4.2 Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений. Плохая обусловленность и анализ ошибок. Влияние погрешностей округления

единицу меньше, чем у исходной системы. К ней можно применить такое же преобразование: выбрать в ней уравнение и неизвестное с коэффициентом, отличным от нуля, привести этот коэффициент к единице, исключить неизвестное из прочих уравнений и т.д. После преобразований получится система

Приведение системы (1) к треугольному виду (3) называют прямым ходом метода Гаусса. Последнее уравнение в (3) дает значение xn , из предпоследнего уравнения находится xn−1 и т.д. Нахождение xn , xn−1, , x1 из системы (3) называют обратным ходом этого метода.

Для того, чтобы ошибки округления в процессе вычислений не привели бы к большой погрешности решения, поступают следующим образом. Всегда можно добиться, чтобы используемые в процессе исключения множители были по абсолютной величине меньше или равны единицы. Если это необходимо, то на k-м шаге метода исключения осуществляется перестановка строк, так, чтобы на главной диагонали оказался наибольший по абсолютной величине элемент из элементов k-го столбца, лежащих ниже главной диагонали и на ней са-

124

мой. Эта стратегия называется стратегией частичного упорядочивания.

Плохая обусловленность и анализ ошибок

Алгоритм гауссова исключения с частичным урорядочиванием зарекомендовал себя на практике как эффективный и надежный метод. Тем не менее, и этот алгоритм может не привести к точному решению, если система уравнений «плохо обусловлена». Говорят, что линейная система уравнений является плохо обусловленной, если малые изменения элементов матрицы коэффициентов или правых частей приводят к большим изменениям в решении. В этом случае ни от какого численного метода нельзя ожидать, что он даст точное решение, а во многих случаях даже не следует пытаться искать решение.

Рассмотрим простой пример размерности 2х2. Дана система

и предположим, что выполняем алгоритм гауссова исключения на некоем гипотетическом трехразрядном десятичном компьютере. Так как a11 – наибольший элемент матрицы, то ни-

какой перестановки не требуется, и новые элементы вычислим по правилу пря-

моугольника: из произведения угловых элементов главной диагонали вычтем произведение угловых элементов побочной диагонали и полученное число разделим на главный элемент. Будем отделять вертикальной чертой те цифры, которые теряются при вычислении.

так что вычисленное решение отличается от точного примерно на 15%. Почему же это произошло?

125

Первый и бросающийся в глаза ответ состоит в том, что мы потеряли знаки при вычислении (5). Действительно, вычисленное значение a22(1) содержит только одну значащую цифру, так что наше окончательное решение не будет иметь более одного верного знака. Но это только внешнее проявление существа проблемы. Воспользуемся принципом обратного анализа ошибок. Основная идея обратного анализа ошибок состоит в выяснении не того, какая допущена ошибка, а того, какая же задача на самом деле решена. Выполняя вычисления более детально, можно показать, что полученное решение (6) является точным решением системы

Максимальное относительное изменение элементов этой системы по отношению к исходной системе (4) составляет примерно 0,03%. Однако такое изменение приводит к изменению решения на 15%, т.е. ошибки в данных увеличиваются примерно в 500 раз.

Коренная причина этой плохой обусловленности заключается в том, что матрица коэффициентов (4) «почти вырождена». Геометрически это означает, что определяемые двумя уравнениями (4) прямые почти параллельны. Эта ситуация показана на рисунке.

Почти параллельные прямые, определяемые системой (4) пересекаются в точке

(-439; 817).

Рассмотрим теперь систему

Второе уравнение определяет семейство прямых, зависящее от параметра ε. При увеличении ε от нуля примерно до 0,012 прямая поворачивается против часовой стрелки. При этом точка ее пересечения с прямой, определяется первым уравнением, удаляется в бесконечность до тех пор, пока прямые не станут параллельными и линейная система не будет иметь решения.

126

Ясно, что при приближении параметра ε к значению, при котором система (9) вырождается, даже очень малые изменения одного коэффициента системы могут вызывать все увеличивающиеся изменения решения. В точке вырождения определитель матрицы коэффициентов обращается в нуль, и иногда считают, что малость определителя является мерой плохой обусловленности системы. Но, как показывает следующий пример, в общем случае это неверно. Пусть

значения этих двух определителей совершенно различны, но прямые, задаваемые двумя соответствующими системами уравнений:

являются одними и теми же, просто координатными осями. Если определяемые уравнениями системы прямые взаимно перпендикулярны, то система «идеально обусловлена». Таким образом, величина определителя матрицы коэффициентов не является хорошей мерой близости этой матрицы к вырождению. Однако, если матрица надлежащим образом масштабирована, эта величина может стать основой для такой меры.

Плохая обусловленность матрицы проявляется не только в сложности вычисления точного решения соответствующей линейной системы. Вернемся снова к системе (4) и предположим теперь, что «реальная» задача, которую мы бы хотели решить, описывается системой (8), но коэффициенты этой системы измеряются при помощи некоторой физической аппаратуры, которая обеспечивает точность только до третьего десятичного знака. Таким образом, система (4) – это не та система, которую нам надо решить на самом деле, а некоторое ее приближение, которое нам удалось получить. Предположим также, что мы можем утверждать, что коэффициенты приближенной системы определены с точностью не менее 0,05%. Если сравнить системы (4) и (8), то видно, что это действительно имеет место. В такой ситуации часто можно слышать утверждение, что мы должны суметь найти решение системы примерно с той же точностью. Но, как мы уже видели, такое утверждение неверно: в случае системы (1) из-за плохой обусловленности матрицы небольшие погрешности в коэффициентах приводят к погрешностям в решении в 500 раз большим. Следовательно, как бы точно мы не решали систему (4), нам не избавиться от ошибок, обусловленных погрешностями из измерении коэффициентов. Если, например, нам надо найти решение «реальной» системы (8) с точностью не менее чем 1%, то необходимо измерять коэффициенты точнее, чем с тремя десятичными знаками. Таким образом,

127

некоторые плохо обусловленные системы не следует даже пытаться решить, а нужно либо переформулировать задачу, либо провести более точные измерения данных.

Другое проявление плохой обусловленности состоит в следующем. Предположим, что

что невязки дают информацию, которая только вводит в заблуждение.

Теперь обратимся к другому способу определения степени плохой обусловленности матрицы, основанному на использование норм.

Нормой вектора x называют действительное число x , удовлетворяющее условиям (аксиомам)

128

1)x > 0, если x ≠ 0 и 0 = 0;

2)cx = cx при любом численном множителе с;

3)x + y ≤ x + y .

Пусть А есть матрица размерности n×n . Нормой матрицы А называют число A , удовлетворяющее условиям (аксиомам)

1) A > 0, если A ≠ 0 и 0 = 0;

2)при всяком численном множителе с

cA = cA ;

3) A + B ≤ A + B ;

4) AB ≤ AB .

Это аксиомы общей или абстрактной нормы. Конкретные нормы векторов и матриц

откуда видно, что изменение решения, обусловленное изменением вектора правой части,

Из этого неравенства видно, что относительное изменение x *, обусловленное изменением b , ограничено величиной относительного изменения b , умноженной на

129