Все эти равносильности вытекают из соответствующих тавтологий. По-другому убедиться в справедливости вышеприведенных (и других) равносильностей можно, сравнив таблицы истинности их левой и правой частей. Кроме того, некоторые равносильности могут быть получены из других путем тождественных преобразований. Например, из 1 и 8 следует

9.

Действительно, в 8 заменим А и В на А и В. Получим ( А В≡A B≡A B, откуда

( A B)≡(A B) A B≡(A B) 9.

1.2Булевы функции

1.2.1Понятие булевой функции. Число булевых функций от n переменных

это функция, переменные которой x1, x2, , xn могут принимать только значения 0 или 1; сама булева функция также может принимать только значения 0 или 1.

Булева функция может быть задана с помощью таблицы значений (таблицы истинности), в которой перечисляются все возможные наборы (σ1,σ2, ,σn ) значений переменных и указываются соответствующие им значения функции – f (σ1,σ2, ,σn ).

2n строчек. Поэтому и столбец значений в правой части таблицы также имеет 2n элементов.

13

Можно считать, что порядок перечисления бинарных наборов (σ1,σ2, ,σn ) в левой части таблицы фиксирован для всех булевых функций. Тогда различные булевы функции отличаются лишь столбцами значений, а их количество равно числу различных бинарных столбцов длины 2n, которое очевидно равно 22n .

1.2.2 Элементарные булевы функции. Представление булевых функций пропозиционными формулами

Помимо таблицы истинности булевы функции можно задавать пропозиционными формулами, т.е. формулами, в которых переменные x1, x2, , xn (понимаемые как элементарные высказывания), а также, возможно, числа 1 и 0 («истина», «ложь») связаны логическими операциями. При этом могут использоваться также скобки для указания порядка выполнения операций.

Булевы функции, соответствующие отдельным логическим операциям, называют элементарными. Перечислим некоторые из них:

1.f1(x)= 0 (нуль-функция);

2.f2(x)=1 (один-функция);

3.f3(x)= x (отрицание x; x означает x);

4.f4(x, y)= xy (конъюнкция или произведение; xy = x y );

5.f5(x, y)= x y (дизъюнкция);

6.f6(x, y)= x y (импликация);

7.f7 (x, y)= x y (эквиваленция);

8.f8(x, y)= x y (сумма по модулю 2; таблица истинности этой функции приве-

дена в 1).

С помощью операции композиции функций из элементарных функций можно получать другие более сложные булевы функции. Заметим, в частности, что и сами элементарные функции представляются через другие элементарные. Например, x y = x y , т.е. f8(x, y)= f3(f7 (x, y)).

Теорема 2. Всякая булева функция является композицией элементарных функций: отрицания, конъюнкции и дизъюнкции.

Доказательство. Действительно, нуль-функция представляется следующим образом: 0 = xx . Поэтому пусть далее функция f (x1, x2, , xn ) не тождественно равна 0. Рассмотрим ее область истинности, т. е. все наборы (σ1,σ2, ,σn ) такие, что f (σ1,σ2, ,σn )=1. Для ка-

14

ждого такого набора построим конъюнкцию x1σ1 , x2σ2 , , xnσn , где x1i = xi , а xi0 = x . Соединим все полученные конъюнкции знаком дизъюнкции, т. е. рассмотрим:

гда, когда (x1, x2, , xn )= (σ1,σ2, ,σn ). Таким образом, полученная формула (*) принимает

щью некоторой пропозиционной формулы, например в форме (*), которая называется со-

вершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) функции f (x1, x2, , xn ). Конъ-

юнкция нескольких переменных (возможно с отрицаниями) называется элементарной конъюнкцией. Дизъюнкция нескольких элементарных конъюнкций называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ).

На следующем примере по таблице истинности получены представления в виде

функции f (x1, x2, , xn ).

Из определения следует, что для того, чтобы получить таблицу значений двойственной функции f*, нужно в таблице значений функции f (и в части переменных, и в части значений) заменить все 0 на 1, а все 1 на 0. При этом, правда, порядок следования бина р- ных наборов (σ1,σ2, ,σn ) в левой части таблицы изменится на обратный по сравнению с

15

исходной таблицей. Чтобы его восстановить, нужно перевернуть все столбцы (в том числе и столбец значений). Таким образом, можно сформулировать следующее правило получ е- ния таблицы истинности двойственной функции f*: нужно (не меняя столбцы аргументов) в столбце значений функции f заменить все 0 на 1, а 1 на 0, и перевернуть полученный столбец.

лена в виде ДНФ, т. е. композиции отрицания, конъюнкции, дизъюнкции и (возможно)

венства (что чрезвычайно легко сделать, используя принцип двойственности), получаем другой закон де Моргана: x y = xy .

1.2.4 Совершенные конъюнктивные нормальные формы (СКНФ)

Переходя к двойственным функциям в обеих частях равенства, используя при этом

16

принцип двойственности и учитывая, что f** = f, получим

Правая часть равенства (**) называется совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ) функции f (x1, x2, , xn ).

Таким образом, выше доказано, что всякая булева функция, отличная от константы 1, представима в виде СКНФ.

Элементарной дизъюнкцией называется дизъюнкция нескольких переменных (возможно, с отрицаниями). Конъюнкция нескольких элементарных дизъюнкций называется конъюнктивной нормальной формой (КНФ).

Просматривая все «единичные» наборы переменных (при которых функция принимает значение 1), получим представление f (x, y, z) в виде СДНФ:

f (x, y, z)= xyz xyz xyz xyz .

А просматривая все «нулевые наборы», получим СКНФ: f (x, y, z)= (x y z)(x y z)(x y z)(x y z).

17