R (x)

≤

M3

ω(x)

,

(7)

2

3!

где ω(x)= (x −121)(x −144)(x −169) и число М3 такое, что

f ′′′

(x) ≤ M3 при x [121,169] .

Найдем М3. По условию f (x) =

, откуда

x

′

1

′′

1

′′′

3

.

f

(x) = 2 x

,

f

(x) = − 4x x ,

f (x) = 8x

2

x

При 121 ≤ x ≤169

′′′

′′′

3

= 0,0000021 ,

f

(x)

≤

f (121) =

8 1212

121

′′′

−6

−6

откуда

f

< 2,2

10

, следовательно, можно положить M3 = 2,2

10

. Учитывая этот ре-

(x)

зультат, из формулы (7) имеем:

R

(139)

< 2,2 10−6

(139 −121) (139 −144) (139 −169)

,

2

6

откуда

R

(139)

< 1,1 10−6

2700 = 9,9 10−4 , откуда

− L(139)

<10−3 .

139

2

3

Пусть даны равноотстоящие точки

x0 , x1 = x0 + h, x2 = x0 + 2h, , xn = x0 + nh , где

h = const > 0 и заданы соответствующие значения функции y = f (x) :

y0 , y1, y2 , , yn .

Определение. Разность yk+1 − yk (k = 0,1,2, ,n) называется

конечной разностью

первого порядка и обозначается ∆yk = yk+1 − yk .

Отсюда, в частности, ∆y0 = y1 − y0 ,

∆y1 = y2 − y1. Разности второго порядка опреде-

∆m yk = ∆m−1 yk+1 −∆m−1 yk , k = 0,1,2,

(1)

х

у

∆y

∆2 y

∆3 y

∆4 y

x0

y0

∆y0

∆2 y0

∆3 y0

∆4 y0

x1

y1

∆y1

∆2 y

∆3 y

1

1

x2

y2

∆y2

∆2 y2

x3

y3

∆y3

x4

y4

х

у

∆y

∆2 y

∆3 y

0

0

1

2

0

1

1

3

2

0

2

4

5

2

0

3

9

7

2

4

16

9

5

25

Из таблицы видим, что для функции y = x2 разность второго порядка постоянна:

∆2 y

0

= ∆2 y = ∆2 y

2

= ∆2 y

3

= 2.

1

Можно доказать, что для многочлена n-ной степени P

(x) = a

0

xn + a xn−1 + + a

n

раз-

n

1

ность n-го порядка постоянна и равна

a0 hn n!. В этом примере

∆2 yk

=1 1n 2!= 2

при

всех k.

Конечные разности могут быть выражены через значения функции

∆yn = yn+1 − yn ,

∆2 yn = ∆yn+1 − ∆yn = (yn+2 − yn−1) −(yn+1 − yn ) = yn+2 − 2yn+1 + yn

(2)

Аналогично ∆3 yn = yn+3 −3yn+2 +3yn+1 − yn .

По индукции

N(x)

= y

0

+ ∆y0

(x

− x

0

) +

∆2 y0 (x

− x

0

)(x

− x ) + +

1!h

2!h2

1

(3)

∆n y

n ∆k y

k−1

+

0

(x − x0 )(x − x1) (x − xn−1)

0

= y0 + ∑

Π (x − xi )

n!hn

k=1 k!hk

i

=0

Доказательство

проведем для

случая n = 2 ,

т.е.

покажем, что

для узлов x0 ,

x1 = x0 + h ,

x2 = x0 + 2h

и соответствующих значений y0 , y1, y2

интерполяционный много-

член степени 2 имеет вид

N(x)

= y

0

+ ∆y0

(x

− x

0

) +

∆2 y0 (x

− x

0

)(x

− x ) ,

(4)

1!h

2!h2

1

Для доказательства представим искомый многочлен в виде

N(x) = A0 + A1(x − x0 ) + A2 (x − x0 )(x − x1) ,

(5)

где A0 , A1, A2 –

постоянные числа. Задача состоит в определении чисел A0 , A1, A2 , чтобы

выполнялось условие

N(xk ) = yk , k = 0,1, 2

(6)

Для нахождения А0 положим в равенстве (5) x = x0 . Получим A0 = y0 . Для нахожде-

ния А1 положим в равенстве (5)

x = x1. Получим

N(x ) = A

+ A

(x

− x

) y = y

+ A h A =

y1 − y0

=

∆y0

.

1

0

1

1

0

1

0

1

1

h

h

Чтобы найти А2

положим в (5)

x − x2 . Получим

N(x ) = A + A (x − x ) + A (x − x )(x − x ) y

2

= y

0

+

∆y0 2h

+ A

2h h

2

0

1

2

0

2

2

0

2

1

h

2

1

1

A

=

(y

2

− y − 2∆y ) A

=

(y

2

− 2y

+ y ).

2

2h2

0

0

2

2h2

1

0

Из формулы (2)

A

=

1

∆2 y

0

.

2

2h2

число n выбирают так, чтобы разности ∆n yn

были практически постоянными.

Замечание 3.

Интерполяционный многочлен Ньютона N(x)

обычно записывают в

другой форме, более удобной для практики.

Введем вспомогательную функцию q =

x − x0

, тогда x = x0 + hq , x − x0 = hq , откуда

h

x − x1 = x −(x0 + h) = (x − x0 ) −h = hq −h = h(q −1) .

Аналогично

x − x2 = (q −2)h, , x − xn−1 = (q −(n −1))h .

(7)

Применяя формулу (7) из (3) получим

N(x) = y0 +

q

q(q −1)

2

q(q

−1)(q −2)

3

∆y0 +

∆ y0 +

∆ y0 + +

1!

2!

3!

(8)

q(q −1)(q −2) (q −n +1) n

+

∆ y0.

n!

Заметим, что в формуле используется верхняя горизонтальная строка таблицы разно-

стей.

Остаточный член Rn (x) формулы (8) имеет вид

R

(x) = hn+1 q(q −1) (q −n) f (n+1) (ξ),

(9)

n

(n +1)!

где ξ –

некоторая

внутренняя

точка

наименьшего

промежутка,

содержащего все узлы

xi (i =

0,n

) и точку х.

При наличии дополнительного узла xn+1

на практике пользуются более удобной при-

ближенной формулой

R

(x) ≈ ∆n+1 y0

q(q −1) (q −n)

(10)

n

(n +1)!