известно, что если в плоском графе нет циклов длины 3, то граф 3 – раскрашиваемый (теорема Греча), а если нет циклов нечетной длины, то достаточно 2-х красок (следует из критерия двудольности графа).

3.8.5 Реберная раскраска графа

Помимо раскраски вершин рассматриваются также раскраски ребер графов.

Граф G называется реберно k-раскрашиваемым, если его ребра можно раскрасить k красками так, что никакие смежные ребра не будут иметь один и тот же цвет. Наименьшее такое число k называется реберно-хроматическим числом графа G и обозначается χe(G).

Для реберно-хроматического числа справедлива

Теорема (Визниг). Пусть G – мультиграф, максимальная степень вершин которого равна r . Тогда r ≤ χe(G) ≤ r+1.

вершенным.

Совершенное паросочетание существует не для всякого графа. Чаще всего паросочетания рассматриваются в двудольных графах. В двудольном графе G с долями V1 и V2 совершенным паросочетанием V1 на V2 называется паросочетание, которое покрывает все вершины доли V1.

К поиску соответствующих паросочетаний сводится решение некоторых классических задач.

108

Задача о свадьбах

Пусть V = {ϑ1, ϑ2, …, ϑn} – множество юношей, каждый из которых знаком с некоторыми девушками из множества U = {u1, u2, …, um}. Требуется женить наибольшее число юношей так, чтобы каждый из них женился на знакомой ему девушке.

Данная задача сводится к нахождению наибольшего паросочетания в двудольном графе G с долями V и U, в котором смежными являются вершины vi и uj , если соответствующие юноша и девушка знакомы, и не смежны – в противном случае. Возможность женить всех юношей означает существование в графе совершенного паросочетания V на U.

Задача о назначениях

Имеется множество исполнителей V = {ϑ1, ϑ2, …,ϑn}, каждый из которых может выполнить некоторые из работ множества X = {x1, x2, …, xm}. Стоимость выполнения работы хi исполнителем ϑj равна pij. Необходимо распределить исполнителей по работам так, чтобы выполнить все работы с минимальными затратами.

Ясно, что этой задаче так же отвечает соответствующий взвешенный двудольный граф. При этом возможность выполнить все работы означает существование совершенного паросочетания X на V. Для того, чтобы минимизировать затраты, необходимо искать совершенное паросочетание наименьшего веса.

3.9.2 Теорема Холла о свадьбах

Пусть А – подмножество множества вершин V(G) графа G. Множество всех вершин графа G, каждая из которых смежна с некоторой вершиной из А, называется окружением множества А и обозначается NA.

Теорема. В двудольном графе G с долями V и U существует совершенное паросочетаиие V на U тогда и только тогда, когда для любого А V мощность |NA| ≥ A .

Доказательство. Необходимость. Действительно, если для какого-то А V условие |NA| ≥ A не выполняется, т. е. (пользуясь терминологией задачи о свадьбах) какое-то множество юношей (предположим k человек) знакомы в совокупности меньше, чем с k девушками, то уже этих k юношей нельзя всех женить, тем более – всех юношей множества V. Таким образом, необходимость данного условия очевидна.

Докажем достаточность. Пусть А V условие |NA| ≥ A выполняется. Возможны два случая.

а) Любые k юношей знакомы в совокупности не менее, чем с k+1 девушкой. Тогда, рассуждая по индукции по числу юношей (база индукции, очевидно, имеется) женим произвольного юношу на знакомой ему девушке. Для остальных юношей, количество знакомых

109