верные, т.к. абсолютная погрешность результата (от ошибки метода и ошибки округления) 0,0051+0,004<0,01.

4.7.3. Формула Симпсона (метод параболических трапеций)

В формуле Симпсона заменяют график функции y = f (x) на каждом отрезке разбиения не отрезками прямых, как в формулах трапеций и прямоугольников, а дугами парабол.

ляем значения подынтегральной функции y = f (x) : y0, y1, y2, , y2n−2, y2n−1, y2n .

Заменяем каждую пару соседних элементарных криволинейных трапеций с основаниями, равными h, одной элементарной параболической трапецией с основанием, равным 2h. На отрезке [x0; x2 ] парабола проходит через три точки (x0; y0 ) , (x1; y1) , (x2; y2 ) . Площадь этой элементарной параболической трапеции можно вычислить по формуле

158

причем f IV (x) ≤ M4 , при a ≤ x ≤ b , то для погрешности R в формуле Симпсона (8) справед-

лива оценка

x0 = 0, x1 = π8 , x2 = 28π, x3 = 38π, x4 = 48π = π2 .

По формуле (9)

π

∫2 cos x dx =1,000.

0

Формула Ньютона (правило трех восьмых)

159

+ 3(y1 + y2 + y4 + y5 + + y3m−2 + y3m−1)],

где

h = b −n a = b3−ma .

Остаточный член имеет вид

Если функция y = f (x) задана таблично и ее производные найти затруднительно, то в предположении отсутствия быстро колеблющихся составляющих можно применять приближенные формулы для погрешностей, выраженные через конечные разности.

Для формулы трапеций Rn ≈ − b12−a ∆2 y ;

для формулы Симпсона Rn ≈ − b180−a ∆4 y ;

для формулы Ньютона Rn ≈ − b80−a ∆4 y .

Правило Рунге (двойной пересчет)

На практике, чтобы не проводить оценку модуля производной высокого порядка, поступают так: вычисляют определенный интеграл по выбранной формуле с шагами h1 и

h2 = h21 , и приближенно находят ошибку численного интегрирования с помощью соотно-

ближенные значения определенного интеграла, найденные по выбранной квадратурной фор-

муле с шагами, равными h1 и h2 = h21 соответственно.

Заметим, что если определенный интеграл вычислялся дважды по формуле Симпсона с шагами h1 и h2 = h21 , то ошибку численного интегрирования можно находить с помощью приближенной формулы

160

Если заданная точность после этих вычислений окажется недостигнутой, то шаг интегрирования еще раз уменьшаем вдвое и т.д.

4.7.4 Квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности (квадратурные формулы Гаусса)

Квадратурные формулы Гаусса имеют вид

Формула (13) имеет 2n параметров Ai и xi , поэтому при помощи выбора их можно сделать равенство точным для всяких алгебраических многочленов степени 2n −1 или, что

Неудобство применения квадратурной формулы Гаусса состоит в том, что абсциссы xi и Ai , вообще говоря, иррациональные числа. Этот недостаток искупается ее высокой точностью при сравнительно малом числе узлов интегрирования. В тех случаях, когда подынтегральная функция сложна и на вычисление ее значений в каждом узле интегрирования требуется много времени, применение формулы Гаусса особенно выгодно.

Получить оценку погрешности результата, используя формулу остаточного члена, для формул Гаусса удается очень редко, так как это связано с вычислением производных высоких порядков от подынтегральной функции.

b

При вычислении интеграла ∫ f (x) dx следует сделать замену переменной

a

161