Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Вычислительная математика.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

3.89 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 3637 / 8237 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 > Следующая >>>

Условия сходимости для метода простой итерации остаются верными и для метода Зейделя. Рекомендации к применению метода Зейделя остаются теми же, что и для метода простой итерации.

4.4 Интерполирование алгебраическими многочленами. Интерполяционный многочлен Лагранжа

4.4.1 Постановка задачи

Часто при изучении некоторого процесса удается установить существование функциональной зависимости между величинами х и у, при этом функция y = f (x) может оставаться нам неизвестной, но на основании опыта мы знаем ее значения в точках x0 , x1, , xn , принадлежащих отрезку [a,b]. Найдем функцию, которая бы приближала (аппроксимировала) бы неизвестную функцию y = f (x) . Часто в качестве приближающих функций берутся многочлены. Они являются функциями простой природы: для вычисления их значений нужно выполнить конечное число арифметических операций, производная и неопределенный интеграл от многочлена являются многочленами. Существуют различные способы приближения функций многочленами. Одним из таких способов является метод интерполяции, который сводится к следующему.

Требуется построить многочлен Ln (x) степени не выше n, который в n +1 заданных точках x0 , x1, , xn , называемых узлами интерполяции, принимал бы заданные значения y0 , y1, , yn , т.е. искомый многочлен Ln (x) должен удовлетворять равенствам

Ln (xi ) = yi , i =	0, n	.			(1)
Подчеркнем, что узлы интерполирования не равноотстоящие.
Геометрически условия (1) означают, что график функции y = Ln (x)					проходит через
точки с координатами (xi , yi ) i =				.
точки с координатами (xi , yi ) i =			0, n	.

136

Многочлен Ln (x) будем искать в виде

Ln (x) = ∑Ak (x − x0 ) (x − xk−1)(x − xk+1) (x − xn )

(2)

k=0

где Ak

(k =

)

пока неопределенные коэффициенты.

0, n

Выберем их так, чтобы выполнялись равенства (1). Положив в (2) x = xk

(k =

) ,

0, n

получим

Ak (xk − x0 ) (xk − xk−1)(xk − xk+1) (xk − xn ) = yk .

Все остальные слагаемые в (2) обратятся в нуль.

Отсюда

k = 0, n.

(xk

− x0 ) (xk

− xk−1)(xk

− xk+1) (xk − xn )

Подставив значения Ak

в формулу (1), получим:

(x − x0 ) (x − xk−1)(x − xk+1) (x − xn )

Ln (x) = ∑

yk =

− x )

− x

k−1

)(x

− x

k+1

) (x

− x

)

k=0

= y

(x − x1)(x − xn ) (x − xn )

+ y

(x − x0 )(x − x2 ) (x − xn )

+ +

0 (x

− x

)(x

− x

) (x

− x

)

1 (x

− x

)(x

− x

) (x − x

+ yn

(x − x0 )(x − x1) (x − xn−1)

− x

)(x

− x

) (x

− x

−1

)

Коэффициенты имеют степень равную n, обращаются в 1 при x = xk и в 0 во всех дру-

гих узлах xi

(i ≠ k) .

Этот многочлен называется интерполяционным многочленом Лагранжа.

Покажем, что существует единственный многочлен, удовлетворяющий условиям (1).

От противного, предположим, что существует два многочлена Ln (x) и Qn (x)

степени не

выше

удовлетворяющие

условиям

(1)

Ln (xi ) = yi , Qn (xi ) = yi , i =

, т.е.

0, n

Ln (xi ) = Qn (xi ), i =

. Но в силу того, что значения многочленов Ln (x)

и Qn (x)

степени не

0, n

выше n совпадают в n +1 различных точках x0 ,

x1, , xn

они тождественны.

Интерполяционный многочлен Лагранжа можно записать в более компактной форме,

если ввести обозначение:

ω(x) = (x − x0 )(x − x1) (x − xn ).

