Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Вычислительная математика.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

3.89 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 / 8241 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 > Следующая >>>


y′′			1	+ 2y′′						1					+		1				+			y′′			1			=			6		1−2				−		2 −1
y′′				+ 2y′′											+						+			y′′						=			6						−
1			4					2		4							4								3		4									1						1
			4							4							4										4									1						1
																																				4						4
1									1																									y1′′= 0, y3′′ = 0 y2′′ = −48. Из формулы (9)
4 y1′′+ y2′′								+	4 y3′′ = −48. Из (7)																									y1′′= 0, y3′′ = 0 y2′′ = −48. Из формулы (9)
						y	2	− y												h									h																			1
y1′			=				2			1		− y2′′							6			− y1′′							3									y1′		= 4 +							48				=		6
y1′			=				h					− y2′′										− y1′′																y1′		= 4 +							48	24			=		6
							h																																									24
						y2		− y0													h									h																				1
						y2		− y0													h									h																				1
y2′			=					h						− y3′′							6		− y2′′							3						y2′				= −4						+ 48			12			= 0
								h													6									3																			12
Из формулы (10)
		1												′															′′			(x − x1)2													′′			′′			(x − x1)3
																																(x − x1)2
S			(x) = y													(x − x								)	+ y															+(y																,
		3						1					1								1							1								2									2			1					6h
																																		(x − x2 )2																			(x − x2 )3
		2						y2 + y2′ (x − x2 ) + y2′′																										(x − x2 )2									+(y3′′ − y2′′)										(x − x2 )3
S3			(x) =																																																						,
S3			(x) =																																		2																	6h			,
																																					2																	6h
откуда
																				x			3
S31(x) =1+6x −48																				x						=1+6x −32x														3,
S31(x) =1+6x −48																								1		=1+6x −32x														3,
																				6 4
																				6 4
																																							3
																																	x			− 1			3
											48										1				2								x			− 1																	1	2				1 3
		2	(x) =					2	−		48							−			1				2												4																1	2	+			1 3
S		2	(x) =					2	−				2			x		−			4				+ 48												4				= 2 −24 x −														+	32 x −		.
		3											2								4														6		1																4					4
																																			6		4
																																					4
Искомый кубический сплайн
								1																							3		, 0 ≤ x							≤		1
							S3 (x) =1+6x −32x																										, 0 ≤ x							≤		4
S		(x)			=																																					4
S	3	(x)			=																									1			2											1		3				1					1
	3						S		2	(x)					= 2															1			2									−		1		3				1		≤ x ≤			1	.
							S		2	(x)					= 2				−24 x −																	+32 x						−				,						≤ x ≤				.
								3																						4														4						4					2
																														4														4						4					2

Для вычисления значения S3 (x) в точке х=0,35, замечаем, что 14 < 0,35 < 12 , и исполь-

зуем для вычисления полином S32 (x) :

S3 (0,35) = S32 (0,35) = 2 −24(0,1)2 +32(0,1)3 =1,792 .

4.7 Численное интегрирование

Пусть требуется найти определенный интеграл от непрерывной функции f (x) . Если можно найти первообразную F(x) функции f (x) , то по формуле Ньютона-Лейбница

153

∫ f (x) dx = F(b) − F(a) . Но отыскание первообразной бывает иногда весьма сложным; кроме

того, как известно, не для всякой непрерывной функции ее первообразная выражается через элементарные функции. Подынтегральная функция может быть задана графически или таблично. В этих случаях прибегают к численным методам.

4.7.1 Формулы прямоугольников

Исходя из геометрического смысла определенного интеграла он численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции. Разобьем основание этой трапеции, т.е.

отрезок [a, b], на n равных частей длины h = b −n a = xi − xi−1 , i =1,2, ,n .

На левой границе каждого такого отрезка построим ординату yi = f (xi ), i = 0,1, ,n −1.

Тогда ∫ f (x) dx ≈ h(y0 + y1 + + yn−1).

Это – формула левых прямоугольников. Выбирая ординату на правой границе, получим формулу правых прямоугольников:

∫ f (x) dx ≈ h(y1 + y2 + + yn ).

