δ. Тогда середина последнего отрезка даст значение корня с требуемой точностью. В этом методе можно не вычислять значений функции f (x) , достаточно лишь определить знак значения

функции. Обозначим погрешность на n-м шаге εn = xn − x* , где х* – точное значение корня,

тогда погрешности на n-ом и (n+1)-м шагах связаны неравенством εn+1 ≤ 21εn , n =1, 2, , что

говорит о линейной скорости сходимости этого метода. Несмотря на невысокую скорость сходимости, алгоритм метода очень прост и надежен.

Пример. Методом деления отрезка пополам найти третий корень из предыдущего примера с точностью до ε=0,1.

Решение. Дано

Выбираем [1,875; 2]. Его длина 2–1,875=0,125, а 2ε=0,2. Поэтому x*=x3=1,875. Проведем проверку: 1,8753–3 1,875–1=0; –0,033≈0. Округляя до 0,1: 0,0=0.

164

Это можно сделать различными способами, например:

В этом случае мы будем говорить, что итерационный процесс сходится (итерации сходятся).

Геометрически метод итераций можно проиллюстрировать следующим образом. Построим графики функций y = x и y = ϕ(x) .

Корнем уравнения (2) будет абсцисса точки пересечения этих графиков. Пусть мы выбрали начальное приближение x0 . Из точки x0 на оси абсцисс восстановим перпендикуляр до пересечения с графиком кривой y = ϕ(x) . Обозначим эту точку через А0. Через А0 проведем прямую, параллельную оси Ох и точку ее пересечения с прямой y = x обозначим через В1. Очевидно,

что абсцисса точки В1 и будет первым приближением х1. Точку пересечения прямой х = х1 и кривой y = ϕ(x) обозначим через А1. Через точку А1 проведем прямую, параллельную оси Ох

165

и точку пересечения ее с прямой у = х обозначим через В2. Абсцисса В2 будет вторым приближением корня х2 и т.д. Отметим, что приближение к корню происходит справа. Это связано со знаком производной ϕ′(x) . Здесь она положительна; если же ϕ′(x) < 0 , то ние к корню происходит попеременно: то справа, то слева. В случае, когда ϕ′(x) > 1 итерации расходятся (об этом ниже).

Выясним условия сходимости метода простой итерации.

Сходимость метода

Теорема. Если на отрезке [a,b], содержащем х0 и все последующие приближения xn ,

то итерационная последовательность (4) сходится к единственному на отрезке [a,b] корню уравнения (2).

Ряд (7) есть бесконечная геометрическая прогрессия, знаменатель которой равен положительному числу q < 1, следовательно, ряд (7) сходится. На основании неравенств (6) члены ряда (8) (начиная со второго) по модулю не превосходят соответствующих членов сходящегося ряда (7), следовательно, ряд (8) тоже сходится (причем абсолютно).

Составим частичную сумму Sn+1 ряда (8):

Sn+1= x0 + (x1 − x0 ) + (x2 − x1) + + (xn+1 − xn ) , откуда Sn+1 = хn. Так как ряд (8) сх о- дится, то существует конечный предел nlim→∞ Sn+1 = nlim→∞ Sn = ξ , причем ξ [a,b]. Из вышеска-

166

занного следует, что это число ξ есть корень уравнения (2).

Докажем, что этот корень единственный. Допустим, что существует еще корень η ≠ ξ уравнения (2), η [a,b], тогда имеем η = ϕ(η) и ξ = ϕ(ξ) , откуда после применения теоремы Лагранжа

величины q: чем меньше q, тем быстрей сходимость. Следовательно, при практическом нахождении корней методом итерации нужно стремиться представить уравнение (1) в форме

167