Примеры. Разбиение списка студентов группы по первым буквам их фамилий. Разбиение студентов группы по вариантам на контрольной работе. Разбиение целых чисел на четные и нечетные.
Вообще, для любого множества A, U = A A – разбиение универсального множества на две части.
Замечание. Для любого a A, если X i = A – разбиение множества A, то сущест-
i I
вует единственное множество Xi, такое что a Xi .
2.1.4 Свойства операций над множествами. Алгебра множеств
Операции и ∩ обладают свойствами, аналогичными сумме и произведению чисел. В связи с этим их зачастую также называют суммой и произведением множеств и обозначают соответственно A+ B , AB вместо A B и A∩ B . Действительно, для любых множеств A, B и C справедливы следующие равенства:
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Закон двойного дополнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
A= A |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2) |
|
A∩ B = B ∩ A |
} |
Законы коммутативности |
|||||||||||||||
3) |
|
A B = B A |
|||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
4) |
(A∩ B)∩C |
= A∩ (B ∩C) |
} |
Законы ассоциативности |
|||||||||||||||
5) |
(A B) C = A (B C) |
||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
6) |
|
A∩ (B C)= (A∩ B) (A∩C) |
} |
Законы дистрибутивности |
|||||||||||||||
7) |
|
A (B ∩C)= (A B)∩ (A C) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
8) |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
} |
|
|||||
|
A∩ B |
A |
B |
Законы де Моргана |
|||||||||||||||
9) |
|
|
|
|
= |
|
|
∩ |
|
|
|
|
|||||||
|
A B |
A |
B |
|
|
|
|||||||||||||
10) |
|
A∩ A = A |
|
|
|
|
|
} |
Законы идемпотентности |
||||||||||
11) |
|
A A = A |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
12) |
|
A∩U = A |
|
|
|
|
|
} |
Законы универсального множества |
||||||||||
13) |
|
A |
|
|
|
=U |
|
|
|
|
|
||||||||
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
14) |
|
A∩ |
|
= |
|
|
|
|
|
} |
|
||||||||
|
A |
|
|
|
|
|
Законы пустого множества |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
15)A = A
16) |
A (A∩ B)= A |
} Законы поглощения |
|
17) |
A∩ (A B)= A |
||
|
49
В справедливости этих законов легко убедиться с помощью диаграмм Эйлера-Венна, изобразив отдельно множества, соответствующие левой и правой части равенства, и проверив, что они совпадают.
Например, для иллюстрации закона 7) имеем диаграммы, приведенные на рис. 2.
A (B ∩C) |
(A B)∩ (A C) |
заштриховано |
заштриховано дважды |
Рисунок 2 Строгое доказательство всех равенств основано на проверке включений и . На-
пример, для доказательства закона 9) нужно проверить:
9 а) A B A∩ B;
9 б) A ∩ B A B .
Доказательство 9а). Пусть x A B . Тогда x A B . Значит, x A и x B , то есть x A, и x B , и поэтому x A∩ B .
Доказательство 9б). Пусть x A∩ B . Тогда x A и x B . Следовательно, x A и x B . Поэтому x A B и, значит, x A B .
Определение. Совокупность Ω(U ) всех подмножеств универсального множества U
(такая совокупность называется булеаном множества U) вместе с операциями , ∩, и , обладающими вышеперечисленными свойствами, называется булевой алгеброй множеств.
Заметим, что в результате операций , ∩, и над любыми подмножествами из U также получаются подмножества из U. В этом случае говорят, что указанные операции замкнуты на U.
Можно показать, что множество соотношений 1) – 15) полно в том смысле, что любое правильное равенство, образованное при помощи символов , U, , ∩, , букв латинского алфавита, обозначающих множества, и скобок, указывающих порядок выполнения операций, вытекает из свойств 1) – 15).
50
2.1.5 Декартово произведение множеств
Пусть имеется два множества A и B (не обязательно А ≠ B ).
Определение. Декартовым (или прямым) произведением множеств A и B называет-
ся множество всех упорядоченных пар вида (a, b), где первый элемент |
a A, |
а второй – |
|
b B : |
|
|
|
A× B ={(a, b) | a A , b B} . |
|
|
|
Множества A и B предполагаются непустыми. В противном случае, если |
A= или |
||
B = , то A× B = . |
|
|
|
Если, например, |
A={a1, a2}, B ={b1, b2 , b3}, то: |
|
|
A× B ={(a1, b1 ), (a1, b2 ), (a1, b3 ), (a2 , b1 ), (a2 , b2 ), (a2 , b3 )}. |
|
|
|
Вообще говоря, |
A× B ≠ B× A, за исключением случая, когда A= B . Тогда произведе- |
||
ние A× А называется |
декартовым квадратом множества A и обозначается: |
A2 . Если |
|
A = B = R – множество действительных чисел, то R2 ={(a, b) | a, b R} |
можно рассматри- |
||
вать, как координатную плоскость, отождествив пару (a, b) с точкой, имеющей координаты
x = a и y = b. |
|
|
|
|
|
|
|
|
В частности, если имеются отрезки A = [1; 3], B = [1; 4], то |
A× B представляет собой |
|||||||
прямоугольник на координатной плоскости xОy (рис. 3). |
|
|
|
|
||||
Всякая кривая Г на плоскости может быть истолкована |
|
|
|
|
||||
как подмножество R2, определяемое некоторым условием (урав- |
|
|
|
|
||||
нением): Г ={(x, y) R | f (x, y) = 0}. |
|
|
|
|
|
|||
Аналогично определяется декартовое произведение любо- |
|
|
|
|
||||
го количества непустых множеств. |
|
|
|
|
|
|||
Именно, пусть заданы множества A1, A2, …, An. Тогда n- |
|
|
|
|
||||
кой (кортежем) называется упорядоченный набор (a1, a2, …, an), |
|
|
|
|
||||
такой что ai Ai |
i = |
|
. Множество всех таких n-ок называет- |
|
|
|
|
|
1, n |
|
|
|
|
||||
|
|
Рисунок 3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ся декартовым |
произведением множеств |
A1, A2, |
…, An и обо |
|||||
|
n |
n |
|
|
|
|
||
A1 × A2 × × An = ∏Ai . В частности, если все Ai |
= A, то ∏Ai = An |
называется n-ой декар- |
||||||
|
i=1 |
i=1 |
|
|
|
|
||
товой степенью множества A. |
|
|
|
|
|
|||
Замечание. Вообще говоря, (R4 )3 ≠ R12 . Действительно, (R4 )3 |
следует рассматривать |
|||||||
как множество матриц 3× 4 , а R12 — кортежи, не учитывающие матричной структуры. Таким образом, уже из данного примера следует, что ассоциативный закон для декар-
тового произведения множеств не выполняется.
51