На практике чаще применяется формула средних прямоугольников, когда ордината

выбирается в середине каждого отрезка [x

, x

]: y

= f (c ), : c

xi−1 + xi

, i =1,2, ,n :

i−1

b − a

+ x

∫ f (x) dx ≈ h(y1 + y2

+ + yn ) =

∑ f

i−1

(1)

i=1

Абсолютная погрешность приближенного равенства (1) оценивается неравенством

≤

(b −a)3

(2)

24n2

′′

на отрезке [a,b].

где M 2 – наибольшее значение

f (x)

Отметим, что для линейной функции

f (x) = kx + b формула (1) дает точный ответ, по-

′′

скольку в этом случае f

(x) = 0 .

Пример. Вычислить методом средних прямоугольников с погрешностью, не превы-

шающей 0,01, интеграл ∫

1+ x

154

Решение.

Сначала определим, на какое число частей n следует разбить отрезок интегрирования [0,1], чтобы получить заданную точность. Найдем n из формулы (2):

		f (x) =				1		, f	′				1	: f	′′		=			2			M 2 = 2 .
									′						′′
					1+ x				(x) = −			(1+ x)2			(x)				(1+ x)3
					1+ x							(1+ x)2							(1+ x)3
		2		1		≤	1		n2 ≥			25	, т.е. для вычисления интеграла с заданной погрешностью
			24n2			100						3
можно принять n = 3. Шаг разбиения																b −a		=		1−0		=		1	. Вычислим значения		yk =	1	, где
																n					3			3				1+ck
ck	=	xk−1 + xk			, k =1,2,3 и поместим их в таблицу
ck	=				, k =1,2,3 и поместим их в таблицу
	2

													k							ck						yk
													1							1					6
													1							6					7
																				6					7
													2							3					6
													2							6					9
																				6					9
													3							5						6
													3							6					11
																				6					11
		Имеем
	3					478			1	dx		1	0		478
		∑yk =				231		∫			≈ 3		∑yk =		693		= 0,6897
		∑yk =				231		∫		1+ x	≈ 3		∑yk =		693		= 0,6897
		k=1							0				k=1

Rn ≤ 2 241 9 = 1081 = 0,0093 .

Квадратурные формулы Ньютона-Котеса

При выводе формул используется следующая идея: подынтегральная функция f (x)

заменяется ее интерполяционным многочленом, например, Лагранжа L(x) и затем ∫ f (x) dx

заменяется на ∫L(x) dx .

	a
		n		ωk (x)			n
Т.к.	L(x) = ∑yk			ωk (x)		, где ωk (x) = ∏(x − x j ), то
Т.к.	L(x) = ∑yk		ωk (xk )			, где ωk (x) = ∏(x − x j ), то
	k=0		ωk (xk )				j=0
							j≠k
b	b	n			ωk (x)
∫ f (x) dx = ∫		∑yk			ωk (x)		dx или
∫ f (x) dx = ∫		∑yk			ωk (xk )		dx или
a	a k=0				ωk (xk )

155

b						n
∫ f (x) dx = ∑Ak yk + R										(3)
a					k=0
где
		b	ωk (x)						k = 0,1,2, ,n .	(4)
Ak	=	∫						dx,
Ak	=	∫	ω	k	(x	k	)	dx,
		a		k		k
Формула (3) называется формулой интерполяционных квадратур. Числа										Ak называ-

ются коэффициентами квадратурной формулы, R-погрешность квадратурной формулы. В случае равноотстоящих узлов формула (3) называется формулой Ньютона-Котеса. Наиболее простые из формул такого типа приводится ниже.

4.7.2. Формула трапеций

На каждом частичном отрезке криволинейная трапеция заменяется обычной. Тогда площадь всей криволинейной трапеции приближенно равна сумме площадей обычных тра-

пеций с основаниями yi , yi+1 и высотой h = b −n a :

+ y

∫ f (x) dx ≈

h +

h + +

n−1

h = h

+ y1 + y2

+ + yn−1

(5)

Выведем формулу оценки погрешности для метода трапеций. Вначале рассмотрим Rn для n =1 и узлов x0 , x1 .

