1.6Предикаты

Определение. n-местным предикатом на множестве M называется отображение

– множество действительных чисел R), множеством истинности является множество пар (t, t2), которые на координатной плоскости представляют собой график параболы.

Определение. Предикат P(x1, x2, , xn ), который при всех возможных значениях предметных переменных принимает одно и то же значение 1 (0) называется тождественно истинным (тождественно ложным). Предикат, для которого существует набор (a1,a2, ,an ) M n , такой, что P(a1,a2, ,an )=1 (т.е. множество истинности которого не пусто) называется выполнимым.

Определение. Два предиката P(x1, x2, , xn ) и Q(x1, x2, , xn ), с одной и той же предметной областью М называются равносильными, если они принимают одинаковые значения при всех возможных значениях предметных переменных x1, x2, , xn M (т.е., если Р и Q равны как отображения).

Понятно, что два предиката равносильны, если их области истинности совпадают. Всякому отображению f: Mn→M можно поставить в соответствие (n+1)-местный

предикат по следующему правилу:

P(a ,a , ,a )= 1, если f (a1,a2, ,an )= an+1;

1 2 n 0, в противном случае.

Существует взаимно однозначное соответствие между n-местными предикатами с предметной областью М и n-арными отношениями на М. Действительно, всякому предикату P(x1, x2, , xn ) можно поставить в соответствие отношение R М n такое, что (a1,a2, ,an ) R , если P(a1,a2, ,an )=1 и только в этом случае. Обратно, всякому отношению R М n отвечает «n-местный предикат P(x1, x2, , xn ) с предметной областью М, определенный следующим равенством:

39

или отношения на М (см. примеры, предваряющие определение предиката).

1.6.2 Операции над предикатами

а) Подстановка константы вместо предметной переменной

Пусть P(x1, x2, , xn ) – n-местный предикат на множестве М, и пусть a М. Под-

ставим вместо (например) xn , константу a. Тогда получим (n-1 )-местный предикат

P(x1, x2 , ,an ).

Можно сразу подставить одну и ту же или разные константы вместо нескольких переменных. Тогда соответствующим образом уменьшится местность предиката.

Например, из 2-местного предиката «х<у» подстановкой константы 3 вместо y получим одноместный предикат «х<3». Из предиката «x + y + z + t = 0» подстановкой соответствующих констант можно получить «x + 2 + z + 3 = 0».

б) Операции логики высказываний

Так как предикаты представляют собой переменные высказывания (они превращаются в обычные высказывания, если вместо всех предметных переменных подставить константы), то для них применимы все операции логики высказываний: , , , , и др. При этом, соединяя данными операциями элементарные предикаты (т.е. такие, кот орые не содержат этих операций), будем получать соответствующие формулы логики предикатов.

Например, P(x, y) Q(x, z) R(y,t) S(x, z,t) и др.

Как уже отмечалось, всякий предикат однозначно определяется своей областью истинности. Выясним, как соотносятся области истинности предикатов, полученных из эл е- ментарных предикатов с помощью некоторых операций, с областями истинности элеме н-

Выражая импликацию, эквиваленцию и другие операции через , и , можно находить области истинности и других сложных предикатов. Следует, однако, следить за п е-

40

ременными при образовании сложных предикатов с помощью логических операций в том плане, что например, областью истинности предиката P(x) Q(y) будет не пересечение IP(x) и IQ(x) (как для P(x) Q(x)), а декартово произведение IP(x)× IQ(x).

в) Навешивание кванторов

Пусть P(x) – одноместный предикат с предметной областью М.

Символом xP(x) обозначается высказывание, которое истинно, если P(x) тождественно истинный предикат (т.е. если IP(x) = M ), и ложно в противном случае. Знак на-

зывается квантором всеобщности.

Знак называется квантором существования.

Переход от P(x) к xP(x) или xP(x) называется навешиванием квантора на переменную х (или связыванием переменной х). Переменная х, на которую навешен квантор, называется связанной, в противном случае – свободной.

Кванторы можно навешивать также на переменные многоместных предикатов, причем сразу на несколько переменных.

Например, рассмотрим предикат x yP(x, y, z,t). Здесь х, у – связанные переменные, a z, t – свободные.

Истинность предиката не зависит от связанных переменных, а зависит только от свободных переменных. Это означает, во-первых, что навешивание квантора на одну переменную уменьшает на 1 местность соответствующего предиката. Так, предикатx yP(x, y, z,t) является двуместным. Во-вторых, предикат не изменится, если связанные переменные поменять на другие (отличные от свободных). Например x yP(x, y, z,t)≡

≡ u vP(u,v, z,t).

Замечание. Если M = {a1,a2, am} – конечное множество, то

xP(x)≡ P(a1) P(a2 ) P(am )

xP(x)≡ P(a1) P(a2 ) P(am )

Для бесконечных множеств M также можно принять, что

Поэтому кванторы и можно рассматривать в этом смысле как обобщения операций конъюнкции и дизъюнкции .

41