Так как

137

ω′(x) = ∑(x − x0) (x − xi−1)(x − xi+1) (x − xn ), i=1

аω′(xk ) = ∑(xk − x0) (xk − xi−1)(xk − xi+1) (xk − xn ), i=1

n	ω(x)
Ln (x) = ∑		yn	(3)
Ln (x) = ∑	(x − xn )ω′(xn )	yn	(3)
k=0	(x − xn )ω′(xn )

4.4.2 Интерполяционная формула Лагранжа. Представление и оценка остатка

В узлах интерполирования значение функции y = f (x) и интерполяционного многочлена Лагранжа совпадают. Если же значение х не совпадает ни с одним из узлов интерполяции, то f (x) только приближенно равно Ln (x) . Обозначим через Rn (x) разность

n	ω(x)
Rn (x) = f (x) − Ln (x) f (x) = ∑		+ Rn (x)	(4)
	′
k =0(x − xk )ω (xk )

Это интерполяционная формула Лагранжа, а Rn (x) – остаточный член интерполяции. Возникает вопрос: на сколько многочлен Лагранжа близок к приближенной функции

f (x) в точках, отличных от узлов интерполирования, т.е. как велика величина Rn (x) ?

Теорема. Если функция на отрезке [a, b], содержащем узлы интерполяции дифференцируема n +1 раз, то, остаточный член интерполяционной формулы Лагранжа представим в виде

R	n	(x) = f (n+1)	(ξ)	ω(x)	, где ξ (a,b).	(5)
R		(x) = f (n+1)	(ξ)	(n +1)!	, где ξ (a,b).	(5)


Доказательство. Введем вспомогательную функцию:
ϕ(x) = f (x) − Ln (x) −k ω(x) ,
где k –	параметр, который будет определен ниже. Очевидно, что ϕ(xi ) = 0,					i =		т.е.
где k –						i =	0, n	т.е.

функция ϕ(x) на отрезке [a,b] имеет n +1 корень в узлах интерполяции. Выберем параметр k так, чтобы функция ϕ(x) имела еще один корень в любой фиксированной точке x [a,b],

отличной от узлов интерполяции. Для этого положим f (x) − Ln (x) −kω(x) = 0 .

Т.к. ω(x) ≠ 0 , то k = f (x) − Ln (x) .

ω(x)

При таком значении параметра k функция ϕ(x) на отрезке [a, b] будет иметь n+2 кор-

ня. Предположим, что число x лежит между узлами интерполяции xν и xν+1. Тогда функция ϕ(x) будет обращаться в нуль на концах каждого из n+1 отрезков

138

[x0, x1], [x1, x2 ], ,[xν, x][, x, xν+1], ,[xn−1, xn ].

По теореме Ролля производная ϕ′(x) внутри каждого из этих отрезков обращается в нуль по крайней мере один раз, т.е. ϕ′(x) имеет на отрезке [a, b] не менее n+1 корня. Применяя теорему Ролля к производной ϕ′(x) , мы получим, что вторая производная ϕ′′(x) обращается в нуль на отрезке [a, b] не менее n раз.

Продолжая эти рассуждения дальше, мы убедимся, что ϕ(n+1) (x) на отрезке [a, b] имеет по крайней мере один корень. Обозначим его ξ.

Т.к. L (n+1) (x) ≡ 0, ω(n+1) (x) = (n +1)!

как многочлены степени n и n+1 соответственно, то

ϕ(n+1) (ξ) = f (n+1) (ξ) −k(n +1)!= 0 .

Отсюда

f (n+1) (ξ) f

(

) − L

(

)

k =

(n +1)!

ω(

)

Следовательно,

) = f (n+1) (ξ)

ω(

)

f (

) − L

(

(n +1)!

Так как

[a, b]

произвольно (

≠ xi , i =

) то для всех x [a, b] и отличных от

0,n

узлов интерполяции справедливо равенство

R	(x) =	f (x) − L	(x) =	f (n+1) (ξ)	ω(x)	, ξ (a, b) .

n		n			(n +1)!

