Но дистрибутивные законы относительно , ∩ и \ имеют место:

(A1 A2 )× B = (A1 × B) (A2 × B);

(A1 ∩ A2 )× B = (A1 × B)∩ (A2 × B);

(A1 \ A2 )× B = (A1 × B)\ (A2 × B).

В любом случае, операция «×» существенно отличается от предшествующих операций на множествах в том плане, что декартово произведение множеств из данного универсального множества U уже не принадлежит U.

2.2 Отображения множеств

2.2.1 Основные понятия

Пусть X и Y – непустые множества. Если каждому элементу х Х ставится в соответствие единственный элемент y Y, то говорят, что задано отображение множества Х во множество Y.

Часто не делают различий между понятием «отображение» и «функция», однако функциями чаще всего называют отображения числовых множеств.

Если ƒ – отображение множества Х в Y, то пишут: ƒ: Х→Y или Х f →Y.

Элемент y Y, который ставится в соответствие элементу х Х при отображении ƒ: Х→Y, называется образом элемента х при отображении ƒ. При этом пишут: y = f(x) или ƒ: х y. Элемент х в свою очередь называется прообразом y при отображении ƒ.

Определение 1. Два отображения ƒ: Х→Y и g: X→Y называются равными, если f (x)= g(x) для любого х Х.

Определение 2. Пусть задано отображение ƒ: Х→Y и А Х . Образом множества А при отображении ƒ называется совокупность образов всех элементов множества А. Образ A

этих условий ƒ: Х→Y является продолжением отображения f A : A → Y .

В случае, если Х и Y – конечные множества, то отображение ƒ: Х→Y может быть задано таблицей соответствий, состоящей из двух строк.

52

f (x1 )= y1 , f (x2 )= y2 , f (x3 )= y1 .

Упражнение. Выпишите все различные отображения ƒ: Х→Y в указанном примере и определите их количество. Найдите количество различных отображений ƒ: Х→Y, если

| X | = n, а |Y | = m.

Важным примером таких отображений служат подстановки из n элементов:

Другие примеры отображений:

–поворот плоскости вокруг начала координат на угол α;

–проецирование 3-мерного пространства на координатную плоскость xОy;

–ƒ: R→R, ƒ(x) = sin x.

Определение 4. Отображение ƒ: Х→Y называется инъективным (взаимно однознач-

ным), если различным элементам множества Х соответствуют различные образы из Y, т.е.,

если x1 ≠ x2 f (x1 )≠ f (x2 ).

Легко видеть, что это условие равносильно следующему: f (x1 )= f (x2 ) x1 = x2 .

Например, подстановки, повороты плоскости – взаимно однозначные отображения;

имно однозначное.

Определение 5. Отображение ƒ:Х→Y называется сюръективным, если каждый элемент y Y является образом для некоторого элемента х X, т.е. если каждый элемент y Y имеет хотя бы один прообраз.

Понятно, что ƒ:Х→Y – сюръективно тогда и только тогда, когда f (X )= Y .

Например, подстановки, поворот на угол α, проецирование R3 → R2 – сюръективны. Отображение f : R → R , где f (x)= sin x – не сюръективно, но f : R → [−1; 1], f (x)= sin x

– сюръективно.

Определение 6. Отображение ƒ: Х→Y называется биективным, если оно одновременно и инъективно и сюръективно.

53

g : R → R, g(x)= 2x +1 – биективные отображения.

2.2.2 Произведение (композиция) отображений

Пусть ƒ: Х→Y, g : Y → Z и пусть х Х. Отображение ƒ переводит х в некоторый элемент y Y . При этом элемент y под действием отображения g переходит в некоторый элемент z из Z. Таким образом, в результате последовательного выполнения сначала ƒ а потом g,

Отметим, что не всегда gf и fg определены одновременно. Для этого необходимо, чтобы g(Y ) X . В частности, если f : X → X , g : X → X , то gf и fg определены. Но даже в этом случае равенство fg = gf, вообще говоря, не выполняется (это видно из рассмотренного примера), Таким образом, умножение отображений не коммутативно. Однако оно ассоциа-

[h(gf )](x0 )= h[(gf )(x0 )]= h[g(f (x0 ))]= h[g(y0 )]= h(z0 )= u0 и

[(hg)f ](x0 )= hg(f (x0 ))= h(g(f (x0 )))= ...... = u0 .

Определение 8. Отображение f : X → X называется тождественным, или единич-

ным, если f (x)= x , х Х. Обозначения: eX , 1X, idX.

Теорема 2. Если f : X → Y , то f eX = f и eY f = f . Следствие. Если f : X → X , то f eX = eX f = f .

Теорема 3. Пусть ƒ: Х→Y, g :Y → Z . Если ƒ и g инъективны, то fg – инъективно. Если ƒ и g сюръективны, то fg – сюръективно.

54

Доказательство.

z0 = g(y0 )= g(f (x0 ))= (gf )(x0 ).

Следствие. Произведение биективных отображений – биективно.

2.2.3 Обратные отображения

Определение. Пусть f : X →Y . Если существует отображение ϕ:Y → X такое,

что ϕ f = eX и f ϕ = eY , то отображение ϕ называется обратным к отображению ƒ, а отображение ƒ в этом случае называется обратимым.

Понятно, что в условиях определения обратным к ϕ является ƒ. Обозначение:

ϕ = f −1 .

Теорема 4 (критерий обратимости отображения).

Отображение f : X → Y обратимо тогда и только тогда, когда оно биективно.

Доказательство. Необходимость. Пусть отображение f : X → Y биективно. Так как оно сюръективно, то y0 Y есть хотя бы один прообраз из Х. Но в силу инъективности все элементы имеют разные образы. Поэтому y0 имеет единственный прообраз х0. Сопоставив каждому элементу y из Y его единственный прообраз, получим отображение ϕ : Y → X такое,

что если y = f (x), то ϕ(y)= x . При этом получим х Х

ϕ f = eX ; y Y f ϕ(y)= f (ϕ(y))= f (x)= y , т.е. f ϕ = eY .

Достаточность. Пусть отображение f : X → Y – обратимое и ϕ :Y → X – обратное к ƒ. Пусть f (x1 )= f (x2 ). Применим к данному равенству отображение ϕ:

ϕ(f (x1 ))= ϕ(f (x2 )) (ϕ f )(x1 )= (ϕ f )(x2 ) ex (x1 )= ex (x2 ) x1 = x2 . Таким образом,

ƒ – инъективно.

Пусть y0 Y . Найдём прообраз х0, такой, что y0 = f (x0 ). Имеем:

y0 = eY (y0 )= (f ϕ)(y0 )= f (ϕ(y0 ))= f (x0 ),

где x0 = ϕ(y0 ). Тем самым, ƒ – сюръективно.

Следствие. Если ƒ – биективно, то и ƒ-1 также биективно.

55