чений функции sin x . Оценить погрешность интерполирования.

Решение. Разности первого порядка примерно постоянны, поэтому для приближенного вычисления sin1,175 применим линейную интерполяцию. Т.к. x =1,175, то выбираем узлы x0 =1,17, x1 =1,18 .

y = sin x y′′ = −sin x y′′ ≤1 и поэтому можно положить M 2 =1 и, тогда из формулы (13) получим

sin1,175 −0,9227 ≤ 0,5(1,175 −1,17)(1,175 −1,18) = 0,5 25 10−6 <13 10−6 < 50 10−6 = = 0,5 10−4

Итак, sin1,175 ≈ 0,9227 , причем все цифры числа 0,9227 верные.

4.6 Многочлены Чебышева на отрезке [-1, 1]. Интерполирование сплайнами

Ранее рассматривалось интерполирование по равноотстоящим значениям аргумента. Существуют такие таблицы узлов, что соответствующие им интерполяционные про-

цессы сходятся равномерно на отрезке [а, b] к f(x) для всякой функции f(x), абсолютно непрерывной на [а, b].

Таким свойством обладает, например, таблица, у которой узлами интерполирования являются корни многочлена Чебышева первого рода степени п. Для отрезка [-1, 1] многочлен Чебышева есть Tn (x) = cos(narccos x) и корни его имеют значения

Многочлены Чебышева обладают всеми свойствами как рядов Фурье, так и ортого-

146

нальных многочленов, они и являются, в сущности, функциями Фурье cos nϕ, замаскированными простым преобразованием переменной ϕ = arccos x .

Обозначение Tn (x) происходит от французского написания фамилии Чебышева

(Tschebycheff).

Покажем, что Tn (x) – многочлен. По формуле Муавра cos nϕ+isin nϕ = (cosϕ+isin ϕ)n .

Это свойство представляет большой интерес в численном анализе. Если какая-либо

147

ошибка может быть выражена многочленом Чебышева степени п, то любое другое выражение для ошибки в виде многочлена степени п, имеющего тот же самый старший коэффициент, будет иметь на интервале −1 ≤ x ≤1 большую максимальную ошибку, чем чебышевское. В соответствие с этим, «чебышевским приближением» называют такое, при котором стремятся свести к минимуму максимум ошибки. Иногда это называют «принципом минимакса». Приближение в смысле наименьших квадратов уменьшает среднюю квадратичную ошибку, но при этом допускает отдельные большие ошибки; чебышевское – уменьшает экстремальную ошибку, допуская большое среднеквадратичное отклонение.

Многочлены Чебышева для произвольного отрезка [a, b] получаются из Tn (x) при помощи линейного преобразования x′ = 12 (b + a) + 12 (b − a)x , переводящего [-1, 1] в [a, b].

Интерполирование сплайнами

Узлы, близкие к корням многочленов Чебышева, не всегда удобно, а иногда и невозможно применять в практике интерполирования.

Возрастание степени интерполяционного многочлена далеко не всегда приводит к улучшению приближенного представления функции на всем отрезке [a, b]. Часто бывает выгодно разбивать отрезок [a, b] на части и приближать y = f (x) на частях отрезка интерполяционными многочленами невысоких степеней.

Пусть функция f (x) определена на отрезке [a, b] и известны ее значения в системе узлов a = x0 < x1 < < xn = b . Назовем функцию Sm (x) , являющуюся многочленом степени

т на каждом из отрезков [xn−1, xn ], интерполяционным сплайном порядка т для функции f (x) , если выполнены следующие условия:

S (k) [x 1, x ]= S (k) [x , x 1], k =1,2, ,m −1,

m n− n m n n+

т.е. в узлах интерполирования должны совпадать как сами Sm (x) , слева и справа, так и их производные до порядка т–1. Если т ≥ 2, то для единственности Sm (x) следует задать дополнительно еще т–1 условий, которые обычно задаются на концах отрезка [a, b], либо произвольно, либо из дополнительной информации о поведении f (x) . Например, так называемый естественный кубический сплайн удовлетворяет дополнительным условиям

S3′′(x0 ) = S3′′(xn ) = 0.

Описанное сейчас интерполирование может быть названо сглаженным кусочным ин-

148

терполированием, но его часто называют сплайн-интерполированием, используя английский термин. Сплайном называется гибкая деревянная рейка, позволяющая плавно соединять дуги разных кривых и по своей роли аналогичная лекалу.

Равенства (2), (3) дают только пять соотношений для этих шести коэффициентов, так что для однозначного определения f (x) требуется дополнительное условие. Обычно указывается

значение f ′(x) в некотором узле, например (S21 (x1))′ = d1 , где d1 – некоторое заданное значение. Шесть соотношений (1), (2), (3) представляют собой просто систему шести линейных уравнений относительно коэффициентов полиномов S2i (x), i =1, 2 , которая может быть решена методом гауссова исключения.

Этот подход легко распространяется на произвольное число узлов.

При аппроксимации решений дифференциальных уравнений оказывается желательным, чтобы аппроксимирующие функции были, по крайней мере, дважды непрерывно дифференцируемыми. Этого нельзя добиться с помощью кусочно-квадратичных полиномов, за

149

исключением случая, когда данные таковы, что их можно аппроксимировать одним квадратичным полиномом на всем интервале. Таким образом, приходим к рассмотрению кусочно-

что дает n дополнительных соотношений. Нам нужно еще два условия, их можно выбрать из самых разных соображений. Для естественного кубического сплайна

относительно неизвестных коэффициентов в (4). Существует, однако, другой подход, приводящий к простой трехдиагональной системе уравнений, в которой неизвестными являются значения вторых производных S3 (x) в узлах сетки. Саму функцию S3 (x) мы можем затем определить с помощью интегрирования. Чтобы прийти к этой трехдиагональной системе, нужно выполнить целый ряд преобразований, которые мы вынуждены опустить и привести готовые результаты.

Для удобства в дальнейшем будем пользоваться обозначениями:

150

Матрица этой системы является трехдиагональной, диагонально доминирующей, симметричной и положительно определенной. Следовательно, она легко решается методом

необходимо определить отрезок [xi , xi+1], в котором лежит точка x , и затем воспользоваться выражением для соответствующего полинома S3i (x) .

Примеры. Пусть заданы следующие узлы и соответствующие значения функции

Построить интерполяционные сплайны: 1) первого, 2) второго, 3) третьего порядка; вычислить значение f (x) при x = 0,35.

Решение.

1)S11(x) = a1x +b1 S12 (x) = a2 x +b2

Должны выполняться соотношения

151

152