1 ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

1.1Логика высказываний

1.1.1Понятие логического высказывания

Высказывание — изначальное понятие математической логики, поэтому оно не может иметь строгого определения. Дадим его описание. Под высказыванием будем понимать такое повествовательное предложение, о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.

Примеры: 1) «Число 100 делится 4»; 2) «Число 100 делится на 3»; 3) «Луна – спутник Марса»; 4) «Множество Q счетно».

Не являются высказываниями: 1) «С новым годом!»; 2) «Сколько Вам лет?»; 3) «Я лгу» (парадокс лжеца); 4) «Во вселенной, кроме планеты Земли, существуют живые мыслящие существа».

В дальнейшем высказывания будем обозначать заглавными буквами А, В, С, ..., X, Y, Z (возможно, с индексами). Если А – истинное высказывание, то будем говорить, что оно принимает значение «ИСТИНА», и писать (А) = И (или (А) = True, или (А) = 1). Если же А – ложное высказывание, то будем говорить, что оно принимает значение «ЛОЖЬ», и писать

(А) = Л (или (А) = False, или (А) = 0).

Можно заметить, что некоторые высказывания, состоят из более простых высказываний, соединенных между собой с помощью логических связок типа «и», «или», «если..., то...» и т.д. В свою очередь, если уже имеются какие -либо высказывания, то с помощью таких связок можно построить более сложные.

Примеры: 1) «Не верно, что 2 < 0» – «Не А»; 2) «Число 100 делится на 4 и делится на 5» – «А и В»; 3) «4<3 или 4>3» – «А или В»; 4) «sin x = 1 тогда и только тогда, когда

x = π2 + 2πn , где n Z » – «А тогда и только тогда, когда B».

Такие высказывания будут истинными и ложными в зависимости от истинностных значений, входящих в них составных частей, и в зависимости от трактовки логических связок. Высказывания, которые нельзя разбить на части, соединенные логичес кими связками, будем называть простейшими (элементарными), а все остальные – сложными высказываниями.

1.1.2 Логические операции

Для того, можно было изучить логическую структуру сложных высказываний, найти способы определения их истинности в зависимости от истинностных значений элементарных высказываний, необходимо, прежде всего, уточнить смысл логических союзов (операций).

8

1. Отрицанием высказывания А называется высказывание, которое обозначается А (или A ), и которое является истинным тогда и только тогда, когда А ложно. Значение высказывания обычно задают с помощью таблицы истинности:

A A

01

10

Примеры. (5 : 2) = 1. (6 составное число) = 0.

2.Конъюнкцией высказываний А и В называется высказывание, которое обозначается

АВ (или А&В, или АВ (читается: «А и B»)) и которое истинно тогда и только тогда, когда истинны и А и B.

Примеры. (4<3) (4≠4) = 0 (π – целое число)&( 2 – целое число) = 1.

Замечание. «Разделительное или» означает другую логическую операцию.

4. Импликацией высказываний А и В называется высказывание, которое обозначается А В (читается: «из А следует В»; «если А, то B») и которое ложно тогда и только тогда, когда А – истинно, a B – ложно.

Пример. (Если на Луне есть жизнь, то 5 делится на 3) = 1.

9

5. Эквиваленцией высказываний А и В называется высказывание, которое обозначается А В (читается: «А эквивалентно В»; «А т. и т. т., к. В») и которое истинно в том и только в том случае, когда А и В либо оба истинны, либо оба ложны:

Замечание. Операции & и были определены только для двух высказываний. Естественным образом их можно обобщить на любое число высказываний A1, A2, , An . В этом

1.1.3 Пропозиционные формулы

Аналогично тому, как определяются алгебраические выражения, можно определить формулы логики высказываний, которые называются пропозиционными формулами. Это – различные последовательности символов 0, 1, букв латинского алфавита: А, В, ..., связанные логическими операциями , , , , с использованием скобок (, ), указывающих порядок их выполнения.

Для того чтобы не загромождать запись пропозиционной формулы большим количеством скобок, общепринято следующее соглашение об опускании скобок. Если в части формулы, заключенной в скобки, отсутствуют другие скобки, то операции выполняются в следующем порядке: , , , , .

Данная пропозиционная формула в конкретной интерпретации, т.е. когда известны истинностные значения входящих в нее букв (элементарных высказываний), сама принимает одно из значений 0 или 1 («ЛОЖЬ» или «ИСТИНА»).

Пусть, например, нужно вычислить значение пропозиционной формулы

( P Q R) S Q, если (P, Q, R, S) = (l, 1, 0, 1).

Подпишем под буквами, обозначающими элементарные высказывания, их значения. Далее вычисления можно организовать таким образом, чтобы результат выполнения операции подписывался под соответствующим оператором (символом операции):

(S Q) ( P Q R)

10

Таким образом, в данной интерпретации высказывание принимает значение 1.

Если необходимо найти значения данной пропозиционной формулы при всех возможных значениях входящих в нее переменных (элементарных высказываний), то последовательно выполняя операции промежуточные и окончательные, результаты сводят в таблицу истинности. Далее приведен пример таблицы истинности для формулы:

1.1.4 Тавтологии

Определение. Пропозиционную формулу, значение которой при любом наборе значений входящих в нее переменных равно 1 (соответственно, 0), будем называть тождест-

венно истинной или тавтологией (соответственно, тождественно ложной или противоречием).

Перечислим некоторые основные тавтологии:

11