вая взаимно однозначные соответствие между блоками разбиения множества X и соответствующими им образами, можно построить m! различных сюръективных отображений. Числа

S(n,m) = Snm m! называются числами Стирлинга первого рода.

2.5.7 Число Белла

Число всех разбиений n-элементного множества называется числом Белла и обозначается Bn . По определению

n

Теорема. B 1 = ∑C k B .

n+ n k k =0

Доказательство. Пусть X – множество всех разбиений множества {1, 2,..., n +1}. Рассмотрим все подмножества множества {1, 2,..., n +1}, содержащие n +1. Для каждого такого множества A рассмотрим все разбиения, которые содержат A в качестве отдельного блока.

2.6Мощности множеств

2.6.1Мощность конечного множества

Как уже отмечалось, если А – конечное множество, то его мощность A есть количество элементов, принадлежащих А.

Легко видеть, что

1) Если A ∩ B = , то A B = A + B .

2)В общей ситуации: A B =| A | + | B | − A ∩ B .

3)| A \ B |=| A | − | A ∩ B |.

Теорема 1. Если A1 ,…, An – конечные множества, то

| Α1 × Α2 × .....× Αn |= A1 A2 ...... An .

Доказательство непосредственно следует из подсчета числа различных n-ок.

70

Следствие. Если А – конечное множество, то An = A n

Теорема 2. Два конечных множества равномощны тогда и только тогда, когда между ними существует биекция.

Доказательство очевидно.

Следствие. Никакое собственное подмножество или надмножество конечного множества A не равномощно множеству А.

Теорема 3. Пусть A – конечное множество, Ω(A) – множество всех подмножеств

( , , ..., ), в которой i-ый элемент равен 1, если ai Μ , и равен 0, если ai Μ . Обратно, всякой бинарной n-ке однозначно соответствует некоторое множество М, элементы которого определяются по n-ке описанным выше способом. Поскольку биективные множества имеют

равное количество элементов (теорема 2) и Bn = 2n (следствие к теореме 1), то Ω(A) = 2n ,

что и требовалось доказать.

2.6.2 Мощности бесконечных множеств. Счетные множества

Определение. Говорят, что множества А и В имеют одинаковую мощность (или, что они равномощны), если между А и В можно установить биекцию. Множества, равномощные множеству натуральных чисел, называются счетными.

Установить биекцию с множеством натуральных чисел N фактически означает: сопоставить каждому элементу рассматриваемого множества номер, т.е. пронумеровать все элементы, или другими словами – пересчитать.

Конечное или счетное множество называется не более чем счетным.

Примеры и свойства счетных множеств.

•Множество четных чисел 2N – счетное. Действительно, биекцию 2N → N задает, например, отображение 2n n .

•Множество целых чисел Z счетно. Соответствующей биекцией, очевидно, яв-

71

• Объединение не более чем счетного множества счетных множеств – счетно.

Доказательство.

Понятно, что при указанном способе рассмотрения элементов всякий элемент рано или поздно получит свой номер. Если Αi имеют непустые пересечения и в процессе нумерации встречаются элементы уже ранее пронумерованные, то их будем пропускать и переходить к следующим элементам.

•Прямое произведение конечного числа счетных множеств – счетно.

жим так же, как и в предыдущем примере (в виде бесконечной вправо и вниз прямоугольной таблицы) и пронумеруем аналогично. Таким образом, произведение двух счетных множеств

– счетно. Дальше по индукции для любого числа множителей.

•Множество Q – рациональных чисел счетно.

счетного количества счетных множеств.

• Множество алгебраических чисел A (корней всевозможных многочленов с целыми коэффициентами) – счетно (докажите).

72

2.6.3 Несчетные множества. Мощность континуума

Теорема (Кантор).

Множество всех действительных чисел из отрезка [0; 1] – несчетно.

Доказательство. Представим все числа в двоичной системе счисления в виде бесконечных двухзначных дробей (в случае конечных дробей дополним справа нулями до бесконечности). Предположим, что количество рассматриваемых чисел счетно. Расположим их в порядке возрастания номеров:

Легко видеть, что этого числа нет среди пронумерованных, так как оно отличается от 1-го числа в 1-ом разряде, от второго – во 2-ом разряде, от третьего – в 3-ем разряде, … . Полученное противоречие показывает, что множество действительных чисел из отрезка [0; 1] не является счетным.

Определение. Мощность множества действительных чисел отрезка[0; 1] называется мощностью континуума.

Примеры.

формулой g(x) = tg x .

2)Множество иррациональных чисел имеет мощность континуума, так как оно равно R \ Q, а Q – счетно.

3)Множество трансцендентных чисел имеет мощность континуума. Действительно, оно равно R\A, где A – счетное множество алгебраических чисел.

4)Множество комплексных чисел C.

5)Множество непересекающихся окружностей на плоскости.

73