1.6.3 Равносильные формулы логики предикатов

Так как предикаты представляют собой «переменные» высказывания, то для предикатных формул, использующих операции логики высказываний, справедливы все равносильности логики высказываний (см. 1.1). Поэтому ограничимся лишь рассмотрением специфических формул, связанных с операциями навешивания кванторов.

1.xP(x)≡ xP(x).

Действительно, предположим, что для произвольного предиката P(x) (для определенности мы считаем, что он зависит только от переменной х, хотя могут быть и другие переменные, которые в данном случае не существенны) с предметной областью М левая часть тождества принимает значение 1 («истина»). Другими словами, не существует а М, такого, что P(a)=1. Это значит, что x M P(a)= 0 , или x M P(a)≠1. Поэтому правая часть тождества: xP(x) также принимает значение 1.

Предположим теперь, что xP(x) принимает значение 0, т.е. не верно, что не существует а М такого, что P(a)=1. Или, что то же самое, существует а М, такой, что P(a)=1.

Таким образом, не для всех а М P(a)≠1. Поэтому высказывание xP(x) ложно, тем самым тождество доказано.

Аналогично доказывается и следующие тождества.

2.xP(x)≡ xP(x).

3.x(P(x) Q(x))≡ xP(x) Q(x).

4.x(P(x) Q(x))≡ xP(x) Q(x).

5.xP(x) xQ(x) x(P(x) Q(x)).

6.x(P(x) Q(x)) xP(x) xQ(x).

В 5-ой и 6-ой формулах импликации в обратную сторону, вообще говоря, не верны. В обоих случаях это видно из следующего примера: P(x)= «х – четное число», Q(x)= «х – нечетное число», М = Z – множество целых чисел.

7.x yP(x, y)≡ y xP(x, y).

8.x yP(x, y)≡ y xP(x, y).

Другими словами, кванторы всеобщности перестановочны друг с другом и кванторы существования также перестановочны друг с другом. Но нельзя переставлять квантор и квантор . Это видно из следующего примера. x y(x ≤ y) – ложное высказывание, ay x(x ≤ y) – истинное. При перестановке различных кванторов справедлива лишь следую-

42

щая импликация

9.x yP(x, y) y xP(x, y).

10.x(P(x) Q)≡ xP(x) Q .

11.x(P(x) Q)≡ xP(x) Q .

12.x(P(x) Q)≡ xP(x) Q .

13.x(P(x) Q)≡ xP(x) Q .

В последних четырех тождествах предикат Q, вообще говоря, может иметь предметные переменные, но отличные от х (точно также и P(x) может иметь другие переменные, кроме x).

1.6.4 Приведенная форма и предваренная нормальная форма предиката

Определение. Формула логики предикатов, в которой из операций логики высказываний имеются только конъюнкция, дизъюнкция и отрицание, причем отрицание относится только к элементарным предикатам, называется приведенной формой предиката.

Теорема 1. Для всякого предиката существует равносильная ему приведенная форма.

Доказательство. Действительно, все операции в данной предикатной формуле можно выразить через конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание (например, в виде ДНФ). Если после этого некоторые отрицания будут относиться к частям формул содержащим кванторы, то их можно «снять» с кванторов согласно равносильностям 1 и 2, а снять отрицания с конъюнкций и дизъюнкций можно, следуя законам де Моргана. После всех описанных преобразований, очевидно, получим приведенную форму.

Определение. Предикатная формула вида K1x1K2x2 Km xmF , где Ki – кванторы, xi

– различные связанные переменные, a F – предикатная формула без кванторов, находящаяся в приведенной форме, называется предваренной нормальной формой предиката.

Теорема 2. Для всякого предиката существует равносильная ему предваренная нормальная форма.

Доказательство. Согласно теореме 1 можно считать, что предикат уже находится в приведенной форме. Если никакая операция навешивания квантора при этом не находится в области действия операций и , то приведенная форма уже является предваренной нормальной. Поэтому предположим, что описанные ситуации имеют место, и будем называть такие явления (когда какой-либо квантор находится в области действия данной операции или ) беспорядками.

Для данной формулы число беспорядков конечно, так как конечно число символов. Выберем какой-либо беспорядок (скажем, первый слева) и покажем, что его можно убрать.

43

Возможны два случая:

1.Беспорядок имеет вид: x Р или х Р, где Р не зависит от х. Тогда x или х можно просто отбросить, поскольку x Р ≡ Р и х Р ≡ Р.

2.Беспорядок имеет вид: x Р (x) или x Р (x). Если переменная х еще встречается в формуле, то предварительно сделав замену согласно формулам

xР(x) ≡ tР(t), xР(x) ≡ tР(t), где t – переменная, не встречающаяся в формуле, беспорядок представляется в виде правой части одной из формул 10 – 13. Применяя эти формулы (т.е., заменяя правые части на левые), беспорядок устраняется.

Проделав такие преобразования конечное число раз, все беспорядки будут ликвидированы, что и требовалось доказать.

Пример. Привести к предваренной нормальной форме следующий предикат:

xP(x) yQ(x, y)≡ xP(x) yQ(x, y)≡ xP(x) yQ(x, y)≡ ≡ tP(t) yQ(x, y)≡ t(P(t) yQ(x, y))≡ t y(P(t) Q(x, y)).

44