R1 = ∫( f (x) − L(x)) dx .

Используя формулу для оценки погрешности интерполяционного многочлена Лагранжа, получим

	f (x) − L(x)								≤		M 2					(x − x			0	)(x − x )				при				x [x	0	, x ]
											M 2

											2											1									1
											2
	f (x)			− L(x)					≤		M		2			(x − x0 )(x1−x),									′′		≤ M 2
											M		2

											2														f	(x)
											2												замена			x − x0 = t
					M 2			x1(x − x							)(x −x)dx, =

	R	≤																					обозначим					x − x			= h	=

				2
	1			2			x∫						0				1											1		0
							0																x1 − x = x1 − x0 −(x − x0 ) = h −t
							0
	h										h			2			t3	h			h3
												t				−				=		.

= ∫t(h −t) dt =											2						3	0			6
0											2						3	0			6
Т.о.			R			≤		M2		h3																						(6)
								M2

				1			12
							12

156

Теорема (об оценке погрешности общей формулы трапеции). Пусть функция f (x)

дважды непрерывно дифференцируема на [a,b] причем

′′

≤ M 2 при a ≤ x ≤ b , тогда для

f (x)

погрешности формулы (5) справедлива оценка

≤

(b − a)3

(7)

12n2

Доказательство.

y0 + y1

y1 + y2

yn−1 + yn

Rn = ∫ f (x) dx −

h −

h − −

h =

+ y

n−1

+ y

∫ f (x) dx −

+ ∫ f (x) dx −

h +

∫ f

(x) dx −

h .

xn−1

y0 + y1

y1 + y2

≤

∫1 f (x) dx −

∫2 f (x) dx −

+ +

∫n f (x) dx − h

(yn−1 + yn )

xn−1

Отсюда из формулы (6) и т.к. h = xk+1 − xk , k = 0,1,2, ,n −1 имеем

≤

M 2

h3 +

M 2

h3 + +

M 2

h3 . Здесь n слагаемых

≤

M 2

h3n , т.к.

h =

b −a

по-

лучаем формулу (7). Теорема доказана.

Пример. Вычислить ∫2 cos x dx по формуле трапеций при n = 8 и оценить погрешность

результата.

b −a

π −0

Решение. По условию

n = 8 h =

и поэтому промежуток

разбиваем

на

n = 8

равных

частей

точками:

0; x

; x

2π;

x3 = 163π; x4 = 164π; x5 = 165π; x6 = 166π; x7 = 167π; x8 = 168π = π2 .

По формуле (5)

cos x8

∫cos x dx ≈

cos x0

+ ∑cos xk +

≈ 0,99678.

k=1

Оценку погрешности проведем по формуле (7).

f (x) = cos x

′

′′

≤1 M 2

(x) = −sin x f (x) = −cos x

f (x)

157

<<< < Предыдущая 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 / 8241 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20251.81 Mб0Высшая математика. В 7 ч. Ч. 6. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы.pdf
#
24.11.20251.03 Mб2Высшая математика. В 7 ч. Ч. 7. Элементы теории поля.pdf
#
24.11.20252.2 Mб2Высшая математика. Курс лекций для студентов инженерно-технических и экономических специальностей, 1 семестр.pdf
#
24.11.20252.48 Mб2Высшая математика. Ряды, теория функций комплексного переменного, операционное исчисление.pdf
#
24.11.20252.97 Mб0Высшая математика.pdf
#
24.11.20253.89 Mб3Вычислительная математика.pdf
#
24.11.20251.7 Mб0Вычислительная техника и программирование. В 2 ч. Ч. 1. Программирование в среде TURBO PASCAL 7.0.pdf
#
24.11.20252.22 Mб0Вяжущие вещества.pdf
#
24.11.20252.02 Mб0Гiсторыя Беларусi метадычныя рэкамендацыi для падрыхтоўкi к практычным заняткам.pdf
#
24.11.20251.6 Mб0Гісторыя Беларусі ў кантэксце сусветнай цывілізацыі.pdf
#
24.11.20251.7 Mб0Гісторыя Беларусі.pdf