ствует. Однако, известно, что оно асимптотически стремится к величине 2n(n−1) / 2 . Это озна- n!

чает, что при n→∞ предел отношения точного числа неизоморфных простых графов к указанной величине равен 1.

Этот факт представляется достаточно ясным, поскольку n непомеченных вершин графа можно пометить n! способами (количество пометок, очевидно, совпадает с числом перестановок из n элементов). Поэтому следует ожидать, что каждый непомеченный граф даст n! неизоморфных помеченных. Однако, это не всегда так. Например, все пометки пустого (а так же полного) графа приводят к одному и тому же помеченному графу. Никакие другие пометки графа на последнем рисунке не дадут новых помеченных графов. По этой причине в последнем случае из данного непомеченного получаем не 3! = 6, а только 3 помеченных графа. Таким образом, в случае непомеченных графов указанная величина представляет собой, не точную формулу, а лишь оценку.

3.2Основные числовые характеристики и матрицы графа

3.2.1Степени вершин графа

Степенью вершины v графа G называется число инцидентных ей рёбер, т.е. число рёбер, выходящих из данной вершины. (В случае псевдографов каждая петля добавляет 2 в степень вершины). Обозначается степень вершины v графа G: degGv или просто deg v, если ясно, о каком графе G идет речь.

Вершина степени 0 называется изолированной. Вершина степени 1 называется концевой (или висячей). Ребро, инцидентное концевой вершине также называется концевым.

Вершина v графа G, смежная со всеми другими вершинами G, называется доминирующей. Её степень degGv очевидно равна |G| – 1.

Граф G называется регулярным (или, по-другому, однородным), если степени всех его вершин равны. Эта общая степень всех вершин регулярного графа G называется степе-

следовательности. Однако, из этого совпадения степенных последовательностей двух графов ещё не следует их изоморфность.

80

Степенная последовательность не может быть произвольным набором чисел, а обладает определёнными свойствами.

Лемма 1 («о рукопожатиях»). Сумма степеней всех вершин графа G есть число чётное, ровно в два раза большее числа рёбер графа G, т.е.

∑degG v = 2 E(G) .

v V (G)

Доказательство: Действительно, подсчитаем количество рёбер графа G, просматривая поочередно все вершины графа G и считая рёбра, выходящие из этих вершин. Так как из каждой вершины v выходит degGv рёбер, то мы получим сумму:

∑degG v .

v V (G)

Но при этом каждое ребро будет учтено 2 раза: один раз, когда рассматривался один его конец, другой раз, когда – второй. Таким образом, лемма верна.

Из леммы 1 вытекает Следствие. В любом графе число вершин нечётной степени является чётным.

Доказательство. В самом деле, иначе, если бы сумма целых чисел содержала нечётное число нечетных слагаемых, то она, очевидно, была бы нечётной, что противоречит лемме

орукопожатиях.

Вориентированных графах для каждой вершины v дополнительно рассматривается также полустепень исхода и полустепень захода. Полустепенью исхода вершины v называется число дуг графа G, для которых v является началом, а полустепенью захода – число дуг, для которых v является концом. Обозначаются полустепени захода и исхода графа G соответственно deg-v и deg+v. При этом полная степень degv = deg-v+ deg+v. Поскольку каждая дуга имеет ровно одно начало и один конец, то справедлива

Лемма 2. Сумма полустепеней исхода всех вершин графа G равна сумме полустепеней захода, т.е.

81

3.2.2 Матрица смежности

Пусть G – помеченный граф порядка n, V(G) = {1, 2, 3, …, n}. Матрицей смежности графа G называется бинарная n×n-матрица M(G) = (mij), такая, что mij = 1, если вершина i смежна с вершиной j, и mij = 0, в противном случае.

Легко видеть, что матрица смежности простого графа G является симметричной, с нулями на главной диагонали. Число единиц в каждой строке (каждом столбце) равно степени соответствующей вершины. Понятно, что и обратно, всякой бинарной матрице с указанными свойствами соответствует некоторый простой граф. Таким образом, матрица смежности является одним из способов задания графов.

Для мульти- и псевдографов матрица смежности определяется так, что:

Таким образом, всякая бинарная матрица является матрицей смежности соответствующего ориентированного графа. Например, следующей матрице (рис. 4) соответствует изображенный далее граф (рис.5).

0 1 1 1

1 0 1 1

0 0 1 0

0 0 0 0

Рис. 4 Рис. 5

Абстрактный граф приводит к различным матрицам смежности в зависимости от нумерации вершин.

Теорема. Графы изоморфны тогда и только тогда, когда их матрицы смежности получаются друг из друга путём парных перестановок одинаковых строк и столбцов.

Доказательство. Действительно, таким перестановкам (переставляются одновременно, как одна операция, две строчки и два столбца с одинаковыми номерами) соответствует перенумерация вершин графа, что очевидно приводит к изоморфному графу.

Из теоремы, в частности, следует, что ранги матриц смежности изоморфных графов совпадают. Этот общий ранг различных матриц смежности изоморфных графов называется

82

рангом соответствующего абстрактного графа G и обозначается rg G. Совпадают так же характеристические многочлены и собственные значения матриц смежности изоморфных графов, которые называются, соответственно, характеристическим многочленом и спектром графа G.

Для двудольного графа G, с долями V1 = {x1, x2, …, xn} и V2 = {y1, y2, …, ym} рассматривается так же приведённая n×m-матрица смежности, такая, что mij = 1, если вершина xi смежная с yj, и mij = 0 в противном случае.

Для взвешенных графов вместо матрицы смежности обычно рассматривается матрица весов, элементы которой mij = вес ребра {i,j}. Отсутствующим рёбрам присваивается вес ∞ или 0, в зависимости от решаемой задачи.

3.2.3 Матрица Кирхгофа

Пусть G – помеченный граф, V(G) = {1, 2, 3, …, n}.Матрицей Кирхгофа графа G называется n×n-матрица K(G) = (kij), такая, что:

Матрица Кирхгофа K(G) симметрична, на главной диагонали расположена степенная последовательность графа G. Кроме того, сумма элементов каждой строки (столбца) равна 0. (Матрица с последним условием обладает тем свойством, что алгебраические дополнения всех элементов такой матрицы равны между собой). Как и для матрицы смежности, справедлива

Теорема. Графы изоморфны тогда и только тогда, когда их матрицы Кирхгофа получаются друг из друга путём парных перестановок одинаковых строк и столбцов.

3.2.4 Матрица инцидентности

Пусть G – (n,m)-граф, V(G) = {1, 2, 3, …,n}, E(G) = {e1, e2, e3, …, em}. Матрицей ин-

цидентности графа G называется бинарная n×m-матрица I(G) = (Iij), такая, что:

1, если вершина i инцидентна ребру ej ; Iij = 0, иначе.

Понятно, что такая матрица имеет ровно по две единицы в каждом столбце (ведь всякое ребро имеет два конца – две инцидентные данному ребру вершины). Число единиц в каждой строке матрицы инцидентности равно степени соответствующей вершины. Матрицы инцидентности изоморфных графов получаются друг из друга путём обычных (непарных, в отличие от матрицы смежности и матрицы Кирхгофа) перестановок строк и столбцов.

83