2.6.4 Кардинальные числа. Гипотеза континуума

Теорема. Булеан счетного множества имеет мощность континуума.

Доказательство. Пусть A = {a1 , a2 ,..., an ,...}. Построим биекцию Ω(A)→ [0, 1]. Пусть M A . Отобразим M 0, a1a2 a3 ..... , где – число из отрезка [0, 1], представленное в виде бесконечной дроби в двоичной системе счисления, причем такое, что ai =1, если ai M , и ai = 0 , если ai M . Очевидно, такое отображение обратимо и, значит, биективно. Таким образом, Ω(A) и отрезок [0, 1] равномощны, что и требовалось доказать.

Для обозначения мощностей бесконечных множеств используются так называемые кардинальные числа. Мощность счетного множества обозначается 0 (алеф − ноль). Мощность континуума – 1 (алеф − один).

Поскольку Ω(A) = 2 A для конечных множеств и булеан счетного множества имеет

мощность континуума, то и для бесконечных множеств имеем: 2 0 = 1 . Можно показать, что вообще (теорема Кантора) булеан всякого множества A имеет мощность большую чем A (и всякое его подмножество). Таким образом,

2 1 = 2 , ... , 2 n = n+1 , …

Подобно тому, как не существует наибольшего натурального числа, не существует множества, имеющего наибольшую мощность.

Континуум-гипотеза утверждает, что всякое бесконечное подмножество R имеет мощность 0 или 1 , т.е. нет множеств, мощности которых выражаются промежуточными «дробными» кардинальными числами. В более общей форме, не существует бесконечных множеств, имеющих другие мощности, кроме i , i N {0}.

74