2.3Отношения
2.3.1Основные понятия и способы задания отношений
В различных научных и других сферах деятельности человека для описания связей между предметами используется понятие отношения. Например, отношение «меньше – больше» на множестве действительных чисел; отношение делимости на множестве целых чисел; отношение подобия на множестве треугольников; отношения параллельности и перпендикулярности на множестве прямых и плоскостей; отношения родства, дружбы, знакомства на множестве людей; отношение «начальник-подчиненный» на предприятии и др. В математике понятие отношения, как и большинство понятий, имеет строгое определение.
Определение. Бинарным отношением R на множествах A и B называется всякое подмножество R A× B .
Если элементы a A и b B находятся в отношении R, т. е. (a,b) R , то пишут: aRb . Например, a < b (для отношения «меньше – больше» на множестве действительных чисел), a : b (a делится на b, для отношения делимости на множестве целых чисел), A B (для отношения включения на множестве подмножеств некоторого универсального множества U), ∆ABC ~ ∆KLM (для отношения подобия на множестве треугольников) и т. д.
Если B = A , то отношение R A× A называется отношением на множестве А (вместо «отношение на множествах А и А»).
Отношение U=A×B, называется универсальным, или всюду истинным отношением на
A и B. Отношение R = |
называется пустым, или |
всюду ложным. |
Отношение |
|
I ={(a, a) | a A}называется тождественным отношением |
на множестве A. Множество |
|||
D(R) ={a A | b B, aRb} |
называются областью определения отношения R, |
а множество |
||
E(R) ={b B | a A, aRb} |
– областью значений отношения R. ( D(R) и E(R) |
иногда назы- |
||
вают также проекциями R на A и B, соответственною.) |
|
|
||
Два отношения R1 и R2 |
называются равными, если R1 и R2 равны, как множества. Ес- |
|||
ли R1 R2 , то говорят, что «отношение R1 влечет отношение R2» (или «из отношения R1 следует отношение R2»).
Отношения на числовых множествах можно изобразить графически на координатной плоскости, поставив каждой паре (a,b) R в соответствие точку с координатами x = a и y = b . Например, отношению «≤» на множестве действительных чисел R соответствует полуплоскость (рис. 4). Отношению «=» на множестве действительных чисел R соответствует прямая (рис. 5).
56
x ≤ y |
x = y |
y = f (x) |
Рис. 4 |
Рис. 5 |
Рис. 6 |
Всякое отображение (функцию) |
f : A → B можно рассмотреть как отношение Rf на |
|
множествах А и В , положив aR f b , если |
f (a) = b для всех a A, b B . Если А и В – число- |
|
вые множества, то графической иллюстрацией такого отношения является обычный график функции y = f (x) (рис. 6).
Обратно, всякое отношение R A ×В называется функциональным, если a A существует единственный элемент b B , такой, что aRb .
Из рассмотренных выше примеров видно, что отношения (на числовых множествах) могут быть заданы графически в виде соответствующего множества точек на координатной плоскости.
Отношения на конечных множествах могут быть заданы непосредственным перечислением всех пар элементов данного отношении.
Например, пусть R – отношение делимости на множестве А = {1; 2; 3; 4; 5; 6} ( aRb ,
если a : b , т. е. a делится на b). Тогда R = {(1,1); (2,1); (2,2); (3,1); |
(3,3); (4,1); (4,2); (4,4); |
(5,1); (5,5); (6,1); (6,2); (6,3); (6,6)}. |
|
Это же отношение можно задать с помощью матрицы отношения. |
|
Матрицей бинарного отношения R A× B , где | A |= n , | |
B |= m , называется би- |
нарная (n×m)-матрица M = (mij ) , элементы которой удовлетворяют условиям: mij =1, если ai Rb j ; и mij = 0 в противном случае. (Здесь мы считаем, что элементы множеств А и В
предварительно пронумерованы и, таким образом, каждому элементу множества А соответствует строка матрицы, а каждому элементу множества В – столбец.
Для рассматриваемого отношения делимости получаем матрицу, изображенную на
рис. 7.
