A A−1 . Произведение A A−1 играет очень важную роль и называется числом

обусловленности матрицы А (по отношению к используемой норме); это число мы будем обозначать cond(A). Матрицы, у которых значение cond(A) велико, являются плохо обусловленными, а матрицы, у которых значение cond(A) мало, хорошо обусловленными (отметим,

что cond(A) ≥ 1).

Неравенство (18) нужно правильно интерпретировать. Если число обусловленности матрицы А мало, скажем близко к 1, то малые относительные изменения данных обязательно приводят лишь к малому изменению решения. С другой стороны, если число обусловленности велико, то малые изменения в данных могут привести к большому изменению решения, но это происходит не обязательно, а в зависимости от конкретного возмущения. На практике влияние большого числа обусловленности зависит от точности данных и длины слова используемого компьютера. Если, например, cond(A) = 106, то может быть потеряно 6 десятичных знаков, что на калькуляторе с длиной слова, эквивалентной восьми десятичным знакам, может оказаться катастрофой, а в то время как на компьютере с длиной слова в 16 десятичных знаков это может и не вызвать никаких серьезных проблем.

4.3 Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод простых итераций и метод Зейделя

4.3.1 Основные понятия

Итерационные методы (методы последовательных подстановок) дают возможность найти решение системы, как предел бесконечного вычислительного процесса, в котором по уже найденным приближениям к решению строится следующее, более точное приближение.

Преимуществом перед точными методами итерационных является их самоисправляемость. Если в точных методах ошибка в вычислениях, когда она не компенсируется случайно другими ошибками, неизбежно ведет к ошибкам в результате, то в случае сходящегося итерационного процесса ошибка в каком-то приближении может считаться новым начальным вектором и для ее исправления требуется, как правило, несколько лишних шагов единообразных вычислений.

Метод итераций очень выгоден по сравнению с прямыми методами при решении систем, у которых значительное число коэффициентов равно нулю. Такие системы появляются, например, при решении уравнений в частных производных. В итерационных методах выполняются однообразные операции и поэтому они сравнительно легко программируются.

130

4.3.2 Метод простой итерации. Описание метода

Рассмотрим систему линейных уравнений

строим итерационный процесс (метод последовательных подстановок)

или в развернутом виде

Начальный вектор x(0) может быть выбран, вообще говоря, произвольно (часто берут x(0) = f ), однако наиболее целесообразно в качестве x(0) взять приближенное значение, полученное грубой прикидкой.

4.3.3 Некоторые сведения о векторах и матрицах

Норма вектора может быть определена многими способами в зависимости от условий задачи и целей исследования, но при всяком определении она должна удовлетворять трем аксиомам общей или абстрактной нормы, определенной в предыдущем параграфе.

Рассмотрим конкретные нормы вектора. Наиболее часто применяются следующие нормы векторов:

1. Кубическая норма

x I =maxi xi

131

названа так из-за того, что множество точек действительного пространства, удовлетворяющих условию x I ≤1, образует единичный куб

−1 ≤ xi ≤1 (i =1, ,n) .

2. Октаэдрическая норма

Название связано стем, что множество векторов, для которых xII =≤1, образует n-

мерный аналог октаэдра.

3. Сферическая или евклидова норма

1

x III = i∑n1 xi 2 2 .

=

Множество векторов, для которых xIII =≤1, образует в n-мерном пространстве шар

единичного радиуса.

Нетрудно проверить, что аксиомы нормы выполняются.

Определение общей или абстрактной нормы матрицы было дано в предыдущем параграфе. Конкретные нормы матрицы А введем аналогично нормам векторов:

n

A I =maxi ∑j=1 aij

n

A II =maxj i∑=1 aij

Говорят, что норма матрицы А согласована с нормой вектора, если для всякого вектора x размерности n

Ax ≤ Ax .

Сходимость матричной геометрической прогрессии

Теорема. Если какая-либо из норм матрицы А меньше единицы, то прогрессия (4) сходится. У матрицы Е–А сущетсвует обратная и

E +A + A2 + + Am + = (E − A)−1.

132

4.3.4 Условия и скорость сходимости метода простой итерации

Теорема. Для того, чтобы последовательность (3) приближений x(k) в методе простой итерации сходилась, достаточно, чтобы какая-либо норма матрицы С была меньше единицы.

Теорема. Последовательность (3) сходится, если для матрицы С

Последовательность сходится со скоростью геометрической прогрессии. Процесс итерации заканчивают, когда указанные оценки свидетельствуют о достижении заданной точности.

4.3.5 Приведение системы (1) к виду (2)

Его можно осуществлять различными способами, важно только, чтобы выполнялось одно из условий (5) или (6). Рассмотрим один из способов.

Если диагональные элементы матрицы А отличны от нуля, т.е. aii ≠ 0 (1,2, ,n) , то

133

систему (1) можно записать в виде

В этом случае элементы матрицы С определяются следующим образом:

и тогда условия (5), (6) имеют вид:

∑n aij ≤ α ≤1 (i =1,2, ,n) (7)

j=1 aii j≠1

т.е. если модули диагональных коэффициентов для каждого уравнения системы больше суммы модулей всех остальных коэффициентов (не считая свободных членов).

Пример.

В уравнениях (I) и (II) нет диагонального преобладания, в (III) есть, его оставляем неизменным. Добьемся диагонального преобладания в уравнении (I). Для этого умножим (I) на α, (II) на β, сложим оба уравнения и в полученном уравнении выберем α и β так, чтобы было диагональное преобладание. Имеем

(2α +3β)x1 +(2β−1,8α)x2 +(0,4α −1,1β)x3 = α .

Взяв α = β = 5, получим 25x1 + x2 −3,5x3 = 5. Чтобы добиться диагонального преобла-

дания в уравнении (II), поступим аналогично: I на − γII на δ

134

(3δ−2γ)x1 +(2δ+1,8γ)x2 +(−1,1δ−0,4γ)x3 = −γ . Положив δ = 2; γ = 3, получим 0 x1 +9,4x2 −3,4x3 = −3.

В результате получим систему

в которой есть диагональное преобладание. Этот прием можно применить для широкого класса матриц. Разделим каждое из уравнений на диагональные элементы:

Метод Зейделя

Метод Зейделя является модификацией метода простой итерации. Он заключается в

135