Очевидно, что отношение изоморфности на множестве графов является отношением эквивалентности (оно рефлексивно, симметрично и транзитивно). Следовательно, множество всех графов разбивается на классы изоморфных графов так, что разные классы не пересекаются. Все графы, попадающие в один класс естественно отождествлять, т.е. считать совпадающими (они могут отличаться лишь рисунком или природой своих элементов). В тех случаях, когда нужно подчеркнуть, что рассматриваемые графы отличаются лишь с точностью до изоморфизма, принято говорить об «абстрактных графах». По сути дела, абстрактный граф – это класс изоморфных графов.

В некоторых ситуациях все же приходится различать изоморфные графы и тогда возникает понятие «помеченный граф». Граф порядка n называется помеченным, если его вершинам присвоены метки, например, номера 1, 2, 3, …, n. В этом случае вершины графа G отождествляют с их номерами, т.е. полагают, что V(G) = {1, 2, 3, …,n}. Помеченные графы G и H считаются совпадающими (изоморфными) при дополнительном условии, что

E(G) = E(H).

На следующих рисунках (рис. 23-25) изображены три попарно неизоморфные помеченные графы (которые, очевидно, совпадают друг с другом, если убрать пометки).

Рис. 23 Рис. 24 Рис. 25 Для мульти-, псевдо- и ориентированных графов понятие изоморфности определяется

аналогично, как биективность, при которой помимо смежности вершин и ребер сохраняются также кратность ребер, петли и направления дуг.

3.1.5 Количество различных графов порядка n

Лемма 1. Число помеченных графов порядка n равно 2n(n - 1) / 2.

Доказательство. Действительно, существует n(n-1)/2 пар вершин, для каждой из которых имеется ровно 2 возможности: данная пара вершин соединена ребром или нет. Поэтому, когда вершины помечены, то можно построить ровно 2n(n-1)/2 различных (с учетом пометки) графов.

Для числа абстрактных (непомеченных) графов порядка n точной формулы не суще-

79