57
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
2 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
|
||||||
3 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
4 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
|
||||||
5 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
|
||||||
6 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
|
||||||
Рис.7
Отношение a ≤ b на том же множестве А имеет нижнюю треугольную матрицу (выше диагонали все элементы – нули, а на диагонали и ниже – все элементы равны 1). Тождественное отношение I множестве А имеет единичную матрицу.
Аналогично бинарным определяются n-арные отношения на множествах A1 , A2 , …,
An . А именно, отношением на множествах A1 , |
A2 , …, An называется всякие подмножество |
|||
R A1 × A2 ×... × An . Если при этом все Ai = A, |
i = 1, 2,..., n , то соответствующее отношение |
|||
R An называется n-местным отношением на множестве А. |
||||
Примеры n-местных отношений. |
|
|||
1) Пусть по определению тройка чисел (a,b, c) R∆ , если существует треугольник со |
||||
сторонами a, b, c. Тогда R∆ |
есть трехместное отношение на множестве действительных чи- |
|||
сел R: |
|
|
|
|
2) Четырехместное |
отношение R на |
множестве натуральных чисел N: пусть |
||
(a,b, c, d ) R , если a = |
c |
. |
|
|
|
|
|
||
b |
d |
|
|
|
2.3.2 Операции над бинарными отношениями и их свойства
Поскольку отношения определены как множества, то для них можно рассматривать все операции, действующие на множествах. При этом, разумеется, сохраняются все свойства этих операций.
Рассмотрим специальные операции на отношениях.
Пусть имеются отношения R1 A × B и R2 B ×C . Произведением отношений R1 и R2 называется отношение R1R2 A×C , такое, что a(R1R2 )b , тогда и только тогда, когда aR1b и bR2c для некоторого b B .
Понятно, что, вообще говоря, R1R2 ≠ R2 R1 даже, если оба произведения определены. Другими словами, произведение отношений не обладает свойством коммутативности. Однако, нетрудно показать, что произведение отношений ассоциативно:
58
•( R1R2) R3 = R1 (R2R3).
Пусть R – отношение на множестве A. Степенью отношения R называется его произведение с самим собой: R0 = I – тождественное отношение, R1 = R , R2 = RR и Rn = Rn−1R для натуральных n > 2 .
~ |
|
|
|
Отношение R на множестве A (c бинарным отношением R) называется рефлексив- |
|||
~ |
|
n |
b |
ным замыканием отношения R, если aRb по определению тогда и только тогда, когда aR |
|
||
при некотором натуральном n. |
|
|
|
Пусть R A×B . Отношение R-1 B × A , такое, что R-1={(b,a)| b B, a A, |
aRb }, на- |
||
зывается обратным к отношению R. |
|
|
|
Легко видеть, что справедливы свойства |
|
|
|
• ( R-1)-1 = R. |
|
|
|
• ( R1R2)-1 =R1-1R2-1.
Если R – отношение на множествах A и B, то RR−1 называется ядром отношения R. Ядро отношения R на множествах A и B является отношением на множестве A. Например, рассмотрим отношение R на булеане Ω(U ) некоторого универсального множества U и множестве натуральных чисел N, определив для M U и n N , что M R n , если мощность множества M равна n. Тогда ядром этого отношения является отношение равномощности на
Ω(U ) .
Отметим также следующие свойства, наличие которых часто исследуется при изучении тех или иных отношений.
Определение. Бинарное отношение R на множестве А называется
–рефлексивным, если a A aRa , (у матрицы такого отношения все диагональные элементы равны 1);
–антирефлексивным, если a A (a, a) R ;
–симметричным, если a,b A из aRb следует bRa (матрица такого отношения
симметрична);
– антисимметричным, если a ≠ b A из (a,b) R следует (b, a) R (или, что то же самое, если из aRb и bRa следует a = b );
– транзитивным, если a, b, c A из aRb и bRc следует aRc ;
– связным (или полным), если a ≠ b A имеет место aRb или bRa . Нетрудно показать, что справедлива
59