А это и есть требуемое равенство (5). Справедливость его для (x = xi ,

ет из равенств ω(xi ) = 0, Rn (xi ) = 0; i = 0,n . Из (5) следует, что для x [a, b]

	R		(x)	≤	ω(x)	M	n+1
					ω(x)

	n				(n +1)!
	n				(n +1)!
где M n+1		= max			f (n+1) (x)			.
где M n+1		= max			f (n+1) (x)			.
			[a,b]
			[a,b]

4.4.3 Практическое применение интерполяции

i = 0,n) следу-

(6)

Интерполяционные формулы обычно используются при нахождении неизвестных значений f (x) для промежуточных значений аргумента. При этом различают интерполирование в узком смысле, когда х находится между x0 и xn , и экстраполирование, когда х нахо-

139

дится вне отрезка [x0 , xn ].
В оценку (6) входит величина M n+1	= max	f (n+1)	(x)	. Вычисление ее на практике
В оценку (6) входит величина M n+1	= max	f (n+1)	(x)	. Вычисление ее на практике
	[a,b]
	[a,b]

сложно или вовсе невозможно, если функция f (x) задана таблично. Трудность этой задачи увеличивается с возрастанием n. Более того, возрастание степени интерполяционного многочлена далеко не всегда приводит к улучшению приближенного представления функции на отрезке [a, b].

При оценке погрешности результатов должны учитываться как погрешность метода интерполяции (остаточный член), так и погрешности округления при вычислениях.

Пример. Построить многочлен Лагранжа, сделать проверку результата, применить формулу (6) для вычисления абсолютной погрешности приближенного значения 139 ,

найденного с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа для функции y = x , выбрав узлы интерполирования x0 =121, x1 =144 , x2 =169 .

Решение.

121

144

169

=11

(x −144)(x −169)

+12

(x −121)(x −169)

+13

(x −121)(x −144)

(121−144)(121−

169)

(144 −121)(144 −169)

(169 −121)(169 −144)

=110411 (x2 −313x + 24336) − 57512 (x2 −290x + 20449) +120013 (x2 −265x +17424) =

=276001 (x2 (11 25 −12 48 +13 23) + x(−11 313 25 +12 290 + 48 −13265 23) +

+(11 25 24336 −12 20449 48 +13 17424 23) = 276001 (−2x2 +1730x +123552) .

Проверка:

L2 (121) = 276001 (−29282 + 29330 +123552)= 30360027600 =11 L2 (144) = 276001 (−41472 + 249120 +123552)= 33120027600 =12 L2 (169) = 276001 (−57122 + 292370 +123552)= 35880027600 =13.

В точке отличной от узлов интерполяции

L2 (139) = 276001 (−38642 + 240470 +123552)= 32538027600 =11,78913043.

На калькуляторе

140

<<< < Предыдущая 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 3637 / 8237 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20251.81 Mб0Высшая математика. В 7 ч. Ч. 6. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы.pdf
#
24.11.20251.03 Mб2Высшая математика. В 7 ч. Ч. 7. Элементы теории поля.pdf
#
24.11.20252.2 Mб2Высшая математика. Курс лекций для студентов инженерно-технических и экономических специальностей, 1 семестр.pdf
#
24.11.20252.48 Mб1Высшая математика. Ряды, теория функций комплексного переменного, операционное исчисление.pdf
#
24.11.20252.97 Mб0Высшая математика.pdf
#
24.11.20253.89 Mб3Вычислительная математика.pdf
#
24.11.20251.7 Mб0Вычислительная техника и программирование. В 2 ч. Ч. 1. Программирование в среде TURBO PASCAL 7.0.pdf
#
24.11.20252.22 Mб0Вяжущие вещества.pdf
#
24.11.20252.02 Mб0Гiсторыя Беларусi метадычныя рэкамендацыi для падрыхтоўкi к практычным заняткам.pdf
#
24.11.20251.6 Mб0Гісторыя Беларусі ў кантэксце сусветнай цывілізацыі.pdf
#
24.11.20251.7 Mб0Гісторыя Беларусі.pdf